En álgebra abstracta , un grupo abeliano se denomina finitamente generado si existen un número finito de elementos en tales que cada en puede escribirse en la forma para algunos números enteros . En este caso, decimos que el conjunto es un conjunto generador de o que genera . Por lo tanto, los grupos abelianos finitamente generados pueden considerarse como una generalización de los grupos cíclicos.
Todo grupo abeliano finito se genera finitamente. Los grupos abelianos generados finitamente se pueden clasificar completamente.
No hay otros ejemplos (salvo el isomorfismo). En particular, el grupo de los números racionales no se genera de forma finita: [1] si son números racionales, se elige un número natural coprimo con todos los denominadores; entonces no se puede generar por . El grupo de los números racionales distintos de cero tampoco se genera de forma finita. Los grupos de los números reales bajo la suma y los números reales distintos de cero bajo la multiplicación tampoco se generan de forma finita. [1] [2]
El teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados se puede enunciar de dos maneras, generalizando las dos formas del teorema fundamental de los grupos abelianos finitos . El teorema, en ambas formas, a su vez se generaliza al teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal , que a su vez admite más generalizaciones.
La formulación de descomposición primaria establece que todo grupo abeliano finitamente generado G es isomorfo a una suma directa de grupos cíclicos primarios y grupos cíclicos infinitos . Un grupo cíclico primario es aquel cuyo orden es una potencia de un primo . Es decir, todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un grupo de la forma
donde n ≥ 0 es el rango , y los números q 1 , ..., q t son potencias de números primos (no necesariamente distintos). En particular, G es finito si y solo si n = 0. Los valores de n , q 1 , ..., q t están determinados de forma única ( hasta reordenar los índices) por G , es decir, hay una y solo una forma de representar G como tal descomposición.
La prueba de esta afirmación utiliza el teorema de la base para el grupo abeliano finito : todo grupo abeliano finito es una suma directa de grupos cíclicos primarios . Denotemos el subgrupo de torsión de G como tG . Entonces, G/tG es un grupo abeliano libre de torsión y, por lo tanto, es abeliano libre. tG es un sumando directo de G , lo que significa que existe un subgrupo F de G st , donde . Entonces, F también es abeliano libre. Dado que tG se genera finitamente y cada elemento de tG tiene orden finito, tG es finito. Por el teorema de la base para el grupo abeliano finito, tG puede escribirse como suma directa de grupos cíclicos primarios.
También podemos escribir cualquier grupo abeliano G finitamente generado como una suma directa de la forma
donde k 1 divide a k 2 , que divide a k 3 y así sucesivamente hasta k u . Nuevamente, el rango n y los factores invariantes k 1 , ..., k u están determinados de manera única por G (aquí con un orden único). El rango y la secuencia de factores invariantes determinan el grupo hasta el isomorfismo.
Estas afirmaciones son equivalentes como resultado del teorema del resto chino , que implica que si y sólo si j y k son coprimos .
La historia y el crédito por el teorema fundamental se complican por el hecho de que se demostró cuando la teoría de grupos no estaba bien establecida, y por lo tanto las formas tempranas, aunque esencialmente el resultado y la prueba modernos, a menudo se establecen para un caso específico. Brevemente, una forma temprana del caso finito fue demostrada por Gauss en 1801, el caso finito fue demostrado por Kronecker en 1870, y establecido en términos de teoría de grupos por Frobenius y Stickelberger en 1878. [ cita requerida ] El caso finitamente presentado se resuelve mediante la forma normal de Smith y, por lo tanto, con frecuencia se le atribuye (Smith 1861), [3] aunque el caso finitamente generado a veces se le atribuye a Poincaré en 1900; [ cita requerida ] los detalles siguen.
El teórico de grupos László Fuchs afirma: [3]
En lo que se refiere al teorema fundamental sobre grupos abelianos finitos, no está claro hasta dónde hay que remontarse en el tiempo para rastrear su origen. ... tomó mucho tiempo formular y demostrar el teorema fundamental en su forma actual...
El teorema fundamental para grupos abelianos finitos fue demostrado por Leopold Kronecker en 1870, [ cita requerida ] utilizando una prueba de teoría de grupos, [4] aunque sin formularla en términos de teoría de grupos; [5] una presentación moderna de la prueba de Kronecker se da en (Stillwell 2012), 5.2.2 Teorema de Kronecker, 176-177. Esto generalizó un resultado anterior de Carl Friedrich Gauss de Disquisitiones Arithmeticae (1801), que clasificaba las formas cuadráticas; Kronecker citó este resultado de Gauss. El teorema fue formulado y demostrado en el lenguaje de los grupos por Ferdinand Georg Frobenius y Ludwig Stickelberger en 1878. [6] [7] Otra formulación de teoría de grupos fue dada por el estudiante de Kronecker Eugen Netto en 1882. [8] [9]
El teorema fundamental para grupos abelianos presentados finitamente fue demostrado por Henry John Stephen Smith en (Smith 1861), [3] ya que las matrices enteras corresponden a presentaciones finitas de grupos abelianos (esto se generaliza a módulos presentados finitamente sobre un dominio ideal principal), y la forma normal de Smith corresponde a la clasificación de grupos abelianos presentados finitamente.
El teorema fundamental para grupos abelianos finitamente generados fue demostrado por Henri Poincaré en 1900, usando una prueba matricial (que se generaliza a dominios ideales principales). [ cita requerida ] Esto se hizo en el contexto del cálculo de la homología de un complejo, específicamente el número de Betti y los coeficientes de torsión de una dimensión del complejo, donde el número de Betti corresponde al rango de la parte libre y los coeficientes de torsión corresponden a la parte de torsión. [4]
La prueba de Kronecker fue generalizada a grupos abelianos generados finitamente por Emmy Noether en 1926. [4]
Dicho de otra manera, el teorema fundamental dice que un grupo abeliano finitamente generado es la suma directa de un grupo abeliano libre de rango finito y un grupo abeliano finito, cada uno de los cuales es único salvo isomorfismo. El grupo abeliano finito es simplemente el subgrupo de torsión de G . El rango de G se define como el rango de la parte libre de torsión de G ; este es simplemente el número n en las fórmulas anteriores.
Un corolario del teorema fundamental es que todo grupo abeliano libre de torsión generado finitamente es abeliano libre. La condición de generación finita es esencial aquí: es libre de torsión pero no abeliano libre.
Cada subgrupo y grupo factorial de un grupo abeliano finitamente generado es a su vez un grupo abeliano finitamente generado. Los grupos abelianos finitamente generados, junto con los homomorfismos de grupo , forman una categoría abeliana que es una subcategoría de Serre de la categoría de grupos abelianos .
Nótese que no todo grupo abeliano de rango finito se genera finitamente; el grupo de rango 1 es un contraejemplo, y el grupo de rango 0 dado por una suma directa de un número infinito de copias de es otro.
