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Semigrupo numérico

En matemáticas, un semigrupo numérico es un tipo especial de semigrupo . Su conjunto subyacente es el conjunto de todos los números enteros no negativos excepto un número finito y la operación binaria es la operación de adición de números enteros. Además, el número entero debe ser un elemento del semigrupo. Por ejemplo, mientras que el conjunto {0, 2, 3, 4, 5, 6, ...} es un semigrupo numérico, el conjunto {0, 1, 3, 5, 6, ...} no lo es porque 1 está en el conjunto y 1 + 1 = 2 no está en el conjunto. Los semigrupos numéricos son monoides conmutativos y también se conocen como monoides numéricos . [1] [2]

La definición de semigrupo numérico está íntimamente relacionada con el problema de determinar números enteros no negativos que puedan expresarse en la forma x 1 n 1 + x 2 n 2 + ... + x r n r para un conjunto dado { n 1 , n 2 , ..., n r } de números enteros positivos y para números enteros no negativos arbitrarios x 1 , x 2 , ..., x r . Este problema había sido considerado por varios matemáticos como Frobenius (1849-1917) y Sylvester (1814-1897) a finales del siglo XIX. [3] Durante la segunda mitad del siglo XX, el interés en el estudio de los semigrupos numéricos resurgió debido a sus aplicaciones en la geometría algebraica . [4]

Definición y ejemplos

Definición

Sea N el conjunto de números enteros no negativos. Un subconjunto S de N se denomina semigrupo numérico si se cumplen las siguientes condiciones.

  1. 0 es un elemento de S
  2. N − S , el complemento de S en N , es finito.
  3. Si x e y están en S entonces x + y también está en S.

Existe un método sencillo para construir semigrupos numéricos. Sea A = { n 1 , n 2 , ..., n r } un conjunto no vacío de números enteros positivos. El conjunto de todos los números enteros de la forma x 1 n 1 + x 2 n 2 + ... + x r n r es el subconjunto de N generado por A y se denota por ⟨ A ⟩. El siguiente teorema caracteriza completamente los semigrupos numéricos.

Teorema

Sea S el subsemigrupo de N generado por A . Entonces S es un semigrupo numérico si y sólo si mcd ( A ) = 1. Además, todo semigrupo numérico surge de esta manera. [5]

Ejemplos

Los siguientes subconjuntos de N son semigrupos numéricos.

  1. ⟨ 1 ⟩ = {0, 1, 2, 3, ...}
  2. ⟨ 1, 2 ⟩ = {0, 1, 2, 3, ...}
  3. ⟨ 2, 3 ⟩ = {0, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
  4. Sea a un entero positivo. ⟨ a , a + 1, a + 2, ... , 2 a – 1 ⟩ = {0, a , a + 1, a + 2, a + 3, ...}.
  5. Sea b un entero impar mayor que 1. Entonces ⟨ 2, b ⟩ = {0, 2, 4, . . . , b − 3 , b − 1, b , b + 1, b + 2, b + 3 , ...}.
  6. Semigrupo armónico bien temperado H ={0,12,19,24,28,31,34,36,38,40,42,43,45,46,47,48,...} [6]

Dimensión de incrustación, multiplicidad

El conjunto A es un conjunto de generadores del semigrupo numérico ⟨ A ⟩. Un conjunto de generadores de un semigrupo numérico es un sistema mínimo de generadores si ninguno de sus subconjuntos propios genera el semigrupo numérico. Se sabe que cada semigrupo numérico S tiene un único sistema mínimo de generadores y también que este sistema mínimo de generadores es finito. La cardinalidad del conjunto mínimo de generadores se denomina dimensión de incrustación del semigrupo numérico S y se denota por e ( S ). El miembro más pequeño en el sistema mínimo de generadores se denomina multiplicidad del semigrupo numérico S y se denota por m ( S ).

Número y género de Frobenius

Hay varios números notables asociados con un semigrupo numérico S.

  1. El conjunto N − S se denomina conjunto de huecos en S y se denota por G ( S ).
  2. El número de elementos en el conjunto de huecos G ( S ) se llama género de S (o, el grado de singularidad de S ) y se denota por g ( S ).
  3. El elemento más grande en G ( S ) se llama número de Frobenius de S y se denota por F ( S ).
  4. El elemento más pequeño de S tal que todos los números enteros mayores son también elementos de S se llama conductor; es F ( S ) + 1.

Ejemplos

Sea S = ⟨ 5, 7, 9 ⟩. Entonces tenemos:


Semigrupos numéricos con número o género de Frobenius pequeño

Cálculo del número de Frobenius

Semigrupos numéricos con dimensión de incrustación dos

Sylvester conocía los siguientes resultados generales. [7] Sean a y b números enteros positivos tales que mcd ( a , b ) = 1. Entonces

Semigrupos numéricos con dimensión de incrustación tres

No se conoce ninguna fórmula general para calcular el número de Frobenius de semigrupos numéricos que tengan una dimensión de incrustación de tres o más. No se puede encontrar ninguna fórmula polinómica para calcular el número de Frobenius o el género de un semigrupo numérico con una dimensión de incrustación de tres. [8] Todo entero positivo es el número de Frobenius de algún semigrupo numérico con una dimensión de incrustación de tres. [9]

Algoritmo de Rödseth

El siguiente algoritmo, conocido como algoritmo de Rödseth, [10] [11] se puede utilizar para calcular el número de Frobenius de un semigrupo numérico S generado por { a 1 , a 2 , a 3 } donde a 1 < a 2 < a 3 y mcd ( a 1 , a 2 , a 3 ) = 1. Su complejidad en el peor de los casos no es tan buena como la del algoritmo de Greenberg [12] pero es mucho más simple de describir.

donde q i ≥ 2, s i ≥ 0 para todo i.

Clases especiales de semigrupos numéricos

Un semigrupo numérico irreducible es un semigrupo numérico tal que no puede escribirse como la intersección de dos semigrupos numéricos que lo contienen propiamente. Un semigrupo numérico S es irreducible si y solo si S es máximo, con respecto a la inclusión del conjunto, en la colección de todos los semigrupos numéricos con número de Frobenius F ( S ).

Un semigrupo numérico S es simétrico si es irreducible y su número de Frobenius F ( S ) es impar. Decimos que S es pseudosimétrico siempre que S sea irreducible y F(S) sea par. Dichos semigrupos numéricos tienen caracterizaciones simples en términos de número de Frobenius y género:

Véase también

Referencias

  1. ^ Garcia-Sanchez, PA "Minicurso de semigrupos numéricos" . Consultado el 6 de abril de 2011 .
  2. ^ Finch, Steven. "Monoides de números naturales" (PDF) . Proyecto de algoritmos del INRIA . Consultado el 7 de abril de 2011 .
  3. ^ JC Rosales y PA García-Sánchez (2009). Semigrupos numéricos . Springer. ISBN. 978-1-4419-0159-0.
  4. ^ V. Barucci; et al. (1997). "Propiedades de maximalidad en semigrupos numéricos y aplicaciones a dominios locales analíticamente irreducibles unidimensionales". Memorias de la Sociedad Americana de Matemáticas . 598 .
  5. ^ García-Sánchez, JC Rosales, PA (2009). Semigrupos numéricos (Primera edición). Nueva York: Springer. p. 7. ISBN 978-1-4419-0160-6.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  6. ^ M. Bras-Amorós (2019). "Monoides temperados de números reales, el monoide fractal áureo y el semigrupo armónico bien temperado". Semigroup Forum . 99 (2): 496–516. arXiv : 1703.01077 . doi :10.1007/s00233-019-10059-4. S2CID  253781462.
  7. ^ JJ Sylvester (1884). "7382". Matemáticas de Educational Times con artículos y soluciones adicionales. Educational Times . 41 : 21.
  8. ^ F. Curtis (1990). «Sobre fórmulas para el número de Frobenius de un semigrupo numérico». Mathematica Scandinavica . 67 (2): 190–192. doi : 10.7146/math.scand.a-12330 . Consultado el 18 de marzo de 2019 .
  9. ^ JC Rosales; et al. (2004). «Todo entero positivo es el número de Frobenius de un semigrupo numérico con tres generadores». Mathematica Scandinavica . 94 (1): 5–12. doi : 10.7146/math.scand.a-14427 . Consultado el 14 de marzo de 2015 .
  10. ↑ JL Ramírez Alfonsín (2005). El problema diofántico de Frobenius . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 4–6. ISBN 978-0-19-856820-9.
  11. ^ Ö.J. Rodseth (1978). "Sobre un problema lineal diofántico de Frobenius". J. Reina Angew. Matemáticas. 301 : 171-178.
  12. ^ Harold Greenberg (1988). "Solución de una ecuación diofántica lineal para números enteros no negativos". Journal of Algorithms . 9 (3): 343–353. doi :10.1016/0196-6774(88)90025-9.