Subgrupo

Subconjunto de un grupo que forma un grupo en sí mismo.

En teoría de grupos , una rama de las matemáticas , dado un grupo G bajo una operación binaria  ∗, un subconjunto H de G se llama subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación ∗. Más precisamente, H es un subgrupo de G si la restricción de ∗ a H × H es una operación de grupo en H. Esto a menudo se denota como H ≤ G , y se lee como " H es un subgrupo de G ".

El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo { e } que consta únicamente del elemento identidad. ^[1]

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir, H ≠ G ). Esto a menudo se representa notacionalmente por H < G , leído como " H es un subgrupo propio de G ". Algunos autores también excluyen que el grupo trivial sea propio (es decir, H ≠ { e }). ^{[2] [3]}

Si H es un subgrupo de G , entonces a G a veces se le llama sobregrupo de H.

Las mismas definiciones se aplican de manera más general cuando G es un semigrupo arbitrario , pero este artículo solo tratará de subgrupos de grupos.

Pruebas de subgrupos

Supongamos que G es un grupo y H es un subconjunto de G. Por ahora, supongamos que la operación grupal de G se escribe multiplicativamente, denotada por yuxtaposición.

• Entonces H es un subgrupo de G si y sólo si H no está vacío y es cerrado bajo productos e inversos. Cerrado bajo productos significa que para cada a y b en H , el producto ab está en H. Cerrado bajo inversos significa que para cada a en H , el inverso a ⁻¹ está en H. Estas dos condiciones se pueden combinar en una, que para cada a y b en H , el elemento ab ⁻¹ está en H , pero es más natural y normalmente igual de fácil probar las dos condiciones de cierre por separado. ^[4]
• Cuando H es finito , la prueba se puede simplificar: H es un subgrupo si y sólo si no está vacío y es cerrado bajo productos. Estas condiciones por sí solas implican que cada elemento a de H genera un subgrupo cíclico finito de H , digamos de orden n , y luego el inverso de a es a ^{n −1} . ^[4]

Si la operación de grupo se denota por suma, entonces los productos cerrados deben reemplazarse por la suma cerrada , que es la condición de que para cada a y b en H , la suma a + b está en H , y los inversos cerrados deben ser editado para decir que para cada a en H , la inversa − a está en H .

Propiedades básicas de los subgrupos.

• La identidad de un subgrupo es la identidad del grupo: si G es un grupo con identidad e _G y H es un subgrupo de G con identidad e _H , entonces e _H = e _G .
• La inversa de un elemento en un subgrupo es la inversa del elemento en el grupo: si H es un subgrupo de un grupo G , y a y b son elementos de H tales que ab = ba = e _H , entonces ab = ba = p.ej ._​
• Si H es un subgrupo de G , entonces el mapa de inclusión H → G que envía cada elemento a de H a sí mismo es un homomorfismo .
• La intersección de los subgrupos A y B de G es nuevamente un subgrupo de G. ^[5] Por ejemplo, la intersección del eje x y el eje y en la suma es el subgrupo trivial. De manera más general, la intersección de una colección arbitraria de subgrupos de G es un subgrupo de G. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• La unión de los subgrupos A y B es un subgrupo si y sólo si A ⊆ B o B ⊆ A . Un no ejemplo: no es un subgrupo de porque 2 y 3 son elementos de este subconjunto cuya suma, 5, no está en el subconjunto. De manera similar, la unión del eje x y el eje y no es un subgrupo de ${\displaystyle 2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Si S es un subconjunto de G , entonces existe un subgrupo más pequeño que contiene S , es decir, la intersección de todos los subgrupos que contienen S ; se denota por ⟨ S ⟩ y se llama subgrupo generado por S . Un elemento de G está en ⟨ S ⟩ si y sólo si es un producto finito de elementos de S y sus inversas, posiblemente repetidas. ^[6]
• Cada elemento a de un grupo G genera un subgrupo cíclico ⟨ a ⟩ . Si ⟨ a ⟩ es isomorfo a ( los enteros mod n ) para algún entero positivo n , entonces n es el entero ^positivo más pequeño para el cual an = e , y n se llama orden de a . Si ⟨ a ⟩ es isomorfo a entonces se dice que a tiene orden infinito . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$
• Los subgrupos de cualquier grupo dado forman una red completa bajo inclusión, llamada red de subgrupos . (Mientras que el mínimo aquí es la intersección habitual de la teoría de conjuntos, el supremo de un conjunto de subgrupos es el subgrupo generado por la unión teórica de conjuntos de los subgrupos, no la unión teórica de conjuntos en sí). Si e es la identidad de G , entonces el grupo trivial { e } es el subgrupo mínimo de G , mientras que el subgrupo máximo es el grupo G mismo.

G es el grupo de números enteros mod 8 bajo la suma. El subgrupo H contiene solo 0 y 4, y es isomorfo a Hay cuatro clases laterales izquierdas de H : H mismo, 1 + H , 2 + H y 3 + H (escrito usando notación aditiva ya que se trata de un grupo aditivo ). Juntos dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño que no se superponen. El índice [ G  : H ] es 4. ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

Teorema de Cosets y Lagrange

Dado un subgrupo H y algo de a en G , definimos la clase lateral izquierda aH = { ah  : h en H }. Debido a que a es invertible, el mapa φ: H → aH dado por φ( h ) = ah es una biyección . Además, cada elemento de G está contenido precisamente en una clase lateral izquierda de H ; las clases laterales izquierdas son las clases de equivalencia correspondientes a la relación de equivalencia a 1 _~ a 2 _si y solo si está en H. El número de clases laterales izquierdas de H se llama índice de H en G y se denota por [ G  : H ] . ${\displaystyle a_{1}^{-1}a_{2}}$

El teorema de Lagrange establece que para un grupo finito G y un subgrupo H ,

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

donde | GRAMO | y | H | denotan los órdenes de G y H , respectivamente. En particular, el orden de cada subgrupo de G (y el orden de cada elemento de G ) debe ser divisor de | GRAMO | . ^{[7] [8]}

Las clases laterales derechas se definen de manera análoga: Ha = { ha  : h en H }. También son las clases de equivalencia para una relación de equivalencia adecuada y su número es igual a [ G  : H ] .

Si aH = Ha para cada a en G , entonces se dice que H es un subgrupo normal . Cada subgrupo del índice 2 es normal: las clases laterales izquierdas, y también las clases laterales derechas, son simplemente el subgrupo y su complemento. De manera más general, si p es el primo más bajo que divide el orden de un grupo finito G , entonces cualquier subgrupo de índice p (si existe) es normal.

Ejemplo: Subgrupos de Z 8

Sea G el grupo cíclico Z ₈ cuyos elementos son

${\displaystyle G=\left\{0,4,2,6,1,5,3,7\right\}}$

y cuya operación grupal es la suma módulo 8 . Su mesa Cayley es

Este grupo tiene dos subgrupos no triviales: ■ J = {0, 4} y ■ H = {0, 4, 2, 6} , donde J también es un subgrupo de H . La tabla Cayley para H es el cuadrante superior izquierdo de la tabla Cayley para G ; La tabla Cayley para J es el cuadrante superior izquierdo de la tabla Cayley para H. El grupo G es cíclico , al igual que sus subgrupos. En general, los subgrupos de grupos cíclicos también lo son. ^[9]

Ejemplo: Subgrupos de S 4

S ₄ es el grupo simétrico cuyos elementos corresponden a las permutaciones de 4 elementos.
A continuación se muestran todos sus subgrupos, ordenados por cardinalidad.
Cada grupo (excepto los de cardinalidad 1 y 2) está representado por su tabla Cayley .

24 elementos

Como cada grupo, S ₄ es un subgrupo de sí mismo.

12 elementos

El grupo alterno contiene sólo las permutaciones pares .
Es uno de los dos subgrupos normales propios no triviales de S ₄ . (El otro es su subgrupo Klein).

Alternando el grupo A ₄

Subgrupos:

8 elementos

6 elementos

4 elementos

3 elementos

2 elementos

Cada permutación p de orden 2 genera un subgrupo {1, p }. Estas son las permutaciones que tienen sólo 2 ciclos:

• Están las 6 transposiciones con un ciclo de 2.   (fondo verde)
• Y 3 permutaciones con dos ciclos de 2.   (fondo blanco, números en negrita)

1 elemento

El subgrupo trivial es el subgrupo único de orden 1.

Otros ejemplos

• Los números enteros pares forman un subgrupo del anillo de números enteros; la suma de dos números enteros pares es par y el negativo de un número entero par es par. ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} :}$
• Un ideal en un anillo R es un subgrupo del grupo aditivo de R.
• Un subespacio lineal de un espacio vectorial es un subgrupo del grupo aditivo de vectores.
• En un grupo abeliano , los elementos de orden finito forman un subgrupo llamado subgrupo de torsión .

Ver también

• Subgrupo Cartan
• Subgrupo de montaje
• Subgrupo de punto fijo
• Subgrupo completamente normalizado
• Subgrupo estable

Notas

1. Galliano 2013, pag. 61.
2. Hungerford 1974, pág. 32.
3. Artin 2011, pag. 43.
4. Kurzweil y Stellmacher 1998, pág. 4.
5. Jacobson 2009, pag. 41.
6. Ceniza 2002.
7. Vea una prueba didáctica en este vídeo.
8. Dummit y Foote 2004, pág. 90.
9. Galliano 2013, pag. 81.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 1 (2ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
• Hungerford, Thomas (1974), Álgebra (1ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
• Artin, Michael (2011), Álgebra (2ª ed.), Prentice Hall, ISBN 9780132413770.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC  248917264.
• Galliano, Joseph A. (2013). Álgebra abstracta contemporánea (8ª ed.). Boston, MA: Aprendizaje Brooks/Cole Cengage. ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC  807255720.
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (1998). Theorie der endlichen Gruppen. Springer-Lehrbuch. doi :10.1007/978-3-642-58816-7.
• Ceniza, Robert B. (2002). Álgebra abstracta: el año básico de posgrado. Departamento de Matemáticas Universidad de Illinois.