En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de anillos , la condición de Ore es una condición introducida por Øystein Ore , en relación con la cuestión de extender más allá de los anillos conmutativos la construcción de un campo de fracciones , o más generalmente la localización de un anillo. . La condición Ore correcta para un subconjunto multiplicativo S de un anillo R es que para a ∈ R y s ∈ S , la intersección aS ∩ sR ≠ ∅ . Un dominio (no conmutativo) para el cual el conjunto de elementos distintos de cero satisface la condición Ore correcta se llama dominio Ore correcto . El caso izquierdo se define de manera similar. [1]
El objetivo es construir el anillo derecho de fracciones R [ S −1 ] con respecto a un subconjunto multiplicativo S . En otras palabras, queremos trabajar con elementos de la forma −1 y tener una estructura de anillo en el conjunto R [ S −1 ] . El problema es que no existe una interpretación obvia del producto ( as −1 )( bt −1 ); de hecho, necesitamos un método para "mover" s −1 más allá de b . Esto significa que debemos poder reescribir s −1 b como producto b 1 s 1 −1 . [2] Supongamos que s −1 b = b 1 s 1 −1 luego multiplicando a la izquierda por s y a la derecha por s 1 , obtenemos bs 1 = sb 1 . De ahí vemos la necesidad, para a y s dados , de la existencia de a 1 y s 1 con s 1 ≠ 0 y tal que como 1 = sa 1 .
Dado que es bien sabido que cada dominio integral es un subanillo de un campo de fracciones (mediante una incrustación) de tal manera que cada elemento es de la forma rs −1 con s distinto de cero, es natural preguntarse si la misma construcción puede tome un dominio no conmutativo y asocie un anillo de división (un campo no conmutativo) con la misma propiedad. Resulta que la respuesta a veces es "no", es decir, hay dominios que no tienen un "anillo de división recta de fracciones" análogo.
Para cada dominio Ore derecho R , existe un anillo de división D único (hasta R -isomorfismo natural) que contiene R como subanillo tal que cada elemento de D tiene la forma rs −1 para r en R y s distinto de cero en R. Tal anillo de división D se llama anillo de fracciones rectas de R , y R se llama orden recto en D. La noción de anillo de fracciones izquierdas y orden izquierdo se define de manera análoga, siendo los elementos de D de la forma s −1 r .
Es importante recordar que la definición de que R es un orden correcto en D incluye la condición de que D debe consistir enteramente en elementos de la forma rs −1 . Cualquier dominio que satisfaga una de las condiciones de Ore puede considerarse un subanillo de un anillo de división; sin embargo, esto no significa automáticamente que R sea un orden izquierdo en D , ya que es posible que D tenga un elemento que no sea de la forma s −1 r. . Por lo tanto, es posible que R sea un dominio Ore de derecha y no de izquierda. Intuitivamente, la condición de que todos los elementos de D sean de la forma rs −1 dice que R es un R -submódulo "grande" de D . De hecho, la condición garantiza que R R sea un submódulo esencial de DR . Por último, hay incluso un ejemplo de un dominio en un anillo de división que no satisface ninguna de las condiciones Ore (ver ejemplos a continuación).
Otra pregunta natural es: "¿Cuándo es correcto un subanillo de un anillo de división?" Una caracterización es que un subanillo R de un anillo de división D es un dominio Ore derecho si y solo si D es un módulo R plano izquierdo (Lam 2007, Ex. 10.20).
Generalmente se da una versión diferente y más fuerte de las condiciones de Ore para el caso en que R no es un dominio, es decir, que debería haber un múltiplo común.
con u , v no divisores cero . En este caso, el teorema de Ore garantiza la existencia de un anillo superior llamado anillo clásico de cocientes (derecho o izquierdo) .
Los dominios conmutativos son automáticamente dominios Ore, ya que para a y b distintos de cero , ab es distinto de cero en aR ∩ bR . También se sabe que los dominios noetherianos derechos , como los dominios ideales principales derechos , son dominios minerales derechos. Aún más en general, Alfred Goldie demostró que un dominio R es correcto si y sólo si R tiene una dimensión uniforme finita . También es cierto que los dominios correctos de Bézout son correctos de Ore.
Un subdominio de un anillo de división que no es Ore derecho ni izquierdo: Si F es cualquier campo y es el monoide libre en dos símbolos x e y , entonces el anillo monoide no satisface ninguna condición Ore, pero es un anillo ideal libre. y por tanto, de hecho, un subanillo de un anillo de división, por (Cohn 1995, Cor 4.5.9).
La condición Ore se puede generalizar a otros subconjuntos multiplicativos y se presenta en forma de libro de texto en (Lam 1999, §10) y (Lam 2007, §10). Un subconjunto S de un anillo R se llama conjunto denominador recto si satisface las tres condiciones siguientes para cada a , b en R , y s , t en S :
Si S es un conjunto de denominadores rectos, entonces se puede construir el anillo de fracciones rectas RS −1 de manera similar al caso conmutativo. Si se considera que S es el conjunto de elementos regulares (aquellos elementos a en R tales que si b en R es distinto de cero, entonces ab y ba son distintos de cero), entonces la condición correcta es simplemente el requisito de que S sea un conjunto de denominador correcto. .
Muchas propiedades de la localización conmutativa se mantienen en este entorno más general. Si S es un denominador derecho establecido para un anillo R , entonces el módulo R izquierdo RS −1 es plano . Además, si M es un módulo R recto , entonces la torsión S , tor S ( M ) = { m en M : ms = 0 para algunos s en S }, es un submódulo R isomorfo a Tor 1 ( M , RS −1 ) , y el módulo M ⊗ R RS −1 es naturalmente isomorfo a un módulo MS −1 que consta de "fracciones" como en el caso conmutativo.
![{\displaystyle F[G]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f5382ea971e0b9b4aa630025f131a7491fc723)