Conjetura de Hanna Neumann

Proposición en teoría de grupos

En el tema matemático de la teoría de grupos , la conjetura de Hanna Neumann es una afirmación sobre el rango de la intersección de dos subgrupos finitamente generados de un grupo libre . La conjetura fue planteada por Hanna Neumann en 1957. ^{[1] En 2011, Joel Friedman [2]} e Igor Mineyev demostraron de forma independiente una versión reforzada de la conjetura (ver más abajo) . ^[3]

En 2017, Andrei Jaikin-Zapirain publicó una tercera prueba de la conjetura reforzada de Hanna Neumann, basada en argumentos homológicos inspirados en consideraciones a favor del grupo p . ^[4]

Historia

El tema de la conjetura fue motivado originalmente por un teorema de Howson ^[5] de 1954, quien demostró que la intersección de dos subgrupos cualesquiera generados finitamente de un grupo libre siempre se genera finitamente, es decir, tiene rango finito . En este artículo, Howson demostró que si H y K son subgrupos de un grupo libre F ( X ) de rangos finitos n  ≥ 1 y m  ≥ 1, entonces el rango s de H  ∩  K satisface:

s  - 1 ≤ 2 metro  -  metro  -  norte .

En un artículo de 1956 ^[6] Hanna Neumann mejoró este límite mostrando que:

s  - 1 ≤ 2 metro  -  2m  -  norte .

En un apéndice de 1957, ^[1] Hanna Neumann mejoró aún más este límite para demostrar que, bajo los supuestos anteriores

s − 1 ≤ 2( metro − 1)( norte − 1).

También conjeturó que el factor 2 en la desigualdad anterior no es necesario y que siempre se tiene

s  − 1 ≤ ( metro  − 1)( norte  − 1).

Esta afirmación se conoció como la conjetura de Hanna Neumann .

Declaración formal

Sean H , K ≤ F ( X ) dos subgrupos no triviales finitamente generados de un grupo libre F ( X ) y sea L  =  H  ∩  K la intersección de H y K . La conjetura dice que en este caso

rango( L ) − 1 ≤ (rango( H ) − 1)(rango( K ) − 1).

Aquí, para un grupo G , el rango de cantidad ( G ) es el rango de G , es decir, el tamaño más pequeño de un conjunto generador para G. Se sabe que cada subgrupo de un grupo libre es libre en sí mismo y el rango de un grupo libre es igual al tamaño de cualquier base libre de ese grupo libre.

Conjetura reforzada de Hanna Neumann

Si H , K ≤ G son dos subgrupos de un grupo G y si a , b ∈ G definen la misma doble clase lateral HaK = HbK entonces los subgrupos H  ∩  aKa ⁻¹ y H  ∩  bKb ⁻¹ son conjugados en G y por tanto tienen la mismo rango . Se sabe que si H , K ≤ F ( X ) son subgrupos generados finitamente de un grupo libre F ( X ) generado finitamente, entonces existen como mucho un número finito de clases laterales dobles HaK en F ( X ) tales que H  ∩  aKa ⁻¹  ≠ {1}. Supongamos que existe al menos una de esas clases laterales dobles y sean a ₁ ,..., an _todos los distintos representantes de dichas clases laterales dobles. La conjetura reforzada de Hanna Neumann , formulada por su hijo Walter Neumann (1990), ^[7] afirma que en esta situación

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}[{\rm {rank}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq ({\rm {rank}}(H)-1)({\rm {rank}}(K)-1).}$

La conjetura reforzada de Hanna Neumann fue demostrada en 2011 por Joel Friedman. ^[2] Poco después, Igor Mineyev dio otra prueba. ^[3]

Resultados parciales y otras generalizaciones

• En 1971, Burns mejoró ^[8] la cota de 1957 de Hanna Neumann y demostró que, bajo los mismos supuestos que en el artículo de Hanna Neumann, se tiene

s ≤ 2 metro  - 3 metro  - 2 norte  + 4.

• En un artículo de 1990, ^[7] Walter Neumann formuló la conjetura reforzada de Hanna Neumann (ver declaración arriba).
• Tardos (1992) ^[9] estableció la Conjetura de Hanna Neumann reforzada para el caso en el que al menos uno de los subgrupos H y K de F ( X ) tiene rango dos. Como la mayoría de los otros enfoques de la conjetura de Hanna Neumann, Tardos utilizó la técnica de los gráficos de subgrupos de Stallings ^[10] para analizar subgrupos de grupos libres y sus intersecciones.
• Warren Dicks (1994) ^[11] estableció la equivalencia de la conjetura reforzada de Hanna Neumann y un enunciado teórico de grafos que llamó conjetura de grafos amalgamados .
• Arzhantseva (2000) demostró ^[12] que si H es un subgrupo finitamente generado de índice infinito en F ( X ), entonces, en cierto significado estadístico, para un subgrupo genérico finitamente generado en , tenemos H  ∩  gKg ⁻¹  = { 1} para todo g en F . Por tanto, la conjetura reforzada de Hanna Neumann es válida para cada H y una K genérica . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F(X)}$
• En 2001, Dicks y Formanek establecieron la conjetura reforzada de Hanna Neumann para el caso en que al menos uno de los subgrupos H y K de F ( X ) tiene rango como máximo tres. ^[13]
• Khan (2002) ^[14] e, independientemente, Meakin y Weil (2002), ^[15] demostraron que la conclusión de la conjetura reforzada de Hanna Neumann se cumple si uno de los subgrupos H , K de F ( X ) se genera positivamente , que es, generado por un conjunto finito de palabras que involucran solo elementos de X pero no de X ⁻¹ como letras.
• Ivanov ^{[16] [17]} y Dicks e Ivanov ^[18] obtuvieron análogos y generalizaciones de los resultados de Hanna Neumann para la intersección de los subgrupos H y K de un producto libre de varios grupos.
• Wise (2005) afirmó ^[19] que la conjetura reforzada de Hanna Neumann implica otra conjetura de teoría de grupos de larga data que dice que todo grupo de un relador con torsión es coherente (es decir, cada subgrupo finitamente generado en dicho grupo se presenta de forma finita). ).

Ver también

• Teoría de grupos geométricos

Referencias

1. Hanna Neumann. En la intersección de grupos libres finitamente generados. Apéndice. Publicaciones Mathematicae Debrecen , vol. 5 (1957), pág. 128
2. Joel Friedman, "Gavillas de gráficos, sus invariantes homológicas y una prueba de la conjetura de Hanna Neumann: con un apéndice de Warren Dicks" Mem. América. Matemáticas. Soc., 233 (2015), núm. 1100.
3. Igor Minevev, "La submultiplicatividad y la conjetura de Hanna Neumann". Ana. de Matemáticas, 175 (2012), núm. 1, 393-414.
4. Andrei Jaikin-Zapirain, Aproximación por subgrupos de índice finito y la conjetura de Hanna Neumann, Duke Mathematical Journal , 166 (2017), no. 10, págs. 1955-1987
5. AG Howson. En la intersección de grupos libres finitamente generados. Revista de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 29 (1954), págs. 428–434
6. Hanna Neumann. En la intersección de grupos libres finitamente generados. Publicaciones Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.
7. Walter Neumann. En intersecciones de subgrupos de grupos libres generados finitamente. Grupos – Canberra 1989, págs. 161–170. Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 1456, Springer, Berlín, 1990; ISBN  3-540-53475-X
8. Robert G. quemaduras. En la intersección de subgrupos finitamente generados de un grupo libre. Mathematische Zeitschrift , vol. 119 (1971), págs. 121-130.
9. Gábor Tardos. En la intersección de subgrupos de un grupo libre. Invenciones Mathematicae , vol. 108 (1992), núm. 1, págs. 29–36.
10. John R. Stallings. Topología de grafos finitos. Invenciones Mathematicae , vol. 71 (1983), núm. 3, págs. 551–565
11. Warren Dicks. Equivalencia de la conjetura reforzada de Hanna Neumann y la conjetura del gráfico amalgamado. Invenciones Mathematicae , vol. 117 (1994), núm. 3, págs. 373–389
12. GN Arzhantsev. Una propiedad de subgrupos de índice infinito en un grupo libre Proc. América. Matemáticas. Soc. 128 (2000), 3205–3210.
13. Warren Dicks y Edward Formanek . El caso de rango tres de la conjetura de Hanna Neumann. Revista de teoría de grupos, vol. 4 (2001), núm. 2, págs. 113-151
14. Bilal Khan. Subgrupos de grupos libres generados positivamente y la conjetura de Hanna Neumann. Teoría de grupos combinatoria y geométrica (Nueva York, 2000/Hoboken, Nueva Jersey, 2001), 155–170, Contemporary Mathematics, vol. 296, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , Providence, RI, 2002; ISBN 0-8218-2822-3 
15. J. Meakin y P. Weil. Subgrupos de grupos libres: una contribución a la conjetura de Hanna Neumann. Actas de la Conferencia sobre Teoría de Grupos Geométrica y Combinatoria, Parte I (Haifa, 2000). Geometriae Dedicata , vol. 94 (2002), págs. 33–43.
16. SVIvánov. Intersección de subgrupos libres en productos libres de grupos. Revista Internacional de Álgebra y Computación, vol. 11 (2001), núm. 3, págs. 281–290
17. SVIvánov. Según el rango de Kurosh de la intersección de subgrupos en productos libres de grupos . Avances en Matemáticas , vol. 218 (2008), núm. 2, págs. 465–484
18. Warren Dicks y SV Ivanov. Sobre la intersección de subgrupos libres en productos libres de grupos. Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, vol. 144 (2008), núm. 3, págs. 511–534
19. La coherencia de grupos de un relacionador con torsión y la conjetura de Hanna Neumann. Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , vol. 37 (2005), núm. 5, págs. 697–705