Conjunto multiplicativamente cerrado

En álgebra abstracta , un conjunto multiplicativamente cerrado (o conjunto multiplicativo ) es un subconjunto S de un anillo R tal que se cumplen las dos condiciones siguientes: ^{[1] [2]}

• ${\displaystyle 1\in S}$,
• ${\displaystyle xy\in S}$para todos . ${\displaystyle x,y\in S}$

En otras palabras, S es cerrado tomando productos finitos, incluido el producto vacío 1. ^[3] De manera equivalente, un conjunto multiplicativo es un submonoide del monoide multiplicativo de un anillo.

Los conjuntos multiplicativos son importantes especialmente en álgebra conmutativa , donde se utilizan para construir localizaciones de anillos conmutativos.

Un subconjunto S de un anillo R se llama saturado si es cerrado tomando divisores : es decir, siempre que un producto xy está en S , los elementos xey también están en S.

Ejemplos

Ejemplos de conjuntos multiplicativos incluyen:

• el complemento de la teoría de conjuntos de un ideal primo en un anillo conmutativo;
• el conjunto {1, x , x ² , x ³ , ...} , donde x es un elemento de un anillo;
• el conjunto de unidades de un anillo;
• el conjunto de divisores distintos de cero en un anillo;
• 1 + I  para un I ideal .
• los números de Jordan-Pólya , el cierre multiplicativo de los factoriales

Propiedades

• Un P ideal de un anillo conmutativo R es primo si y sólo si su complemento R \ P es multiplicativamente cerrado.
• Un subconjunto S es a la vez saturado y multiplicativamente cerrado si y sólo si S es el complemento de una unión de ideales primos. ^[4] En particular, el complemento de un ideal primo está saturado y multiplicativamente cerrado.
• La intersección de una familia de conjuntos multiplicativos es un conjunto multiplicativo.
• La intersección de una familia de conjuntos saturados está saturada.

Ver también

• Localización de un anillo.
• Conjunto de denominador derecho

Notas

1. Atiyah y Macdonald, pag. 36.
2. Lang, pág. 107.
3. Eisenbud, pag. 59.
4. Kaplansky, pág. 2, Teorema 2.

Referencias

• MF Atiyah e IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley, 1969.
• David Eisenbud , Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Springer, 1995.
• Kaplansky, Irving (1974), Anillos conmutativos (edición revisada), University of Chicago Press , MR  0345945
• Serge Lang , Álgebra 3ª ed., Springer, 2002.