Ferdinand Georg Frobenius (26 de octubre de 1849 - 3 de agosto de 1917) fue un matemático alemán , conocido por sus contribuciones a la teoría de funciones elípticas , ecuaciones diferenciales , teoría de números y teoría de grupos . Es conocido por las famosas identidades determinantes, conocidas como fórmulas de Frobenius-Stickelberger, que rigen las funciones elípticas, y por desarrollar la teoría de formas bicuadráticas. También fue el primero en introducir la noción de aproximaciones racionales de funciones (hoy conocidas como aproximantes de Padé ), y dio la primera prueba completa del teorema de Cayley-Hamilton . También prestó su nombre a ciertos objetos geométricos diferenciales en la física matemática moderna , conocidos como variedades de Frobenius .
Ferdinand Georg Frobenius nació el 26 de octubre de 1849 en Charlottenburg , un suburbio de Berlín , [1] de padres Christian Ferdinand Frobenius, un párroco protestante , y Christine Elizabeth Friedrich. Ingresó en el Joachimsthal Gymnasium en 1860 cuando tenía casi once años. [2] En 1867, después de graduarse, fue a la Universidad de Gotinga donde comenzó sus estudios universitarios, pero solo estudió allí durante un semestre antes de regresar a Berlín, donde asistió a conferencias de Kronecker , Kummer y Karl Weierstrass . Recibió su doctorado (otorgado con distinción) en 1870 supervisado por Weierstrass. Su tesis fue sobre la solución de ecuaciones diferenciales. En 1874, después de haber enseñado a nivel de escuela secundaria primero en el Joachimsthal Gymnasium y luego en la Sophienrealschule, fue designado para la Universidad de Berlín como profesor extraordinario de matemáticas. [2] Frobenius estuvo en Berlín sólo un año antes de ir a Zúrich para aceptar un nombramiento como profesor ordinario en el Eidgenössische Polytechnikum . Durante diecisiete años, entre 1875 y 1892, Frobenius trabajó en Zúrich. Fue allí donde se casó, crió a su familia y realizó un trabajo muy importante en áreas muy diferentes de las matemáticas. En los últimos días de diciembre de 1891 murió Kronecker y, por lo tanto, su cátedra en Berlín quedó vacante. Weierstrass, convencido de que Frobenius era la persona adecuada para mantener a Berlín en la vanguardia de las matemáticas, utilizó su considerable influencia para que se nombrara a Frobenius. En 1893 regresó a Berlín, donde fue elegido miembro de la Academia Prusiana de Ciencias .
La teoría de grupos fue uno de los principales intereses de Frobenius en la segunda mitad de su carrera. Una de sus primeras contribuciones fue la demostración de los teoremas de Sylow para grupos abstractos. Las demostraciones anteriores habían sido para grupos de permutación . Su demostración del primer teorema de Sylow (sobre la existencia de grupos de Sylow) es una de las que se utilizan con frecuencia en la actualidad.
Más importante fue su creación de la teoría de los caracteres de grupo y de las representaciones de grupo , que son herramientas fundamentales para estudiar la estructura de los grupos. Este trabajo condujo a la noción de reciprocidad de Frobenius y a la definición de lo que ahora se denomina grupos de Frobenius . Se dice que un grupo G es un grupo de Frobenius si existe un subgrupo H < G tal que
En ese caso, el conjunto
junto con el elemento identidad de G forma un subgrupo que es nilpotente como lo demostró John G. Thompson en 1959. [4] Todas las demostraciones conocidas de ese teorema hacen uso de caracteres. En su primer artículo sobre caracteres (1896), Frobenius construyó la tabla de caracteres del grupo de orden (1/2)( p 3 − p) para todos los primos impares p (este grupo es simple siempre que p > 3). También hizo contribuciones fundamentales a la teoría de la representación de los grupos simétricos y alternados .
Frobenius introdujo una forma canónica de convertir primos en clases de conjugación en grupos de Galois sobre Q. Específicamente, si K / Q es una extensión finita de Galois, entonces para cada primo (positivo) p que no se ramifique en K y para cada ideal primo P que se encuentre sobre p en K hay un elemento único g de Gal( K / Q ) que satisface la condición g ( x ) = x p (mod P ) para todos los enteros x de K . Variar P sobre p cambia g en un conjugado (y cada conjugado de g ocurre de esta manera), por lo que la clase de conjugación de g en el grupo de Galois está asociada canónicamente a p . Esto se llama la clase de conjugación de Frobenius de p y cualquier elemento de la clase de conjugación se llama un elemento de Frobenius de p . Si tomamos para K el cuerpo ciclotómico m , cuyo grupo de Galois sobre Q es las unidades módulo m (y por lo tanto es abeliano, por lo que las clases de conjugación se convierten en elementos), entonces para p no dividiendo a m la clase de Frobenius en el grupo de Galois es p módulo m . Desde este punto de vista, la distribución de las clases de conjugación de Frobenius en los grupos de Galois sobre Q (o, más generalmente, los grupos de Galois sobre cualquier cuerpo de números) generaliza el resultado clásico de Dirichlet sobre los primos en progresiones aritméticas. El estudio de los grupos de Galois de extensiones de grado infinito de Q depende crucialmente de esta construcción de elementos de Frobenius, que proporciona en cierto sentido un subconjunto denso de elementos que son accesibles al estudio detallado.
