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Semigrupo nulo

En matemáticas , un semigrupo nulo (también llamado semigrupo cero ) es un semigrupo con un elemento absorbente , llamado cero , en el que el producto de dos elementos cualesquiera es cero. [1] Si cada elemento de un semigrupo es un cero izquierdo , entonces el semigrupo se llama semigrupo cero izquierdo ; un semigrupo cero derecho se define de manera análoga. [2]

Según AH Clifford y GB Preston , "A pesar de su trivialidad, estos semigrupos surgen naturalmente en una serie de investigaciones". [1]

Semigrupo nulo

Sea S un semigrupo con elemento cero 0. Entonces S se llama semigrupo nulo si xy = 0 para todos los x e y en S.

Tabla de Cayley para un semigrupo nulo

Sea S = {0, a , b , c } (el conjunto subyacente de) un semigrupo nulo. Entonces, la tabla de Cayley para S es la que se muestra a continuación:

Semigrupo cero izquierdo

Un semigrupo en el que cada elemento es un elemento cero izquierdo se denomina semigrupo cero izquierdo . Por lo tanto, un semigrupo S es un semigrupo cero izquierdo si xy = x para todos los x e y en S.

Tabla de Cayley para un semigrupo cero izquierdo

Sea S = { a , b , c } un semigrupo cero izquierdo. Entonces, la tabla de Cayley para S es la que se muestra a continuación:

Semigrupo cero derecho

Un semigrupo en el que cada elemento es un elemento cero derecho se denomina semigrupo cero derecho . Por lo tanto, un semigrupo S es un semigrupo cero derecho si xy = y para todos los x e y en S.

Tabla de Cayley para un semigrupo cero derecho

Sea S = { a , b , c } un semigrupo cero recto. Entonces, la tabla de Cayley para S es la que se muestra a continuación:

Propiedades

Un semigrupo nulo no trivial (cero izquierdo/derecho) no contiene un elemento identidad . De ello se deduce que el único monoide nulo (cero izquierdo/derecho) es el monoide trivial.

La clase de semigrupos nulos es:

De ello se deduce que la clase de semigrupos nulos (cero izquierdo/derecho) es una variedad del álgebra universal y, por tanto, una variedad de semigrupos finitos . La variedad de semigrupos nulos finitos se define por la identidad ab = cd .

Véase también

Referencias

  1. ^ ab AH Clifford; GB Preston (1964). La teoría algebraica de los semigrupos, volumen I. Encuestas matemáticas. Vol. 1 (2.ª ed.). American Mathematical Society . págs. 3-4. ISBN. 978-0-8218-0272-4.
  2. ^ M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a productos de corona y gráficos , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , pág. 19