monoide

En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , un monoide es un conjunto equipado con una operación binaria asociativa y un elemento identidad . Por ejemplo, los enteros no negativos con suma forman un monoide, siendo el elemento identidad $0$ .

Los monoides son semigrupos con identidad. Estas estructuras algebraicas se encuentran en varias ramas de las matemáticas.

Las funciones de un conjunto en sí mismo forman un monoide con respecto a la composición de funciones. De manera más general, en la teoría de categorías , los morfismos de un objeto respecto de sí mismo forman un monoide y, a la inversa, un monoide puede verse como una categoría con un solo objeto.

En informática y programación informática , el conjunto de cadenas construidas a partir de un conjunto determinado de caracteres es un monoide libre . Los monoides de transición y los monoides sintácticos se utilizan para describir máquinas de estados finitos . Los monoides de traza y los monoides históricos proporcionan una base para los cálculos de procesos y la computación concurrente .

En informática teórica , el estudio de los monoides es fundamental para la teoría de los autómatas ( teoría de Krohn-Rhodes ) y la teoría del lenguaje formal ( problema de la altura de las estrellas ).

Consulte el semigrupo para conocer la historia del tema y algunas otras propiedades generales de los monoides.

Definición

Un conjunto $S$ equipado con una operación binaria $S \times S \to S$ , que denotaremos $•$ , es un monoide si satisface los dos axiomas siguientes:

asociatividad: Para todos $a$ , $b$ y $c$ en $S$ , la ecuación $(a • b) • c = a • (b • c)$ se cumple.
Elemento de identidad: Existe un elemento $e$ en $S$ tal que para cada elemento $a$ en $S$ , se mantienen las igualdades $e • a = a$ y $a • e = a$ .

En otras palabras, un monoide es un semigrupo con un elemento de identidad . También se puede considerar como un magma con asociatividad e identidad. El elemento de identidad de un monoide es único. ^[a] Por esta razón, la identidad se considera una operación constante , es decir, $0$ -aria (o nula). Por lo tanto, el monoide se caracteriza por la especificación del triple $(S, •, e)$ .

Dependiendo del contexto, se puede omitir el símbolo de la operación binaria, de modo que la operación se denota por yuxtaposición ; por ejemplo, los axiomas monoides se pueden escribir $(ab) c = a (bc)$ y $ea = ae = a$ . Esta notación no implica que se trate de números que se multiplican.

Un monoide en el que cada elemento tiene una inversa es un grupo .

Estructuras monoides

submonoides

Un submonoide de un monoide $(M, • )$ es un subconjunto $N$ de $M$ que está cerrado bajo la operación monoide y contiene el elemento identidad $e$ de $M$ . ^[1]^[b] Simbólicamente, $N$ es un submonoide de $M$ si $e \in N \subseteq M$ , y $x • y \in N$ siempre que $x, y \in N$ . En este caso, $N$ es un monoide según la operación binaria heredada de $M.$

Por otro lado, si $N$ es un subconjunto de un monoide que está cerrado bajo la operación monoide y es un monoide para esta operación heredada, entonces $N$ no siempre es un submonoide, ya que los elementos de identidad pueden diferir. Por ejemplo, el conjunto singleton ${0}$ está cerrado bajo la multiplicación y no es un submonoide del monoide (multiplicativo) de los enteros no negativos .

Generadores

Se dice que un subconjunto $S$ de $M$ genera $M$ si el submonoide más pequeño de M $que$ contiene $S$ es $M.$ Si hay un conjunto finito que genera $M$ , entonces se dice que $M$ es un monoide generado finitamente .

monoide conmutativo

Un monoide cuya operación es conmutativa se llama monoide conmutativo (o, menos comúnmente, monoide abeliano ). Los monoides conmutativos a menudo se escriben de forma aditiva. Cualquier monoide conmutativo está dotado de su preordenamiento algebraico $\leq$ , definido por $x$ $\leq$ $y$ si existe $z$ tal que $x$ $+$ $z$ $=$ $y$ . ^[2] Una unidad de orden de un monoide conmutativo $M$ es un elemento $u$ de $M$ tal que para cualquier elemento $x$ de $M$ , existe $v$ en el conjunto generado por $u$ tal que $x$ $\leq$ $v$ . Esto se usa a menudo en el caso de que $M$ sea el cono positivo de un grupo abeliano parcialmente ordenado $G$ , en cuyo caso decimos que $u$ es una unidad de orden de $G.$

Monoide parcialmente conmutativo

Un monoide cuya operación es conmutativa para algunos, pero no para todos los elementos, es un monoide traza ; Los monoides de traza ocurren comúnmente en la teoría de la computación concurrente .

Ejemplos

De los 16 posibles operadores booleanos binarios , cuatro tienen una identidad bilateral que también es conmutativa y asociativa. Cada uno de estos cuatro hace que el conjunto ${False, True}$ sea un monoide conmutativo. Según las definiciones estándar, AND y XNOR tienen la identidad $True$ , mientras que XOR y OR tienen la identidad $False$ . Los monoides de AND y OR también son idempotentes, mientras que los de XOR y XNOR no lo son.
El conjunto de números naturales $N = {0, 1, 2, ...}$ es un monoide conmutativo bajo suma (elemento de identidad ) o multiplicación (elemento de identidad 1 ). Un submonoide de $N$ bajo suma se llama monoide numérico .
El conjunto de enteros positivos $N ∖ {0}$ es un monoide conmutativo bajo multiplicación (elemento de identidad $1$ ).
Dado un conjunto $A$ , el conjunto de subconjuntos de $A$ es un monoide conmutativo bajo intersección (el elemento de identidad es el propio $A$ ).
Dado un conjunto $A$ , el conjunto de subconjuntos de $A$ es un monoide conmutativo bajo unión (el elemento identidad es el conjunto vacío ).
Generalizando el ejemplo anterior, toda semired acotada es un monoide conmutativo idempotente .
- En particular, cualquier red acotada puede estar dotada de una estructura monoide tanto de encuentro como de unión . Los elementos de identidad son la parte superior y la inferior de la red, respectivamente. Al ser celosías, las álgebras de Heyting y las álgebras de Boole están dotadas de estas estructuras monoides.
Cada conjunto singleton ${x}$ cerrado bajo una operación binaria $•$ forma el monoide trivial (de un elemento), que también es el grupo trivial .
Todo grupo es un monoide y todo grupo abeliano es un monoide conmutativo.
Cualquier semigrupo S puede convertirse en un monoide simplemente adjuntando un elemento e que no esté en S y definiendo e • s = s = s • e para todo s ∈ S . Esta conversión de cualquier semigrupo al monoide se realiza mediante el funtor libre entre la categoría de semigrupos y la categoría de monoides. ^[3]
- Por lo tanto, se puede formar un monoide idempotente (a veces conocido como buscar primero ) uniendo un elemento de identidad e al semigrupo cero izquierdo sobre un conjunto S. El monoide opuesto (a veces llamado buscar último ) se forma a partir del semigrupo cero derecho sobre S.
  - Adjunte una identidad $e$ al semigrupo cero a la izquierda con dos elementos ${lt, gt}$ . Luego, el monoide idempotente resultante ${lt, e, gt}$ modela el orden lexicográfico de una secuencia dados los órdenes de sus elementos, donde e representa la igualdad.
El conjunto subyacente de cualquier anillo , con suma o multiplicación como operación. (Por definición, un anillo tiene una identidad multiplicativa 1 ).
- Los números enteros , números racionales , números reales o números complejos , con la suma o multiplicación como operación. ^[4]
- El conjunto de todas las matrices $n$ por $n$ sobre un anillo dado, con la suma o multiplicación de matrices como operación.
El conjunto de todas las cadenas finitas sobre algún alfabeto fijo $Σ$ forma un monoide con la concatenación de cadenas como operación. La cadena vacía sirve como elemento de identidad. Este monoide se denota $Σ *$ y se llama monoide libre sobre $Σ$ . No es conmutativo si $Σ$ tiene al menos dos elementos.
Dado cualquier monoide $M$ , el monoide opuesto $M op$ tiene el mismo conjunto de portadores y elemento de identidad que $M$ , y su operación está definida por $x • op y = y • x$ . Cualquier monoide conmutativo es el monoide opuesto a sí mismo.
Dados dos conjuntos $M$ y $N$ dotados de estructura monoide (o, en general, cualquier número finito de monoides, $M 1, ..., M k$ ), su producto cartesiano $M \times N$ , con la operación binaria y el elemento identidad definidos en el correspondiente Las coordenadas, llamadas producto directo , también son un monoide (respectivamente, $M 1 \times \cdot\cdot\cdot \times M k$ ). ^[5]
Arreglar un monoide $M.$ El conjunto de todas las funciones de un conjunto dado a $M$ también es un monoide. El elemento de identidad es una función constante que asigna cualquier valor a la identidad de $M$ ; la operación asociativa se define puntualmente .
Fije un monoide $M$ con la operación $•$ y el elemento identidad $e$ , y considere su conjunto potencia $P (M)$ que consta de todos los subconjuntos de $M.$ Una operación binaria para tales subconjuntos se puede definir mediante $S • T = {s • t : s \in S, t \in T}$ . Esto convierte a $P (M)$ en un monoide con elemento de identidad ${e}$ . De la misma manera, el conjunto potencia de un grupo $G$ es un monoide bajo el producto de los subconjuntos del grupo .
Sea $S$ un conjunto. El conjunto de todas las funciones $S \to S$ forma un monoide bajo composición de funciones . La identidad es sólo la función de identidad . También se le llama monoide de transformación completa de $S.$ Si $S$ es finito con $n$ elementos, el monoide de funciones en $S$ es finito con $n n$ elementos.
Generalizando el ejemplo anterior, sea $C$ una categoría y $X$ un objeto de $C.$ El conjunto de todos los endomorfismos de $X$ , denotado $extremo C (X)$ , forma un monoide bajo composición de morfismos . Para obtener más información sobre la relación entre la teoría de categorías y los monoides, consulte a continuación.
El conjunto de clases de homeomorfismo de superficies compactas con la suma conectada . Su elemento unitario es la clase de las 2 esferas ordinarias. Además, si $a$ denota la clase del toro y $b$ denota la clase del plano proyectivo, entonces cada elemento $c$ del monoide tiene una expresión única de la forma $c$ $=$ $na$ $+$ $mb$ donde $n$ es un entero positivo y $m$ $= 0, 1$ o $2$ . Tenemos $3$ $b$ $=$ $a$ $+$ $b$ .
Sea $⟨ f ⟩$ un monoide cíclico de orden $n$ , es decir, $⟨ f ⟩ = {f 0, f 1, ..., f n -1}$ . Entonces $f n = f k$ para algunos $0 \leq k < n$ . De hecho, cada uno de estos $k$ da un monoide distinto de orden $n$ , y cada monoide cíclico es isomorfo a uno de estos.
Además, $f$ puede considerarse como una función de los puntos ${0, 1, 2, ..., n -1}$ dado por

{\begin{bmatrix}0&1&2&\cdots &n-2&n-1\\1&2&3&\cdots &n-1&k\end{bmatrix}}

f(i):={\begin{casos}i+1,&{\text{if }}0\leq i<n-1\\k,&{\text{if }}i=n -1.\end{casos}}

La multiplicación de elementos en $⟨ f ⟩$ viene dada por la composición de la función.

Cuando $k = 0$ entonces la función $f$ es una permutación de ${0, 1, 2, ..., n -1}$ y da el grupo cíclico único de orden $n$ .

Propiedades

Los axiomas del monoide implican que el elemento de identidad $e$ es único: si $e$ y $f$ son elementos de identidad de un monoide, entonces $e = ef = f$ .

Productos y poderes

Para cada entero no negativo $n$ $,$ se puede definir el producto de cualquier secuencia $($ $a$ $1$ $, ...,$ $an$ $)$ de $n$ elementos de un monoide de forma recursiva: sea $p$ $0$ $=$ $e$ y sea $p$ $m$ $=$ $p$ $m$ $-1$ $•$ $a$ $m$ para $1 \leq$ $metro$ $\leq$ $norte$ . $p_{n}=\textstyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}$

Como caso especial, se pueden definir potencias enteras no negativas de un elemento $x$ de un monoide: $x 0 = 1$ y $x n = x n -1 • x$ para $n \geq 1$ . Entonces $x m + n = x m • x n$ para todo $m, n \geq 0$ .

Elementos reversibles

Un elemento $x$ se llama invertible si existe un elemento $y$ tal que $x • y = e$ y $y • x = e$ . El elemento $y$ se llama inverso de $x$ . Los inversos, si existen, son únicos: si $y$ y $z$ son inversos de $x$ , entonces por asociatividad $y = ey = (zx) y = z (xy) = ze = z$ . ^[6]

Si $x es invertible, digamos con$ $y$ inversa , entonces se pueden definir potencias negativas de $x$ estableciendo $x - n = y n$ para cada $n \geq 1$ ; esto hace que la ecuación $x m + n = x m • x n$ sea válida para todo $m, n \in Z$ .

El conjunto de todos los elementos invertibles en un monoide, junto con la operación •, forma un grupo .

Grupo Grothendieck

No todos los monoides se encuentran dentro de un grupo. Por ejemplo, es perfectamente posible tener un monoide en el que existan dos elementos $a$ y $b$ de modo que $a • b = a$ se cumpla aunque $b$ no sea el elemento identidad. Un monoide así no puede estar incrustado en un grupo, porque en el grupo multiplicando ambos lados por el inverso de $a$ obtendríamos que $b = e$ , lo cual no es cierto.

Un monoide $(M, •)$ tiene la propiedad de cancelación (o es cancelable) si para todo $a$ , $b$ y $c$ en $M$ , la igualdad $a • b = a • c$ implica $b = c$ , y la igualdad $b • a = c • a$ implica $b = c$ .

Un monoide conmutativo con la propiedad de cancelación siempre se puede incrustar en un grupo mediante la construcción del grupo de Grothendieck . Así es como se construye el grupo aditivo de los números enteros (un grupo con operación $+$ ) a partir del monoide aditivo de los números naturales (un monoide conmutativo con operación $+$ y propiedad de cancelación). Sin embargo, no es necesario que un monoide cancelador no conmutativo pueda integrarse en un grupo.

Si un monoide tiene la propiedad de cancelación y es finito , entonces en realidad es un grupo. ^[C]

Los elementos canceladores derecho e izquierdo de un monoide forman a su vez un submonoide (es decir, están cerrados bajo la operación y obviamente incluyen la identidad). Esto significa que los elementos canceladores de cualquier monoide conmutativo se pueden extender a un grupo.

La propiedad canceladora en un monoide no es necesaria para realizar la construcción de Grothendieck; la conmutatividad es suficiente. Sin embargo, si un monoide conmutativo no tiene la propiedad de cancelación, el homomorfismo del monoide en su grupo de Grothendieck no es inyectivo. Más precisamente, si $a • b = a • c$ , entonces $byc$ tienen $la$ misma imagen en el grupo de Grothendieck, incluso si $b \neq c$ . En particular, si el monoide tiene un elemento absorbente , entonces su grupo de Grothendieck es el grupo trivial .

Tipos de monoides

Un monoide inverso es un monoide donde para cada $a$ en $M$ , existe un único $a -1$ en $M$ tal que $a = a • a -1 • a$ y $a -1 = a -1 • a • a -1$ . Si un monoide inverso es cancelativo, entonces es un grupo.

En la dirección opuesta, un monoide sin suma cero es un monoide escrito aditivamente en el que $a + b = 0$ implica que $a = 0$ y $b = 0$ : ^[7] de manera equivalente, que ningún elemento distinto de cero tiene un inverso aditivo.

Actos y monoides de operador.

Sea $M$ un monoide, con la operación binaria denotada por $•$ y el elemento identidad denotado por $e$ . Entonces un acto $M$ (izquierdo) (o acto izquierdo sobre $M$ ) es un conjunto $X$ junto con una operación $\cdot : M \times X \to X$ que es compatible con la estructura monoide de la siguiente manera:

para todo $x$ en $X$ : $e \cdot x = x$ ;
para todo $a$ , $b$ en $M$ y $x$ en $X$ : $a \cdot (b \cdot x) = (a • b) \cdot x$ .

Este es el análogo en la teoría monoide de una acción de grupo (de izquierda) . Los actos correctos $M$ se definen de manera similar. Un monoide con un acto también se conoce como monoide operador . Ejemplos importantes incluyen sistemas de transición de semiautómatas . Un semigrupo de transformación se puede convertir en un monoide de operador junto a la transformación de identidad.

Homomorfismos monoides

Un homomorfismo entre dos monoides $(M, *)$ y $(N, •)$ es una función $f : M \to N$ tal que

$f (x * y) = f (x) • f (y)$ para todo $x$ , $y$ en $M$
$f (mi METRO) = mi norte$ ,

donde $e M$ y $e N$ son las identidades de $M$ y $N$ respectivamente. Los homomorfismos monoides a veces se denominan simplemente morfismos monoides .

No todo homomorfismo de semigrupo entre monoides es un homomorfismo monoide, ya que puede no asignar la identidad a la identidad del monoide objetivo, aunque la identidad sea la identidad de la imagen del homomorfismo. ^[d] Por ejemplo, considere $[Z] n$ , el conjunto de clases de residuos módulo $n$ equipado con multiplicación. En particular, $[1] n$ es el elemento identidad. Función $f : [Z] 3 \to [Z] 6$ dada por $[k] 3 \mapsto [3 k] 6$ es un homomorfismo de semigrupo, ya que $[3 k \cdot 3 l] 6 = [9 kl] 6 = [3 kl] 6$ . Sin embargo, $f ([1] 3) = [3] 6 \neq [1] 6$ , por lo que un homomorfismo monoide es un homomorfismo de semigrupo entre monoides que asigna la identidad del primer monoide a la identidad del segundo monoide y la última condición no puede ser omitido.

Por el contrario, un homomorfismo de semigrupo entre grupos es siempre un homomorfismo de grupo , ya que necesariamente preserva la identidad (porque, en el grupo objetivo del homomorfismo, el elemento de identidad es el único elemento $x$ tal que $x \cdot x = x$ ).

Un homomorfismo monoide biyectivo se llama isomorfismo monoide . Se dice que dos monoides son isomorfos si existe un isomorfismo monoide entre ellos.

presentación ecuacional

A los monoides se les puede dar una presentación , de la misma manera que se pueden especificar grupos mediante una presentación de grupo . Se hace esto especificando un conjunto de generadores $Σ$ y un conjunto de relaciones en el monoide libre $Σ *$ . Se hace esto extendiendo las relaciones binarias (finitas) en $Σ *$ a congruencias monoides, y luego construyendo el cociente monoide, como arriba.

Dada una relación binaria $R \subset Σ * \times Σ *$ , se define su cierre simétrico como $R \cup R -1$ . Esto se puede extender a una relación simétrica $E \subset Σ * \times Σ *$ definiendo $x ~ E y$ si y sólo si $x = sut$ e $y = svt$ para algunas cadenas $u, v, s, t \in Σ *$ con $(u, v) \in R \cup R -1$ . Finalmente, se toma la clausura reflexiva y transitiva de $E$ , que entonces es una congruencia monoide.

En la situación típica, la relación $R$ se da simplemente como un conjunto de ecuaciones, de modo que $R = {u 1 = v 1, ..., u n = v n}$ . Así, por ejemplo,

\langle p,q\,\vert \;pq=1\rangle

es la presentación ecuacional del monoide bicíclico , y

\langle a,b\,\vert \;aba=baa,bba=bab\rangle

es el monoide plástico de grado $2$ (tiene orden infinito). Los elementos de este monoide plástico pueden escribirse como para números enteros $i$ , $j$ , $k$ , ya que las relaciones muestran que $ba$ conmuta tanto con $a$ como con $b$ . $a^{i}b^{j}(ba)^{k}$

Relación con la teoría de categorías

Los monoides pueden verse como una clase especial de categorías . De hecho, los axiomas requeridos de una operación monoide son exactamente los requeridos de la composición de morfismos cuando se restringen al conjunto de todos los morfismos cuyo origen y destino es un objeto determinado. ^[8] Es decir,

Un monoide es, esencialmente, lo mismo que una categoría con un solo objeto.

Más precisamente, dado un monoide $(M, • )$ , se puede construir una pequeña categoría con un solo objeto y cuyos morfismos son los elementos de $M$ . La composición de los morfismos viene dada por la operación monoide $•$ .

Asimismo, los homomorfismos monoides son simplemente functores entre categorías de objetos individuales. ^[8] Entonces, esta construcción da una equivalencia entre la categoría de monoides (pequeños) Mon y una subcategoría completa de la categoría de categorías (pequeñas) Cat . De manera similar, la categoría de grupos equivale a otra subcategoría completa de Cat .

En este sentido, la teoría de categorías puede considerarse como una extensión del concepto de monoide. Muchas definiciones y teoremas sobre monoides se pueden generalizar a categorías pequeñas con más de un objeto. Por ejemplo, un cociente de una categoría con un objeto es simplemente un cociente monoide.

Los monoides, al igual que otras estructuras algebraicas, también forman su propia categoría, Mon , cuyos objetos son monoides y cuyos morfismos son homomorfismos monoides. ^[8]

También existe una noción de objeto monoide que es una definición abstracta de lo que es un monoide en una categoría. Un objeto monoide en Set es solo un monoide.

Monoides en informática

En informática, muchos tipos de datos abstractos pueden dotarse de una estructura monoide. En un patrón común, una secuencia de elementos de un monoide se " dobla " o "acumula" para producir un valor final. Por ejemplo, muchos algoritmos iterativos necesitan actualizar algún tipo de "total acumulado" en cada iteración; este patrón puede expresarse elegantemente mediante una operación monoide. Alternativamente, la asociatividad de las operaciones monoides garantiza que la operación pueda paralelizarse empleando una suma de prefijos o un algoritmo similar, para utilizar múltiples núcleos o procesadores de manera eficiente.

Dada una secuencia de valores de tipo $M$ con elemento identidad $ε$ y operación asociativa $•$ , la operación de plegado se define de la siguiente manera:

\mathrm {fold} :M^{*}\rightarrow M=\ell \mapsto {\begin{cases}\varepsilon &{\mbox{if }}\ell =\mathrm {nil} \\m\bullet \mathrm {fold} \,\ell '&{\mbox{if }}\ell =\mathrm {cons} \,m\,\ell '\end{cases}}

Además, cualquier estructura de datos se puede 'plegar' de manera similar, dada una serialización de sus elementos. Por ejemplo, el resultado de "plegar" un árbol binario puede diferir según el recorrido del árbol de pedido previo o posterior .

Mapa reducido

Una aplicación de monoides en informática es el llamado modelo de programación MapReduce (consulte Codificación de Map-Reduce como monoide con plegado a la izquierda). MapReduce, en informática, consta de dos o tres operaciones. Dado un conjunto de datos, "Mapa" consiste en mapear datos arbitrarios a elementos de un monoide específico. "Reducir" consiste en plegar esos elementos, de forma que al final produzcamos un solo elemento.

Por ejemplo, si tenemos un multiset , en un programa se representa como un mapa desde elementos hasta sus números. Los elementos se denominan claves en este caso. La cantidad de claves distintas puede ser demasiado grande y, en este caso, el conjunto múltiple se está fragmentando. Para finalizar la reducción correctamente, la etapa "Shuffling" reagrupa los datos entre los nodos. Si no necesitamos este paso, todo Map/Reduce consiste en mapear y reducir; ambas operaciones son paralelizables, la primera debido a su naturaleza de elementos, la segunda debido a la asociatividad del monoide.

monoides completos

Un monoide completo es un monoide conmutativo equipado con una operación de suma infinita para cualquier conjunto de índices $I$ tal que ^[9]^[10]^[11]^[12] $\Sigma _{I}$

\sum _{i\in \emptyset }{m_{i}}=0;\quad \sum _{i\in \{j\}}{m_{i}}=m_{j};\quad \sum _{i\in \{j,k\}}{m_{i}}=m_{j}+m_{k}\quad {\text{ for }}j\neq k

\sum _{j\in J}{\sum _{i\in I_{j}}{m_{i}}}=\sum _{i\in I}m_{i}\quad {\text{ if }}\bigcup _{j\in J}I_{j}=I{\text{ and }}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset \quad {\text{ for }}j\neq j'

Un monoide conmutativo ordenado es un monoide conmutativo $M$ junto con un ordenamiento parcial $\leq$ tal que $a \geq 0$ para cada $a \in M$ , y $a \leq b$ implica $a + c \leq b + c$ para todo $a, b, c \in M.$

Un monoide continuo es un monoide conmutativo ordenado $(M, \leq)$ en el que cada subconjunto dirigido tiene un límite superior mínimo , y estos límites superiores mínimos son compatibles con la operación monoide:

a+\sup S=\sup(a+S)

para cada $a \in M$ y subconjunto dirigido $S$ de $M$ .

Si $(M, \leq)$ es un monoide continuo, entonces para cualquier conjunto de índices $I$ y colección de elementos $(a i) i \in I$ , se puede definir

\sum _{I}a_{i}=\sup _{{\text{finite }}E\subset I}\;\sum _{E}a_{i},

y $M$ junto con esta operación de suma infinita es un monoide completo. ^[12]

Ver también

Notas

^ Si tanto $e 1$ como $e 2$ satisfacen las ecuaciones anteriores, entonces $e 1 = e 1 • e 2 = e 2$ .
^ Algunos autores omiten el requisito de que un submonoide debe contener el elemento de identidad de su definición, exigiendo únicamente que tenga un elemento de identidad, que pueda ser distinto del de $M.$
^ Prueba: arregla un elemento $x$ en el monoide. Dado que el monoide es finito, $x n = x m$ para algunos $m > n > 0$ . Pero entonces, por cancelación tenemos que $x m - n = e$ donde $e$ es la identidad. Por lo tanto, $x • x m - n -1 = e$ , entonces $x$ tiene una inversa.
^ $f (x) * f (e M$ ) $=$ $f$ $($ $x$ $*$ $e$ $M$ $) =$ $f$ $($ $x$ $)$ para cada $x$ en $M$ , cuando $f$ es un homomorfismo de semigrupo y $e M$ es la identidad de su monoide de dominio $M.$

Citas

^ Jacobson 2009
^ Gondran y Minoux 2008, pág. 13
^ Rodas y Steinberg 2009, pág. 22
^ Jacobson 2009, pag. 29, ejemplos 1, 2, 4 y 5
^ Jacobson 2009, pag. 35
^ Jacobson 2009, pag. 31, §1.2
^ Wehrung 1996
^ abc Awodey 2006, pag. 10
^ Droste y Kuich 2009, págs. 7-10
^ Hebisch 1992
^ Kuich 1990
^ ab Kuich 2011.

Referencias

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enlaces externos

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Monoide en PlanetMath .