Rango de un grupo

En el tema matemático de la teoría de grupos , el rango de un grupo G , denotado rango ( G ), puede referirse a la cardinalidad más pequeña de un conjunto generador para G , es decir

${\displaystyle \operatorname {rank} (G)=\min\{|X|:X\subseteq G,\langle X\rangle =G\}.}$

Si G es un grupo generado finitamente , entonces el rango de G es un entero no negativo. La noción de rango de un grupo es un análogo teórico de grupos de la noción de dimensión de un espacio vectorial . De hecho, para p -grupos , el rango del grupo P es la dimensión del espacio vectorial P /Φ( P ), donde Φ( P ) es el subgrupo de Frattini .

El rango de un grupo a menudo también se define de tal manera que garantice que los subgrupos tengan un rango menor o igual que el grupo completo, lo que automáticamente ocurre con las dimensiones de espacios vectoriales, pero no con grupos como los grupos afines . Para distinguir estas diferentes definiciones, a veces se llama a este rango rango de subgrupo . Explícitamente, el rango de subgrupo de un grupo G es el máximo de los rangos de sus subgrupos:

${\displaystyle \operatorname {sr} (G)=\max _{H\leq G}\min\{|X|:X\subseteq H,\langle X\rangle =H\}.}$

A veces, el rango de subgrupo se restringe a subgrupos abelianos.

Hechos conocidos y ejemplos.

• Para un grupo no trivial G , tenemos rango ( G ) = 1 si y sólo si G es un grupo cíclico . El grupo trivial T tiene rango ( T ) = 0, ya que el conjunto generador mínimo de T es el conjunto vacío .
• Para el grupo abeliano libre , tenemos ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle {\rm {rank}}(\mathbb {Z} ^{n})=n.}$
• Si X es un conjunto y G = F ( X ) es el grupo libre con base libre X entonces rango( G ) = | X |.
• Si un grupo H es una imagen homomórfica (o un grupo cociente ) de un grupo G, entonces rango ( H ) ≤ rango ( G ).
• Si G es un grupo simple finito no abeliano (por ejemplo, G = An _, el grupo alterno , para n  > 4), entonces rango ( G ) = 2. Este hecho es una consecuencia de la clasificación de grupos simples finitos .
• Si G es un grupo finitamente generado y Φ( G ) ≤ G es el subgrupo Frattini de G (que siempre es normal en G de modo que se define el grupo cociente G /Φ( G )), entonces rango( G ) = rango( G /Φ( G )). ^[1]
• Si G es el grupo fundamental de una variedad M cerrada (que es compacta y sin límites) conectada, entonces rango ( G )≤ g ( M ), donde g ( M ) es el género Heegaard de M. ^[2]
• Si H , K ≤ F ( X ) son subgrupos generados finitamente de un grupo libre F ( X ) tal que la intersección no es trivial, entonces L se genera finitamente y ${\displaystyle L=H\cap K}$

rango( L ) − 1 ≤ 2(rango( K ) − 1)(rango( H ) − 1).

Este resultado se debe a Hanna Neumann . ^{[3] [4]} La conjetura de Hanna Neumann establece que, de hecho, uno siempre tiene rango ( L ) − 1 ≤ (rango ( K ​​) − 1)(rango ( H ) − 1). La conjetura de Hanna Neumann ha sido resuelta recientemente por Igor Mineyev ^[5] y anunciada de forma independiente por Joel Friedman. ^[6]

• Según el teorema clásico de Grushko , el rango se comporta de forma aditiva con respecto a la toma de productos libres , es decir, para cualquier grupo A y B tenemos

rango ( A B ) = rango ( A ) + rango ( B ). ${\displaystyle \ast }$

• Si es un grupo de un relador tal que r no es un elemento primitivo en el grupo libre F ( x ₁ ,..., x _n ), es decir, r no pertenece a una base libre de F ( x ₁ ,. .., x _n ), entonces rango( G ) =  n . ^{[7] [8]} ${\displaystyle G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle }$

El problema de rango

Existe un problema algorítmico estudiado en la teoría de grupos , conocido como problema de rangos . El problema pregunta, para una clase particular de grupos presentados finitamente, si existe un algoritmo que, dada una presentación finita de un grupo de la clase, calcule el rango de ese grupo. El problema de rangos es uno de los problemas algorítmicos más difíciles de estudiar en la teoría de grupos y se sabe relativamente poco al respecto. Los resultados conocidos incluyen:

• El problema de rango es algorítmicamente indecidible para la clase de todos los grupos presentados finitamente . De hecho, según un resultado clásico de Adian-Rabin , no existe ningún algoritmo para decidir si un grupo presentado finitamente es trivial, por lo que incluso la cuestión de si el rango ( G ) = 0 es indecidible para grupos presentados finitamente. ^{[9] [10]}
• El problema de rango es decidible para grupos finitos y para grupos abelianos generados finitamente .
• El problema de rango es decidible para grupos nilpotentes generados finitamente . La razón es que para tal grupo G , el subgrupo Frattini de G contiene el subgrupo conmutador de G y, por tanto , el rango de G es igual al rango de abelianización de G. ^[11]
• El problema de rango es indecidible para grupos hiperbólicos de palabras . ^[12]
• El problema de rangos es decidible para grupos kleinianos sin torsión . ^[13]
• El problema de rango está abierto para grupos virtualmente abelianos generados finitamente (es decir, que contienen un subgrupo abeliano de índice finito ), para grupos virtualmente libres y para grupos de 3 variedades .

Generalizaciones y nociones relacionadas.

El rango de un grupo G generado finitamente se puede definir de manera equivalente como la cardinalidad más pequeña de un conjunto X tal que exista un homomorfismo onto F ( X ) → G , donde F ( X ) es el grupo libre con base libre X . Existe una noción dual de co-rango de un grupo G generado finitamente definido como la cardinalidad más grande de X tal que existe un homomorfismo onto G → F ( X ). A diferencia del rango, el co-rango siempre es computable algorítmicamente para grupos presentados finitamente , ^[14] utilizando el algoritmo de Makanin y Razborov para resolver sistemas de ecuaciones en grupos libres. ^{[15] [16]} La noción de co-rango está relacionada con la noción de un número de corte para 3 variedades . ^[17]

Si p es un número primo , entonces el rango p de G es el rango más grande de un subgrupo p abeliano elemental . ^[18] El rango p seccional es el rango más grande de una sección p abeliana elemental (cociente de un subgrupo) .

Ver también

• Rango de un grupo abeliano
• Rango de Prufer
• Teorema de Grushko
• grupo libre
• equivalencia de Nielsen

Notas

1. DJS Robinson. Un curso de teoría de grupos , 2.ª ed., Graduate Texts in Mathematics 80 (Springer-Verlag, 1996). ISBN  0-387-94461-3
2. Friedhelm Waldhausen. Algunos problemas en 3 colectores. Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, California, 1976), Parte 2, págs. 313–322, Proc. Simposios. Matemática pura., XXXII, Amer. Matemáticas. Soc., Providencia, RI, 1978; ISBN 0-8218-1433-8 
3. Hanna Neumann. En la intersección de grupos libres finitamente generados. Publicaciones Mathematicae Debrecen , vol. 4 (1956), 186–189.
4. Hanna Neumann. En la intersección de grupos libres finitamente generados. Apéndice. Publicaciones Mathematicae Debrecen, vol. 5 (1957), pág. 128
5. Igor Minevev, "La submultiplicatividad y la conjetura de Hanna Neumann". Ana. de Matemáticas, 175 (2012), núm. 1, 393–414.
6. "Gavillas en gráficos y una prueba de la conjetura de Hanna Neumann". Math.ubc.ca. ​Consultado el 12 de junio de 2012 .
7. Wilhelm Magnus , Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen Gegebener Gruppen , Monatshefte für Mathematik, vol. 47 (1939), págs. 307–313.
8. Roger C. Lyndon y Paul E. Schupp . Teoría combinatoria de grupos. Springer-Verlag, Nueva York, 2001. Serie "Classics in Mathematics", reimpresión de la edición de 1977. ISBN 978-3-540-41158-1 ; Proposición 5.11, pág. 107 
9. WW Boone. Problemas de decisión sobre sistemas algebraicos y lógicos en su conjunto y grados de insolubilidad recursivamente enumerables. 1968 Contribuciones a las matemáticas. Lógica (Coloquio, Hannover, 1966) págs. 13 33 Holanda Septentrional, Ámsterdam
10. Charles F. Miller, III. Problemas de decisión para grupos: encuesta y reflexiones. Algoritmos y clasificación en teoría combinatoria de grupos (Berkeley, CA, 1989), págs. 1–59, Math. Ciencia. Res. Inst. Publ., 23, Springer, Nueva York, 1992; ISBN 0-387-97685-X 
11. John Lennox y Derek JS Robinson. La teoría de los infinitos grupos solubles. Monografías de matemáticas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press , Oxford, 2004. ISBN 0-19-850728-3 
12. G. Baumslag, CF Miller y H. Short. Problemas irresolubles sobre cancelación pequeña y grupos hiperbólicos de palabras. Boletín de la Sociedad Matemática de Londres, vol. 26 (1994), págs. 97-101
13. Ilya Kapovich y Richard Weidmann. Los grupos kleinianos y el problema de rangos. Geometría y Topología , vol. 9 (2005), págs. 375–402
14. John R. Stallings. Problemas sobre cocientes libres de grupos. Teoría de grupos geométricos (Columbus, OH, 1992), págs. 165–182, Universidad Estatal de Ohio. Matemáticas. Res. Inst. Publ., 3, de Gruyter, Berlín, 1995. ISBN 3-11-014743-2 
15. AA Razborov. Sistemas de ecuaciones en un grupo libre. (en ruso) Izvestia Akademii Nauk SSSR, Seriya Matematischeskaya, vol. 48 (1984), núm. 4, págs. 779–832.
16. Ecuaciones GSMakanin en un grupo libre. (ruso), Izvestia Akademii Nauk SSSR, Seriya Matematischeskaya, vol. 46 (1982), núm. 6, págs. 1199-1273
17. Shelly L. Harvey . En el número de corte de un colector de 3. Geometría y topología , vol. 6 (2002), págs. 409–424
18. Aschbacher, M. (2002), Teoría de grupos finitos , Cambridge University Press, p. 5, ISBN 978-0-521-78675-1