En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de anillos , la condición de Ore es una condición introducida por Øystein Ore , en relación con la cuestión de extender más allá de los anillos conmutativos la construcción de un cuerpo de fracciones , o más generalmente la localización de un anillo . La condición de Ore derecha para un subconjunto multiplicativo S de un anillo R es que para a ∈ R y s ∈ S , la intersección aS ∩ sR ≠ ∅ . Un dominio (no conmutativo) para el cual el conjunto de elementos distintos de cero satisface la condición de Ore derecha se llama dominio de Ore derecho . El caso izquierdo se define de manera similar. [1]
El objetivo es construir el anillo derecho de fracciones R [ S −1 ] con respecto a un subconjunto multiplicativo S . En otras palabras, queremos trabajar con elementos de la forma as −1 y tener una estructura de anillo en el conjunto R [ S −1 ]. El problema es que no hay una interpretación obvia del producto ( as −1 )( bt −1 ); de hecho, necesitamos un método para "mover" s −1 más allá de b . Esto significa que necesitamos poder reescribir s −1 b como un producto b 1 s 1 −1 . [2] Supongamos que s −1 b = b 1 s 1 −1 y luego multiplicamos a la izquierda por s y a la derecha por s 1 , obtenemos bs 1 = sb 1 . De aquí vemos la necesidad, para a y s dados , de la existencia de a 1 y s 1 con s 1 ≠ 0 y tales que como 1 = sa 1 .
Como es bien sabido que cada dominio integral es un subanillo de un cuerpo de fracciones (mediante una incrustación) de tal manera que cada elemento tiene la forma rs −1 con s distinto de cero, es natural preguntarse si la misma construcción puede tomar un dominio no conmutativo y asociar un anillo de división (un cuerpo no conmutativo) con la misma propiedad. Resulta que la respuesta a veces es "no", es decir, hay dominios que no tienen un "anillo de división por la derecha de fracciones" análogo.
Para cada dominio de Ore derecho R , existe un anillo de división único (hasta el isomorfismo R natural) D que contiene a R como subanillo de modo que cada elemento de D tiene la forma rs −1 para r en R y s distinto de cero en R . Un anillo de división de este tipo D se denomina anillo de fracciones derechas de R , y R se denomina anillo de orden derecho en D . La noción de anillo de fracciones izquierdas y de orden izquierdo se definen de forma análoga, siendo los elementos de D de la forma s −1 r .
Es importante recordar que la definición de R como un orden derecho en D incluye la condición de que D debe consistir completamente en elementos de la forma rs −1 . Cualquier dominio que satisfaga una de las condiciones de Ore puede considerarse un subanillo de un anillo de división, sin embargo, esto no significa automáticamente que R sea un orden izquierdo en D , ya que es posible que D tenga un elemento que no sea de la forma s −1 r . Por lo tanto, es posible que R sea un dominio de Ore derecho-no izquierdo. Intuitivamente, la condición de que todos los elementos de D sean de la forma rs −1 dice que R es un R -submódulo "grande" de D . De hecho, la condición asegura que R R sea un submódulo esencial de D R . Por último, incluso hay un ejemplo de un dominio en un anillo de división que no satisface ninguna condición de Ore (ver ejemplos a continuación).
Otra pregunta natural es: "¿Cuándo un subanillo de un anillo de división es un dominio Ore derecho?" Una caracterización es que un subanillo R de un anillo de división D es un dominio Ore derecho si y solo si D es un módulo R plano izquierdo (Lam 2007, Ej. 10.20).
Generalmente se da una versión diferente y más fuerte de las condiciones de Ore para el caso en que R no es un dominio, es decir, que debería haber un múltiplo común
con u y v no divisores de cero . En este caso, el teorema de Ore garantiza la existencia de un anillo superior llamado anillo clásico de cocientes (derecho o izquierdo) .
Los dominios conmutativos son automáticamente dominios de Ore, ya que para a y b distintos de cero , ab es distinto de cero en aR ∩ bR . Los dominios noetherianos rectos , como los dominios ideales principales rectos , también se conocen como dominios de Ore rectos. De manera aún más general, Alfred Goldie demostró que un dominio R es Ore recto si y solo si R R tiene dimensión uniforme finita . También es cierto que los dominios de Bézout rectos son Ore rectos.
Un subdominio de un anillo de división que no es derecho ni izquierdo Ore: Si F es cualquier campo, y es el monoide libre en dos símbolos x e y , entonces el anillo monoide no satisface ninguna condición de Ore, pero es un anillo ideal libre y, por lo tanto, de hecho, un subanillo de un anillo de división, por (Cohn 1995, Cor 4.5.9).
La condición de Ore se puede generalizar a otros subconjuntos multiplicativos y se presenta en forma de libro de texto en (Lam 1999, §10) y (Lam 2007, §10). Un subconjunto S de un anillo R se denomina conjunto con denominador derecho si satisface las tres condiciones siguientes para cada a , b en R y s , t en S :
Si S es un conjunto de denominador recto, entonces se puede construir el anillo de fracciones rectas RS −1 de manera similar al caso conmutativo. Si se toma S como el conjunto de elementos regulares (aquellos elementos a en R tales que si b en R es distinto de cero, entonces ab y ba son distintos de cero), entonces la condición de Ore recta es simplemente el requisito de que S sea un conjunto de denominador recto.
Muchas propiedades de la localización conmutativa se mantienen en este contexto más general. Si S es un conjunto denominador derecho para un anillo R , entonces el R -módulo izquierdo RS −1 es plano . Además, si M es un R -módulo derecho, entonces la S -torsión, tor S ( M ) = { m en M : ms = 0 para algún s en S }, es un R -submódulo isomorfo a Tor 1 ( M , RS −1 ) , y el módulo M ⊗ R RS −1 es naturalmente isomorfo a un módulo MS −1 que consiste en "fracciones" como en el caso conmutativo.
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