Grupo correcto

En matemáticas , un grupo recto ^{[1] [2]} es una estructura algebraica que consiste en un conjunto junto con una operación binaria que combina dos elementos en un tercer elemento mientras obedece los axiomas de grupo recto . Los axiomas de grupo recto son similares a los axiomas de grupo , pero mientras que los grupos pueden tener solo una identidad y cualquier elemento puede tener solo un inverso, los grupos rectos permiten múltiples elementos identidad unilaterales y múltiples elementos inversos unilaterales .

Se puede demostrar (teorema 1.27 en ^[2] ) que un grupo derecho es isomorfo al producto directo de un semigrupo cero derecho y un grupo , mientras que un grupo abeliano derecho ^[1] es el producto directo de un semigrupo cero derecho y un grupo abeliano . El grupo izquierdo ^{[1] [2]} y el grupo abeliano izquierdo ^[1] se definen de manera análoga, sustituyendo derecho por izquierdo en las definiciones. El resto de este artículo se centrará principalmente en los grupos derechos, pero todo se aplica a los grupos izquierdos haciendo las sustituciones derecha/izquierda adecuadas.

Definición

Un grupo derecho , originalmente llamado grupo múltiple , ^{[3] [4]} es un conjunto con una operación binaria ⋅, que satisface los siguientes axiomas: ^[4] ${\displaystyle R}$

Cierre

Para todo y en , hay un elemento c en tal que . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle c=a\cdot b}$

Asociatividad

Para todos en , . ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Elemento de identidad de izquierda

Hay al menos una identidad izquierda en . Es decir, existe un elemento tal que para todo en . Dicho elemento no necesita ser único. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e\cdot a=a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

Elementos inversos derechos

Para cada en y cada elemento identidad , también en , hay al menos un elemento en , tal que . Se dice que dicho elemento es el inverso derecho de con respecto a . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a\cdot b=e}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e}$

Ejemplos

Producto directo de conjuntos finitos

El siguiente ejemplo lo proporciona ^[4] . Tome el grupo , el semigrupo cero derecho y construya un grupo derecho como el producto directo de y . ${\displaystyle G=\{e,a,b\}}$ ${\displaystyle Z=\{1,2\}}$ ${\displaystyle R_{gz}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle G}$es simplemente el grupo cíclico de orden 3, que tiene como identidad y y como inversos entre sí. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle Z}$es el semigrupo cero derecho de orden 2. Nótese que cada elemento se repite a lo largo de su columna, ya que por definición , para cualquier y en . ${\displaystyle x\cdot y=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Z}$

El producto directo de estas dos estructuras se define de la siguiente manera: ${\displaystyle R_{gz}=G\times Z}$

• Los elementos de son pares ordenados tales que está en y está en . ${\displaystyle R_{gz}}$ ${\displaystyle (g,z)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z}$
• La operación se define elemento por elemento: ${\displaystyle R_{gz}}$

  Fórmula 1: ${\displaystyle (x,y)\cdot (u,v)=(xu,v)}$

Los elementos de se verán así y así sucesivamente. Para abreviar, cambiemos el nombre de estos elementos por , y así sucesivamente. La tabla de Cayley de es la siguiente: ${\displaystyle R_{gz}}$ ${\displaystyle (e,1),(e,2),(a,1)}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},a_{1}}$ ${\displaystyle R_{gz}}$

A continuación se presentan algunos datos sobre : ${\displaystyle R_{gz}}$

• ${\displaystyle R_{gz}}$tiene dos identidades izquierdas: y . Algunos ejemplos: ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$

  ${\displaystyle e2\cdot b1=b1}$

  ${\displaystyle e1\cdot a2=a2}$

• Cada elemento tiene dos inversos derechos. Por ejemplo, los inversos derechos de con respecto a y son y , respectivamente. ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$

  ${\displaystyle a2\cdot b1=e1}$

  ${\displaystyle a2\cdot b2=e2}$

Números complejos en coordenadas polares

Clifford da un segundo ejemplo ^[4] que involucra números complejos . Dados dos números complejos distintos de cero a y b , la siguiente operación forma un grupo derecho:

${\displaystyle a\cdot b=|a|\,b}$

Todos los números complejos con módulo igual a 1 son identidades izquierdas, y todos los números complejos tendrán una inversa derecha con respecto a cualquier identidad izquierda.

La estructura interna de este grupo correcto se hace evidente cuando utilizamos coordenadas polares : sean y , donde A y B son las magnitudes y y son los argumentos (ángulos) de a y b , respectivamente. (esta no es la multiplicación regular de números complejos) se convierte entonces en . Si representamos las magnitudes y los argumentos como pares ordenados, podemos escribir esto como: ${\displaystyle a=Ae^{i\alpha }}$ ${\displaystyle b=Be^{i\beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle Ae^{i\alpha }\cdot Be^{i\beta }=ABe^{i\beta }}$

Fórmula 2: ${\displaystyle (A,\alpha )\cdot (B,\beta )=(AB,\beta )}$

Este grupo derecho es el producto directo de un grupo ( números reales positivos bajo multiplicación) y un semigrupo cero derecho inducido por los números reales. Estructuralmente, esto es idéntico a la fórmula 1 anterior. De hecho, así es como se ven todas las operaciones de grupo derecho cuando se escriben como pares ordenados del producto directo de sus factores.

Números complejos en coordenadas cartesianas

Si tomamos los números complejos y definimos una operación similar al ejemplo 2 pero usamos coordenadas cartesianas en lugar de polares y suma en lugar de multiplicación, obtenemos otro grupo derecho, con la operación definida de la siguiente manera:

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=a+c+di}$, o equivalentemente:

Fórmula 3: ${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(a+c,d)}$

Un ejemplo práctico de la informática

Considere el siguiente ejemplo de informática, donde un conjunto se implementaría como un tipo de lenguaje de programación .

• Sea el conjunto de fechas y horas en un lenguaje de programación arbitrario. ${\displaystyle X}$
• Sea el conjunto de transformaciones equivalentes a agregar una duración a un elemento de . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$
• Sea el conjunto de transformaciones de zona horaria en elementos de . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

Tanto y son subconjuntos de , el semigrupo de transformación completo en . se comporta como un grupo , donde hay una duración cero y cada duración tiene una duración inversa. Si tratamos estas transformaciones como acciones de semigrupo derecho , se comporta como un semigrupo cero derecho , de modo que una transformación de zona horaria siempre cancela cualquier transformación de zona horaria anterior en una fecha y hora determinadas. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle T_{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle Z}$

Dadas dos fechas y horas arbitrarias (ignorando los problemas relacionados con los límites de representación), se puede encontrar un par de una duración y una zona horaria que se transformará en . Esta transformación compuesta de conversión de zona horaria y adición de duración es isomorfa al grupo correcto . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle D\times Z}$

Tomando como ejemplo el paquete java.time, ^[5] los conjuntos y corresponderían a la clase ZonedDateTime , la función plus y la función withZoneSameInstant , respectivamente. Más concretamente, para cualquier ZonedDateTime t 1 y t 2, existe una Duration d y un ZoneId z , tales que: ${\displaystyle X,D}$ ${\displaystyle Z}$

t2 = t1.más(d).conZonaAlgúnInstantáneo(z)

La expresión anterior se puede escribir de forma más concisa utilizando la notación de acción correcta tomada de la teoría de grupos como:

${\displaystyle t2=t1.d.z}$

También se puede comprobar que las duraciones y los husos horarios, vistos como transformaciones de fecha/hora, además de obedecer a los axiomas de grupos y semigrupos cero derecho, respectivamente, conmutan entre sí. Es decir, para cualquier fecha/hora t, cualquier duración d y cualquier huso horario z:

${\displaystyle t.d.z=t.z.d}$

Esto es lo mismo que decir:

${\displaystyle d\cdot z=z\cdot d}$

Referencias

1. Nagy, Attila (2001). Clases especiales de semigrupos. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-6890-8.OCLC 46240335  .
2. Clifford, AH (29 de junio de 2014). La teoría algebraica de semigrupos. Preston, GB (reimpreso con correcciones ed.). Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-1234-0.OCLC 882503487  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Hollings, Christopher D. (1 de septiembre de 2017). «'Nadie podría malinterpretar lo que es un grupo': un estudio sobre la axiomática de grupos de principios del siglo XX». Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 71 (5): 409–481. doi :10.1007/s00407-017-0193-8. ISSN  1432-0657. PMC 5573778 . PMID  28912607. 
4. Clifford, AH (1933). "Un sistema que surge de un conjunto debilitado de postulados de grupo". Anales de Matemáticas . 34 (4): 865–871. doi :10.2307/1968703. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968703.
5. "java.time (Plataforma Java SE 8)". docs.oracle.com . Consultado el 3 de junio de 2021 .