Propiedad de Howson

En la disciplina matemática de la teoría de grupos , la propiedad de Howson , también conocida como propiedad de intersección finitamente generada (FGIP) , es la propiedad de un grupo que dice que la intersección de dos subgrupos finitamente generados de este grupo es a su vez finitamente generada. La propiedad recibe su nombre de Albert G. Howson , quien en un artículo de 1954 estableció que los grupos libres tienen esta propiedad. ^[1]

Definición formal

Se dice que un grupo tiene la propiedad de Howson si para cada subgrupo finitamente generado de su intersección hay nuevamente un subgrupo finitamente generado de . ^[2] ${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización H,K}$ ${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización H\cap K}$ ${\estilo de visualización G}$

Ejemplos y no ejemplos

Todo grupo finito tiene la propiedad de Howson.
El grupo no tiene la propiedad de Howson. En concreto, si es el generador del factor de , entonces para y , se tiene . Por lo tanto, no es finitamente generado. ^[3] $G=F(a,b)\times \mathbb {Z}$ ${\estilo de visualización t}$ $\mathbb {Z}$ ${\estilo de visualización G}$ $H=F(a,b)$ $K=\langle a,tb\rangle \leq G$ $H\cap K=\nombre del operador {ncl} _{F(a,b)}(a)$ ${\estilo de visualización H\cap K}$
Si es una superficie compacta entonces el grupo fundamental de tiene la propiedad de Howson. ^[4] ${\estilo de visualización \Sigma}$ $\pi _{1}(\Sigma )$ ${\estilo de visualización \Sigma}$
Un grupo cíclico infinito libre por (grupo cíclico infinito) , donde , nunca tiene la propiedad de Howson. ^[5] $F_{n}\rtimes \mathbb {Z}$ $n\geq 2$
En vista de la reciente prueba de la conjetura de Haken virtualmente y la conjetura de fibra virtualmente para 3-variedades, los resultados establecidos previamente implican que si M es una 3-variedad hiperbólica cerrada, entonces no tiene la propiedad de Howson. ^[6] $estilo de visualización {\pi _{1}(M)}$
Entre los grupos 3-variedades, hay muchos ejemplos que tienen y no tienen la propiedad de Howson. Los grupos 3-variedades con la propiedad de Howson incluyen grupos fundamentales de 3-variedades hiperbólicas de volumen infinito, grupos 3-variedades basados en geometrías Sol y Nil , así como grupos 3-variedades obtenidos por algunas construcciones de suma conectada y descomposición JSJ . ^[6]
Para cada grupo Baumslag –Solitar se tiene la propiedad de Howson. ^[3] $n\geq 1$ $BS(1,n)=\langle a,t\mid t^{-1}at=a^{n}\rangle$
Si G es un grupo en el que cada subgrupo finitamente generado es noetheriano , entonces G tiene la propiedad de Howson. En particular, todos los grupos abelianos y todos los grupos nilpotentes tienen la propiedad de Howson.
Todo grupo policíclico por finito tiene la propiedad de Howson. ^[7]
Si son grupos con la propiedad de Howson entonces su producto libre también tiene la propiedad de Howson. ^[8] De manera más general, la propiedad de Howson se conserva tomando productos libres amalgamados y extensión HNN de grupos con la propiedad de Howson sobre subgrupos finitos. ^[9] ${\estilo de visualización A,B}$ ${\estilo de visualización A\ast B}$
En general, la propiedad de Howson es bastante sensible a los productos amalgamados y a las extensiones HNN sobre subgrupos infinitos. En particular, para grupos libres y un grupo cíclico infinito , el producto libre amalgamado tiene la propiedad de Howson si y solo si es un subgrupo cíclico máximo tanto en como en . ^[10] ${\estilo de visualización F,F'}$ ${\estilo de visualización C}$ $R\ast_{C}F'$ ${\estilo de visualización C}$ ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización F'}$
Un grupo de Artin en ángulo recto tiene la propiedad de Howson si y sólo si cada componente conectado es un gráfico completo. ^[11] $A(\Gamma )$ ${\estilo de visualización \Gamma}$
Los grupos límite tienen la propiedad de Howson. ^[12]
No se sabe si tiene la propiedad Howson. ^[13] $SL(3,\mathbb {Z} )$
Porque el grupo contiene un subgrupo isomorfo a y no tiene la propiedad de Howson. ^[13] $n\geq 4$ $SL(n,\mathbb {Z} )$ $F(a,b)\times F(a,b)$
Muchos grupos de cancelación pequeños y grupos de Coxeter , que satisfacen la condición de "reducción de perímetro" en su presentación, son grupos hiperbólicos de palabras localmente cuasiconvexos y, por lo tanto, tienen la propiedad de Howson. ^[14]^[15]
Los grupos de un solo relator , donde también son grupos hiperbólicos de palabras localmente cuasiconvexos y, por lo tanto, tienen la propiedad de Howson. ^[16] $G=\langle x_{1},\dots,x_{k}\mid r^{n}=1\rangle$ $n\geq |r|$
El grupo Grigorchuk G de crecimiento intermedio no tiene la propiedad de Howson. ^[17]
La propiedad de Howson no es una propiedad de primer orden , es decir, la propiedad de Howson no puede caracterizarse mediante una colección de fórmulas de lenguaje de grupo de primer orden . ^[18]
Un grupo pro-p libre satisface una versión topológica de la propiedad de Howson: si son subgrupos cerrados de generados topológicamente de manera finita, entonces su intersección es generada topológicamente de manera finita. ^[19] ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización H,K}$ ${\estilo de visualización F}$ ${\estilo de visualización H\cap K}$
Para cualquier número entero fijo, un grupo generador- relacionador "genérico" tiene la propiedad de que, para cualquier subgrupo generado, su intersección se genera nuevamente de manera finita. ^[20] $m\geq 2,n\geq 1,d\geq 1,$ ${\estilo de visualización m}$ ${\estilo de visualización n}$ $G=\langle x_{1},\dots x_{m}|r_{1},\dots,r_{n}\rangle$ ${\estilo de visualización d}$ ${\estilo de visualización H,K\leq G}$ ${\estilo de visualización H\cap K}$
El producto de corona no tiene la propiedad de Howson. ^[21] $\mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z}$
El grupo de Thompson no tiene la propiedad de Howson, ya que contiene . ^[22] ${\estilo de visualización F}$ $\mathbb {Z} \ wr\ \mathbb {Z}$

Véase también

Conjetura de Hanna Neumann

Referencias

^ AG Howson, Sobre la intersección de grupos libres finitamente generados . Journal of the London Mathematical Society 29 (1954), 428–434
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