La acuñación de plata es un juego matemático para dos jugadores, inventado por John H. Conway . [1] Los dos jugadores se turnan para nombrar números enteros positivos que no sean la suma de múltiplos no negativos de números enteros nombrados previamente. El jugador que nombre 1 pierde. Por ejemplo, si el jugador A empieza con 2, B puede ganar nombrando 3, ya que A se ve obligado a nombrar 1. [2] La acuñación de plata es un ejemplo de un juego que utiliza el juego misère porque el jugador que es el último en poder mover pierde.
La acuñación de plata recibe su nombre de James Joseph Sylvester , [2] [3] quien demostró que si a y b son números enteros positivos relativamente primos , entonces ( a − 1)( b − 1) − 1 es el número más grande que no es una suma de múltiplos no negativos de a y b . [4] Por lo tanto, si a y b son los dos primeros movimientos en un juego de acuñación de plata, esta fórmula da el número más grande que todavía se puede jugar. De manera más general, si el máximo común divisor de los movimientos jugados hasta ahora es g , entonces solo pueden quedar un número finito de múltiplos de g por jugar, y después de que se jueguen todos, g debe disminuir en el siguiente movimiento. Por lo tanto, cada juego de acuñación de plata debe terminar eventualmente. [2] Cuando un juego de acuñación de plata tiene solo un número finito de movimientos restantes, el número más grande que todavía se puede jugar se llama número de Frobenius , y encontrar este número se llama el problema de la moneda . [5]
Un juego de muestra entre A y B:
Cada uno de los movimientos de A fue hacia una posición ganadora.
A diferencia de muchos juegos matemáticos similares, el juego de monedas de plata no ha sido completamente resuelto, principalmente porque muchas posiciones tienen una cantidad infinita de movimientos posibles. Además, el teorema principal que identifica una clase de posiciones ganadoras, debido a RL Hutchings, garantiza que dicha posición tiene una estrategia ganadora, pero no identifica la estrategia. El teorema de Hutchings establece que cualquiera de los números primos 5, 7, 11, 13, …, gana como primer movimiento, pero se sabe muy poco sobre los movimientos ganadores posteriores: estas son las únicas aperturas ganadoras conocidas. [2] [5]
Cuando el máximo común divisor de los movimientos que se han hecho hasta ahora es 1, el conjunto restante de números que se pueden jugar será un conjunto finito , y se puede describir matemáticamente como el conjunto de huecos de un semigrupo numérico . Algunas de estas posiciones finitas, incluidas todas las posiciones después de que el segundo jugador haya respondido a uno de los movimientos ganadores de Hutchings, permiten un movimiento especial que Sicherman llama "end". Un ender es un número que solo se puede jugar inmediatamente: jugar cualquier otro número lo descartaría. Si existe un ender, siempre es el número más grande que todavía se puede jugar. Por ejemplo, después de los movimientos (4,5), el número más grande que todavía se puede jugar es 11. Jugar 11 no puede descartar ningún número más pequeño, pero jugar cualquiera de los números más pequeños disponibles (1, 2, 3, 6 o 7) descartaría jugar 11, por lo que 11 es un ender. Cuando existe un ender, el siguiente jugador puede ganar siguiendo un argumento de robo de estrategia . Si una de las jugadas que no son de final puede ganar, el siguiente jugador realiza esa jugada ganadora. Y si ninguna de las jugadas que no son de final gana, entonces el siguiente jugador puede ganar jugando la jugada de final y forzando al otro jugador a hacer una de las otras jugadas que no son de final. Sin embargo, aunque este argumento demuestra que el siguiente jugador puede ganar, no identifica una estrategia ganadora para el jugador. Después de jugar un número primo que sea 5 o mayor como primer movimiento, el primer jugador en un juego de acuñación de monedas de plata siempre puede ganar siguiendo esta estrategia de final (no constructiva) en su siguiente turno. [2] [3]
Si hay otras aperturas ganadoras, deben ser números 3-lisos (números de la forma 2 i 3 j para enteros no negativos i y j ). Porque, si se juega cualquier número n que no sea de esta forma y no sea primo, entonces el segundo jugador puede ganar eligiendo un factor primo grande de n . Los primeros números 3-lisos, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12, son todos aperturas perdedoras, para las cuales se conocen estrategias completas por las cuales el segundo jugador puede ganar. Por el lema de Dickson (aplicado a los pares de exponentes ( i , j ) de estos números), solo un número finito de números 3-lisos pueden ser aperturas ganadoras, pero no se sabe si alguno de ellos lo es. [2] [5] En 2017, Conway (2017) ofreció un premio de $1000 para determinar quién gana en el primer caso sin resolver, el movimiento de apertura 16, como parte de un conjunto de problemas de premio que también incluyen el problema de 99 grafos de Conway , el espaciado mínimo de los conjuntos de Danzer y la conjetura de Thrackle . [6]