En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de anillos , un anillo ideal libre (derecho) , o fir , es un anillo en el que todos los ideales derechos son módulos libres con rango único . Un anillo tal que todos los ideales derechos con como máximo n generadores son libres y tienen rango único se llama n-fir . Un semifir es un anillo en el que todos los ideales derechos finitamente generados son módulos libres de rango único. (Por lo tanto, un anillo es semifir si es n -fir para todo n ≥ 0). La propiedad semifir es simétrica izquierda-derecha, pero la propiedad fir no lo es.
Resulta que un abeto izquierdo y derecho es un dominio . Además, un abeto conmutativo es precisamente un dominio de ideal principal , mientras que un semiabeto conmutativo es precisamente un dominio de Bézout . Sin embargo, estos últimos hechos no son generalmente ciertos para anillos no conmutativos (Cohn 1971).
Todo dominio ideal recto principal R es un ideal recto principal, ya que todo ideal recto principal distinto de cero de un dominio es isomorfo a R . De la misma manera, un dominio de Bézout recto es un semi-ideal.
Como todos los ideales rectos de un abeto recto son libres, son proyectivos. Por lo tanto, cualquier abeto recto es un anillo hereditario recto , y, del mismo modo, un semiabeto recto es un anillo semihereditario recto . Como los módulos proyectivos sobre anillos locales son libres, y como los anillos locales tienen un número de base invariante , se deduce que un anillo hereditario recto local es un abeto recto, y un anillo semihereditario recto local es un semiabeto recto.
A diferencia de un dominio ideal derecho principal, un ideal derecho no es necesariamente noetheriano derecho , sin embargo en el caso conmutativo, R es un dominio de Dedekind ya que es un dominio hereditario y por lo tanto es necesariamente noetheriano.
Otro ejemplo importante y motivador de un anillo ideal libre son las k -álgebras asociativas libres (unitales) para anillos de división k , también llamados anillos polinomiales no conmutativos (Cohn 2000, §5.4).
Los semiabetos tienen un número de base invariante y cada semiabeto es un dominio de Sylvester .