En matemáticas , la noción de divisor surgió originalmente en el contexto de la aritmética de números enteros. Con el desarrollo de los anillos abstractos , de los cuales los números enteros son el arquetipo , la noción original de divisor encontró una extensión natural.
La divisibilidad es un concepto útil para el análisis de la estructura de anillos conmutativos debido a su relación con la estructura ideal de dichos anillos.
Sea R un anillo, [a] y sean a y b elementos de R . Si existe un elemento x en R con ax = b , se dice que a es divisor izquierdo de b y que b es múltiplo derecho de a . [1] De manera similar, si existe un elemento y en R con ya = b , se dice que a es un divisor derecho de b y que b es un múltiplo izquierdo de a . Se dice que a es un divisor bilateral de b si es a la vez divisor izquierdo y divisor derecho de b ; No es necesario que las xey anteriores sean iguales.
Cuando R es conmutativo, las nociones de divisor izquierdo, divisor derecho y divisor bilateral coinciden, por lo que se dice simplemente que a es divisor de b , o que b es múltiplo de a , y se escribe . Los elementos a y b de un dominio integral son asociados si ambos y . La relación de asociación es una relación de equivalencia en R , por lo que divide a R en clases de equivalencia disjuntas .
Nota: Aunque estas definiciones tienen sentido en cualquier magma , se utilizan principalmente cuando este magma es el monoide multiplicativo de un anillo.
Los enunciados sobre la divisibilidad en un anillo conmutativo se pueden traducir en enunciados sobre ideales principales . Por ejemplo,
En lo anterior, denota el ideal principal de generado por el elemento .
Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Divisibilidad (teoría de anillos)", que tiene la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported, pero no la GFDL .
