Toda variedad 3-variedad compacta e irreducible con grupo fundamental infinito es virtualmente Haken.
En topología , un área de las matemáticas , la conjetura virtualmente de Haken establece que toda variedad tridimensional compacta , orientable e irreducible con un grupo fundamental infinito es virtualmente de Haken . Es decir, tiene una cobertura finita (un espacio de cobertura con una función de cobertura finita a uno) que es una variedad de Haken .
Después de la prueba de la conjetura de geometrización por Perelman , la conjetura sólo quedó abierta para 3-variedades hiperbólicas .
La conjetura suele atribuirse a Friedhelm Waldhausen en un artículo de 1968, [1] aunque no la formuló formalmente. Este problema se enuncia formalmente como Problema 3.2 en la lista de problemas de Kirby .
El 12 de marzo de 2012, Ian Agol anunció una prueba de la conjetura en una conferencia de seminario que dio en el Instituto Henri Poincaré . La prueba apareció poco después en una preimpresión que finalmente se publicó en Documenta Mathematica . [2] La prueba se obtuvo mediante una estrategia del trabajo previo de Daniel Wise y colaboradores, basándose en acciones del grupo fundamental en ciertos espacios auxiliares (complejos cúbicos CAT(0), también conocidos como grafos medianos ) [3]
Utilizó como ingrediente esencial la solución recién obtenida para la conjetura del subgrupo de superficies por Jeremy Kahn y Vladimir Markovic . [4] [5]
Otros resultados que se utilizan directamente en la prueba de Agol incluyen el Teorema del cociente especial malnormal de Wise [6] y un criterio de Nicolas Bergeron y Wise para la cubulación de grupos. [7]
En 2018, Piotr Przytycki y Daniel Wise obtuvieron resultados relacionados que demuestran que las 3-variedades mixtas también son virtualmente especiales, es decir, se pueden cubular en un complejo cúbico con una cubierta finita donde están incrustados todos los hiperplanos, lo que mediante el trabajo mencionado anteriormente se puede hacer virtualmente Haken. [8] [9]
Véase también
Notas
- ^ Waldhausen, Friedhelm (1968). "Sobre variedades 3-irreducibles que son suficientemente grandes". Anales de Matemáticas . 87 (1): 56–88. doi :10.2307/1970594. JSTOR 1970594. MR 0224099.
- ^ Agol, Ian (2013). "La conjetura virtual de Haken". Doc. Math . 18 . Con un apéndice de Ian Agol, Daniel Groves y Jason Manning: 1045–1087. doi : 10.4171/dm/421 . MR 3104553. S2CID 255586740.
- ^ Haglund, Frédéric; Wise, Daniel (2012). "Un teorema de combinación para complejos cúbicos especiales". Anales de Matemáticas . 176 (3): 1427–1482. doi : 10.4007/annals.2012.176.3.2 . MR 2979855.
- ^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2012). "Inmersión de superficies casi geodésicas en una variedad hiperbólica cerrada de tres dimensiones". Anales de Matemáticas . 175 (3): 1127–1190. arXiv : 0910.5501 . doi :10.4007/annals.2012.175.3.4. MR 2912704. S2CID 32593851.
- ^ Kahn, Jeremy; Markovic, Vladimir (2012). "Conteo de superficies esenciales en una variedad hiperbólica cerrada de tres dimensiones". Geometría y topología . 16 (1): 601–624. arXiv : 1012.2828 . doi :10.2140/gt.2012.16.601. MR 2916295.
- ^ Daniel T. Wise, La estructura de grupos con una jerarquía cuasiconvexa , https://docs.google.com/file/d/0B45cNx80t5-2NTU0ZTdhMmItZTIxOS00ZGUyLWE0YzItNTEyYWFiMjczZmIz/edit?pli=1
- ^ Bergeron, Nicolas; Wise, Daniel T. (2012). "Un criterio de límite para la cubulación". American Journal of Mathematics . 134 (3): 843–859. arXiv : 0908.3609 . doi :10.1353/ajm.2012.0020. MR 2931226. S2CID 14128842.
- ^ Przytycki, Piotr; Wise, Daniel (19 de octubre de 2017). "Las 3-variedades mixtas son virtualmente especiales". Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 31 (2): 319–347. arXiv : 1205.6742 . doi : 10.1090/jams/886 . ISSN 0894-0347. S2CID 39611341.
- ^ "Piotr Przytycki y Daniel Wise reciben el Premio Moore 2022". Sociedad Matemática Americana .
Referencias
- Dunfield, Nathan; Thurston, William (2003), "La conjetura virtual de Haken: experimentos y ejemplos", Geometry and Topology , 7 : 399–441, arXiv : math/0209214 , doi :10.2140/gt.2003.7.399, MR 1988291, S2CID 6265421.
- Kirby, Robion (1978), "Problemas en la teoría de variedades de baja dimensión", Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976) , vol. 7, págs. 273–312, ISBN 9780821867891, Sr. 0520548.
Enlaces externos
- Klarreich, Erica (2 de octubre de 2012). "Adentrándonos en las formas: de la geometría hiperbólica a los complejos cúbicos y viceversa". Revista Quanta .
