En álgebra , un grupo finitamente generado es un grupo G que tiene algún conjunto generador finito S , de modo que cada elemento de G puede escribirse como la combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos de S y de inversos de dichos elementos. [1]
Por definición, todo grupo finito se genera de forma finita, ya que S puede considerarse como el propio G. Todo grupo infinito generado finitamente debe ser contable , pero no es necesario que los grupos contables se generen finitamente. El grupo aditivo de números racionales Q es un ejemplo de grupo contable que no se genera de forma finita.
Cada grupo abeliano puede verse como un módulo sobre el anillo de números enteros Z , y en un grupo abeliano finitamente generado con generadores x 1 , ..., x n , cada elemento del grupo x puede escribirse como una combinación lineal de estos generadores,
con números enteros α 1 , ..., α n .
Los subgrupos de un grupo abeliano generado finitamente son ellos mismos generados finitamente.
El teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados establece que un grupo abeliano finitamente generado es la suma directa de un grupo abeliano libre de rango finito y un grupo abeliano finito, cada uno de los cuales es único hasta el isomorfismo.
No es necesario generar de forma finita un subgrupo de un grupo generado de forma finita. El subgrupo conmutador del grupo libre en dos generadores es un ejemplo de un subgrupo de un grupo generado finitamente que no está generado finitamente.
Por otro lado, todos los subgrupos de un grupo abeliano generado finitamente lo son.
Un subgrupo de índice finito en un grupo generado de forma finita siempre se genera de forma finita, y la fórmula del índice de Schreier da un límite al número de generadores necesarios. [2]
En 1954, Albert G. Howson demostró que la intersección de dos subgrupos finitamente generados de un grupo libre se genera nuevamente de forma finita. Además, si y son los números de generadores de los dos subgrupos finitamente generados, entonces su intersección es generada por como máximo generadores. [3] Hanna Neumann mejoró significativamente este límite superior a ; véase la conjetura de Hanna Neumann .
La red de subgrupos de un grupo satisface la condición de cadena ascendente si y sólo si todos los subgrupos del grupo se generan de forma finita. Un grupo tal que todos sus subgrupos se generan de forma finita se llama noetheriano .
Un grupo tal que cada subgrupo generado finitamente es finito se llama localmente finito . Todo grupo localmente finito es periódico , es decir, todo elemento tiene orden finito . Por el contrario , todo grupo abeliano periódico es localmente finito. [4]
La teoría de grupos geométricos estudia las conexiones entre las propiedades algebraicas de grupos finitamente generados y las propiedades topológicas y geométricas de los espacios sobre los que actúan estos grupos .
El problema verbal para un grupo generado finitamente es el problema de decisión de si dos palabras en los generadores del grupo representan el mismo elemento. El problema planteado para un grupo dado finitamente generado tiene solución si y sólo si el grupo puede incluirse en todo grupo algebraicamente cerrado .
El rango de un grupo a menudo se define como la cardinalidad más pequeña de un grupo electrógeno para el grupo. Por definición, el rango de un grupo generado finitamente es finito.
