Heegaard dividiéndose

Descomposición de un colector compacto orientado de 3 dividiéndolo en dos cuerpos de mango

En el campo matemático de la topología geométrica , una división de Heegaard ( danés: [ˈhe̝ˀˌkɒˀ] ^ⓘ ) es una descomposición de uncolector compacto orientado de 3que resulta de dividirlo en doscuerpos de mango.

Definiciones

Sean V y W cuerpos de mango del género g , y sea ƒ una orientación que invierte el homeomorfismo desde el límite de V hasta el límite de W. Pegando V a W a lo largo de ƒ obtenemos el colector compacto orientado de 3

${\displaystyle M=V\cup _{f}W.}$

Así se puede obtener cualquier triple colector cerrado y orientable ; esto se desprende de resultados profundos sobre la triangularidad de tres variedades debido a Moise . Esto contrasta fuertemente con las variedades de dimensiones superiores que no necesitan admitir estructuras lineales suaves o por partes. Suponiendo que haya suavidad, la existencia de una división de Heegaard también se desprende del trabajo de Smale sobre descomposiciones de mangos de la teoría de Morse.

La descomposición de M en dos cuerpos de mango se llama división de Heegaard , y su límite común H se llama superficie de división de Heegaard . Las divisiones se consideran hasta la isotopía .

El mapa de encolado ƒ solo necesita especificarse hasta tomar una clase lateral doble en el grupo de clases de mapeo de H. Esta conexión con el grupo de clases de mapeo fue realizada por primera vez por WBR Lickorish .

Las divisiones Heegaard también se pueden definir para 3 colectores compactos con límite reemplazando los cuerpos de mango con cuerpos de compresión . La tarjeta de pegado se encuentra entre los límites positivos de los cuerpos comprimidos.

Una curva cerrada se llama esencial si no es homotópica con respecto a un punto, una punción o un componente límite. ^[1]

Una división de Heegaard es reducible si hay una curva cerrada simple esencial en H que limita un disco tanto en V como en W. Una escisión es irreducible si no es reducible. Del Lema de Haken se deduce que en una variedad reducible toda división es reducible. ${\displaystyle \alpha }$

Una división de Heegaard se estabiliza si hay curvas cerradas simples esenciales y en H donde limita un disco en V , limita un disco en W y se cruza exactamente una vez. Del teorema de Waldhausen se deduce que toda división reducible de una variedad irreducible está estabilizada. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Una división de Heegaard es débilmente reducible si hay curvas cerradas simples esenciales disjuntas y en H donde limita un disco en V y limita un disco en W. Una escisión es fuertemente irreducible si no es débilmente reducible. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Una división de Heegaard es de género mínimo o mínimo si no hay otra división de las tres variedades ambientales de género inferior . El valor mínimo g de la superficie de división es el género Heegaard de M.

Escisiones generalizadas de Heegaard

Una división de Heegaard generalizada de M es una descomposición en cuerpos y superficies comprimidos tales que y . Los interiores de los cuerpos de compresión deben estar disjuntos por pares y su unión debe ser toda de . La superficie forma una superficie de Heegaard para la subvariedad de . (Tenga en cuenta que aquí se permite que cada _{Vi y} Wi tengan más de un componente). ${\displaystyle V_{i},W_{i},i=1,\dotsc ,n}$ ${\displaystyle H_{i},i=1,\dotsc ,n}$ ${\displaystyle \partial _{+}V_{i}=\partial _{+}W_{i}=H_{i}}$ ${\displaystyle \partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}\cup W_{i}}$ ${\displaystyle M}$

Una escisión generalizada de Heegaard se denomina fuertemente irreducible si cada una de ellas es fuertemente irreducible. ${\displaystyle V_{i}\cup W_{i}}$

Existe una noción análoga de posición delgada, definida para los nudos, para las escisiones de Heegaard. La complejidad de una superficie conectada S , c(S) , se define como ; la complejidad de una superficie desconectada es la suma de las complejidades de sus componentes. La complejidad de una división de Heegaard generalizada es el conjunto múltiple , donde el índice recorre las superficies de Heegaard en la división generalizada. Estos conjuntos múltiples pueden estar bien ordenados mediante orden lexicográfico (monótonamente decreciente). Una escisión generalizada de Heegaard es débil si su complejidad es mínima. ${\displaystyle \operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}}$ ${\displaystyle \{c(S_{i})\}}$

Ejemplos

Tres esferas

Las tres esferas son el conjunto de vectores de longitud uno. Al cruzar esto con el hiperplano se obtienen dos esferas . Esta es la división cero de género estándar de . Por el contrario, según el truco de Alexander , todas las variedades que admiten una división de género cero son homeomorfas . ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Bajo la identificación habitual de con, podemos considerar que vivimos en . Entonces el conjunto de puntos donde cada coordenada tiene norma forma un toro de Clifford , . Esta es la división estándar del género uno . (Consulte también la discusión en Paquete Hopf ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle T^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Estabilización

Dado un Heegaard que divide H en M, la estabilización de H se forma tomando la suma conectada del par con el par . Es fácil demostrar que el procedimiento de estabilización produce escisiones estabilizadas. Inductivamente, una escisión es estándar si es la estabilización de una escisión estándar. ${\displaystyle (M,H)}$ ${\displaystyle \left(S^{3},T^{2}\right)}$

Espacios de lentes

Todos tienen una división estándar de género uno. Esta es la imagen del toroide de Clifford debajo del mapa de cociente utilizado para definir el espacio de la lente en cuestión. De la estructura del grupo de clases de mapeo de los dos toros se deduce que solo los espacios de lentes tienen divisiones de género uno. ${\displaystyle S^{3}}$

Tres toros

Recuerde que el tres toro es el producto cartesiano de tres copias de ( círculos ). Sea un punto de y considere la gráfica . Es un ejercicio fácil demostrar que V , una vecindad regular de , es un mango tal como está . Por tanto, la frontera de V in es una división de Heegaard y esta es la división estándar de . Charles Frohman y Joel Hass demostraron que cualquier otra división Heegaard de los tres toros del género 3 es topológicamente equivalente a esta. Michel Boileau y Jean-Pierre Otal demostraron que, en general, cualquier división de Heegaard de los tres toros es equivalente al resultado de estabilizar este ejemplo. ${\displaystyle T^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Gamma =S^{1}\times \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times S^{1}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle T^{3}-V}$ ${\displaystyle T^{3}}$ ${\displaystyle T^{3}}$

Teoremas

El lema de Alejandro

Hasta la isotopía, hay una incrustación única ( lineal por partes ) de las dos esferas en las tres esferas. (En dimensiones superiores, esto se conoce como teorema de Schoenflies . En la dimensión dos, este es el teorema de la curva de Jordan ). Esto se puede reformular de la siguiente manera: la división del género cero de es única. ${\displaystyle S^{3}}$

Teorema de Waldhausen

Cada división de se obtiene estabilizando la división única del género cero. ${\displaystyle S^{3}}$

Supongamos ahora que M es una variedad triple cerrada orientable.

Teorema de Reidemeister-Singer

Para cualquier par de escisiones y en M hay una tercera escisión en M que es una estabilización de ambas. ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H}$

Lema de Haken

Supongamos que hay dos esferas esenciales en M y H es una división de Heegaard. Entonces hay dos esferas esenciales en M que se encuentran con H en una sola curva. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

Clasificaciones

Hay varias clases de variedades triples donde el conjunto de escisiones de Heegaard es completamente conocido. Por ejemplo, el teorema de Waldhausen muestra que todas las divisiones de son estándar. Lo mismo se aplica a los espacios de las lentes (como lo demostraron Francis Bonahon y Otal). ${\displaystyle S^{3}}$

Las divisiones de los espacios de las fibras de Seifert son más sutiles. Aquí, todas las divisiones pueden ser isotópicas para ser verticales u horizontales (como lo demostraron Yoav Moriah y Jennifer Schultens ).

Cooper y Scharlemann (1999) clasificaron las divisiones de haces toroidales (que incluyen las tres variedades con geometría Sol ). De su trabajo se deduce que todos los haces de toros tienen una división única de género mínimo. Todas las demás divisiones del haz toroidal son estabilizaciones del género mínimo uno.

Un artículo de Kobayashi (2001) clasifica las escisiones de Heegaard de variedades hiperbólicas de tres que son complementos de nudos de dos puentes.

Se pueden utilizar métodos computacionales para determinar o aproximar el género Heegaard de una variedad 3. El software Heegaard de John Berge estudia las escisiones de Heegaard generadas por el grupo fundamental de una variedad.

Aplicaciones y conexiones

Superficies mínimas

Las escisiones de Heegaard aparecieron por primera vez en la teoría de superficies mínimas en el trabajo de Blaine Lawson, quien demostró que las superficies mínimas incrustadas en variedades compactas de curvatura seccional positiva son escisiones de Heegaard. William Meeks amplió este resultado a variedades planas, excepto que demuestra que una superficie mínima incrustada en una variedad plana de tres es una superficie de Heegaard o totalmente geodésica .

Meeks y Shing-Tung Yau utilizaron los resultados de Waldhausen para demostrar resultados sobre la unicidad topológica de superficies mínimas de género finito en . La clasificación topológica final de las superficies mínimas incrustadas fue dada por Meeks y Frohman. El resultado se basó en gran medida en técnicas desarrolladas para estudiar la topología de las escisiones de Heegaard. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Homología de Heegaard Floer

Los diagramas de Heegaard, que son descripciones combinatorias simples de las escisiones de Heegaard, se han utilizado ampliamente para construir invariantes de tres variedades. El ejemplo más reciente de esto es la homología Heegaard Floer de Peter Ozsvath y Zoltán Szabó . La teoría utiliza el producto simétrico de una superficie de Heegaard como espacio ambiental, y toros construidos a partir de los límites de los discos de meridianos para los dos cuerpos de mango como las subvariedades lagrangianas . ${\displaystyle g^{th}}$

Historia

La idea de una escisión de Heegaard fue introducida por Poul Heegaard  (1898). Si bien las escisiones de Heegaard fueron estudiadas extensamente por matemáticos como Wolfgang Haken y Friedhelm Waldhausen en la década de 1960, no fue hasta unas décadas más tarde que Andrew Casson y Cameron Gordon (1987) rejuvenecieron el campo  , principalmente a través de su concepto de irreductibilidad fuerte .

Ver también

• Descomposición múltiple
• Manejar descomposiciones de 3 colectores.
• Cuerpo de compresión

Referencias

1. Farb, B.; Margalit, D. Introducción al mapeo de grupos de clases . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 22.

• Farb, Benson ; Margalit, Dan, Introducción al mapeo de grupos de clases , Princeton University Press
• Casson, Andrew J .; Gordon, Cameron McA. (1987), "Reducción de las divisiones de Heegaard", Topología y sus aplicaciones , 27 (3): 275–283, doi : 10.1016/0166-8641(87)90092-7 , ISSN  0166-8641, SEÑOR  0918537
• Cooper, Daryl; Scharlemann, Martin (1999), "La estructura de las divisiones de Heegaard de una variedad de solv", Turkish Journal of Mathematics , 23 (1): 1–18, ISSN  1300-0098, MR  1701636, archivado desde el original el 22 de agosto de 2011 , recuperado el 11 de enero de 2020
• Heegaard, Poul (1898), Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang (PDF) , Tesis (en danés), JFM  29.0417.02
• Hempel, John (1976), 3 variedades , Annals of Mathematics Studies, vol. 86, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-8218-3695-8, señor  0415619
• Kobayashi, Tsuyoshi (2001), "Divisiones Heegaard de los exteriores de dos nudos de puente", Geometría y topología , 5 (2): 609–650, arXiv : math/0101148 , doi : 10.2140/gt.2001.5.609 , S2CID  13991798