Superficie mínima

Superficie que minimiza localmente su área.

Una superficie mínima helicoidal formada por una película de jabón sobre un marco helicoidal.

En matemáticas , una superficie mínima es una superficie que minimiza localmente su área. Esto equivale a tener una curvatura media cero (consulte las definiciones a continuación).

El término "superficie mínima" se utiliza porque estas superficies surgieron originalmente como superficies que minimizaban el área de superficie total sujeta a alguna restricción. Se pueden crear modelos físicos de superficies mínimas que minimizan el área sumergiendo un marco de alambre en una solución jabonosa, formando una película de jabón , que es una superficie mínima cuyo límite es el marco de alambre. Sin embargo, el término se utiliza para superficies más generales que pueden autointersectarse o no tener restricciones. Para una restricción dada también pueden existir varias superficies mínimas con diferentes áreas (por ejemplo, ver superficie mínima de revolución ): las definiciones estándar solo se relacionan con un óptimo local , no con un óptimo global .

Definiciones

Superficie mínima de la torre de silla de montar . Si bien cualquier pequeño cambio en la superficie aumenta su área, existen otras superficies con el mismo límite con un área total menor.

Las superficies mínimas se pueden definir de varias formas equivalentes en . El hecho de que sean equivalentes sirve para demostrar cómo la teoría de superficies mínimas se encuentra en la encrucijada de varias disciplinas matemáticas, especialmente la geometría diferencial , el cálculo de variaciones , la teoría potencial , el análisis complejo y la física matemática . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Definición de área mínima local : una superficie es mínima si y solo si cada punto p ∈ M tiene una vecindad , delimitada por una curva cerrada simple, que tiene la menor área entre todas las superficies que tienen el mismo límite. ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

Esta propiedad es local: pueden existir regiones en una superficie mínima, junto con otras superficies de menor área que tengan el mismo límite. Esta propiedad establece una conexión con las películas de jabón; una película de jabón deformada para tener un marco de alambre como límite minimizará el área.

Definición variacional : Una superficie es mínima si y sólo si es un punto crítico del área funcional para todas las variaciones con soporte compacto . ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

Esta definición convierte a las superficies mínimas en un análogo bidimensional de las geodésicas , que se definen de manera análoga como puntos críticos de longitud funcional.

Planos de curvatura superficial mínima. En una superficie mínima, la curvatura a lo largo de los planos de curvatura principales es igual y opuesta en todos los puntos. Esto hace que la curvatura media sea cero.

Definición de curvatura media : Una superficie es mínima si y sólo si su curvatura media es igual a cero en todos los puntos. ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

Una implicación directa de esta definición es que cada punto de la superficie es un punto de silla con curvaturas principales iguales y opuestas . Además, esto convierte superficies mínimas en soluciones estáticas de flujo de curvatura media . Según la ecuación de Young-Laplace , la curvatura media de una película de jabón es proporcional a la diferencia de presión entre los lados. Si la película de jabón no encierra una región, entonces su curvatura media será cero. Por el contrario, una pompa de jabón esférica encierra una región que tiene una presión diferente a la de la región exterior y, como tal, no tiene una curvatura media cero.

Definición de ecuación diferencial : Una superficie es mínima si y sólo si puede expresarse localmente como la gráfica de una solución de ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0}$

La ecuación diferencial parcial en esta definición fue encontrada originalmente en 1762 por Lagrange , ^[2] y Jean Baptiste Meusnier descubrió en 1776 que implicaba una curvatura media evanescente. ^[3]

Definición de energía : una inmersión conforme es mínima si y sólo si es un punto crítico de la energía de Dirichlet para todas las variaciones soportadas de forma compacta, o de manera equivalente, si algún punto tiene una vecindad con la menor energía en relación con su límite. ${\displaystyle X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle p\in M}$

Esta definición vincula las superficies mínimas con las funciones armónicas y la teoría del potencial .

Definición armónica : si se trata de una inmersión isométrica de una superficie de Riemann en 3 espacios, entonces se dice que es mínima siempre que haya una función armónica para cada uno . ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i}$

Una implicación directa de esta definición y el principio máximo para funciones armónicas es que no hay superficies mínimas completas compactas en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Definición del mapa de Gauss : Una superficie es mínima si y sólo si su mapa de Gauss proyectado estereográficamente es meromórfico con respecto a la estructura de la superficie de Riemann subyacente y no es una parte de una esfera. ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty }}$ ${\displaystyle M}$

Esta definición utiliza que la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma , que está vinculado a las derivadas del mapa de Gauss. Si el mapa de Gauss proyectado obedece a las ecuaciones de Cauchy-Riemann , entonces la traza desaparece o cada punto de M es umbilical , en cuyo caso es un trozo de una esfera.

El área mínima local y las definiciones variacionales permiten extender superficies mínimas a otras variedades de Riemann distintas a ^[4] . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Historia

La teoría de la superficie mínima se origina con Lagrange , quien en 1762 consideró el problema variacional de encontrar la superficie de menor área extendida a lo largo de un contorno cerrado determinado. Derivó la ecuación de Euler-Lagrange para la solución ${\displaystyle z=z(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}$

No logró encontrar ninguna solución más allá del avión. En 1776 Jean Baptiste Marie Meusnier descubrió que la helicoidal y la catenoide satisfacen la ecuación y que la expresión diferencial corresponde al doble de la curvatura media de la superficie, concluyendo que las superficies con curvatura media cero minimizan el área.

Desarrollando la ecuación de Lagrange a

${\displaystyle \left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}$

Gaspard Monge y Legendre en 1795 derivaron fórmulas de representación para las superficies de solución. Si bien Heinrich Scherk los utilizó con éxito en 1830 para obtener sus superficies , en general se los consideraba prácticamente inutilizables. El catalán demostró en 1842/43 que el helicoidal es la única superficie mínima reglada .

Los avances habían sido bastante lentos hasta mediados de siglo, cuando el problema de Björling se resolvió mediante métodos complejos. Comenzó la "primera edad de oro" de las superficies minimalistas. Schwarz encontró la solución del problema de Plateau para un cuadrilátero regular en 1865 y para un cuadrilátero general en 1867 (lo que permitió la construcción de sus familias de superficies periódicas ) utilizando métodos complejos. Weierstrass y Enneper desarrollaron fórmulas de representación más útiles , vinculando firmemente superficies mínimas con análisis complejos y funciones armónicas . Otras contribuciones importantes vinieron de Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret y Weingarten.

Entre 1925 y 1950 revivió la teoría de superficies mínimas, ahora dirigida principalmente a superficies mínimas no paramétricas. La solución completa del problema de Plateau por parte de Jesse Douglas y Tibor Radó fue un hito importante. También fueron importantes el problema de Bernstein y el trabajo de Robert Osserman sobre superficies mínimas completas de curvatura total finita.

Otro renacimiento comenzó en la década de 1980. Una de las causas fue el descubrimiento en 1982 por Celso Costa de una superficie que refutó la conjetura de que el plano, la catenoide y la helicoidal son las únicas superficies mínimas completamente incrustadas de tipo topológico finito. Esto no sólo estimuló nuevos trabajos sobre el uso de los antiguos métodos paramétricos, sino que también demostró la importancia de los gráficos por computadora para visualizar las superficies estudiadas y los métodos numéricos para resolver el "problema del período" (cuando se utiliza el método de superficie conjugada para determinar los parches de superficie que pueden ser ensamblado en una superficie simétrica más grande, ciertos parámetros deben coincidir numéricamente para producir una superficie incrustada). Otra causa fue la comprobación por parte de H. Karcher de que las superficies mínimas triplemente periódicas descritas empíricamente originalmente por Alan Schoen en 1970 realmente existen. Esto ha dado lugar a una rica colección de familias de superficies y métodos para derivar nuevas superficies a partir de las antiguas, por ejemplo añadiendo tiradores o distorsionándolas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Actualmente, la teoría de superficies mínimas se ha diversificado a subvariedades mínimas en otras geometrías ambientales, volviéndose relevante para la física matemática (por ejemplo, la conjetura de masa positiva , la conjetura de Penrose ) y la geometría de tres variedades (por ejemplo, la conjetura de Smith , la conjetura de Poincaré , la geometrización de Thurston) . Conjetura ).

Ejemplos

La superficie mínima de Costa

Ejemplos clásicos de superficies mínimas incluyen:

• El avión , que es un caso trivial.
• Catenoides : superficies mínimas creadas al girar una catenaria una vez alrededor de su directriz.
• Helicoides : superficie barrida por una línea que gira con velocidad uniforme alrededor de un eje perpendicular a la línea y que simultáneamente se mueve a lo largo del eje con velocidad uniforme.

Las superficies de la edad de oro del siglo XIX incluyen:

• Superficies mínimas de Schwarz : superficies triplemente periódicas que se llenan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Superficie mínima de Riemann : una superficie periódica descrita póstumamente
• la superficie de Enneper
• la superficie de Henneberg : la primera superficie mínima no orientable
• La superficie mínima de Bour
• la superficie de Neovius : una superficie triplemente periódica

Las superficies modernas incluyen:

• El giroide : una de las superficies de Schoen de 1970, una superficie triple periódica de particular interés para la estructura del cristal líquido.
• la familia de torres Saddle : generalizaciones de la segunda superficie de Scherk
• La superficie mínima de Costa : refutación de conjeturas famosas. Descrito en 1982 por Celso Costa y posteriormente visualizado por Jim Hoffman . Jim Hoffman, David Hoffman y William Meeks III ampliaron la definición para producir una familia de superficies con diferentes simetrías rotacionales.
• la familia de superficies Chen-Gackstatter , agregando asas a la superficie Enneper.

Generalizaciones y enlaces a otros campos.

Las superficies mínimas se pueden definir en otras variedades distintas , como el espacio hiperbólico , espacios de dimensiones superiores o variedades de Riemann . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

La definición de superficies mínimas se puede generalizar/ampliar para cubrir superficies de curvatura media constante : superficies con una curvatura media constante, que no necesitan ser iguales a cero.

Las líneas de curvatura de una superficie isotérmica forman una red isotérmica. ^[5]

En geometría diferencial discreta se estudian superficies mínimas discretas: complejos simpliciales de triángulos que minimizan su área bajo pequeñas perturbaciones de las posiciones de sus vértices. ^[6] Estas discretizaciones se utilizan a menudo para aproximar numéricamente superficies mínimas, incluso si no se conocen expresiones de forma cerrada.

El movimiento browniano sobre una superficie mínima conduce a demostraciones probabilísticas de varios teoremas sobre superficies mínimas. ^[7]

Las superficies mínimas se han convertido en un área de intenso estudio científico, especialmente en las áreas de ingeniería molecular y ciencia de materiales , debido a sus aplicaciones anticipadas en el autoensamblaje de materiales complejos. ^[8] Se propone que el retículo endoplásmico , una estructura importante en la biología celular, esté bajo presión evolutiva para adaptarse a una superficie mínima no trivial. ^[9]

En los campos de la relatividad general y la geometría lorentziana , son significativas ciertas extensiones y modificaciones de la noción de superficie mínima, conocidas como horizontes aparentes . ^[10] A diferencia del horizonte de sucesos , representan un enfoque basado en la curvatura para comprender los límites de los agujeros negros .

La carpa de circo tiene aproximadamente una superficie mínima.

Las estructuras con superficies mínimas se pueden utilizar como tiendas de campaña.

Las superficies mínimas son parte de la caja de herramientas de diseño generativo utilizada por los diseñadores modernos. En arquitectura ha habido mucho interés por las tensoestructuras , que están muy relacionadas con las superficies mínimas. Se pueden ver ejemplos notables en el trabajo de Frei Otto , Shigeru Ban y Zaha Hadid . El diseño del Estadio Olímpico de Múnich de Frei Otto se inspiró en las superficies de jabón. ^[11] Otro ejemplo notable, también de Frei Otto, es el Pabellón Alemán en la Expo 67 en Montreal, Canadá. ^[12]

En el mundo del arte, las superficies minimalistas han sido ampliamente exploradas en la escultura de Robert Engman (1927–2018), Robert Longhurst (1949–) y Charles O. Perry (1929–2011), entre otros.

Ver también

• El problema de Bernstein
• Interpolación bilineal
• superficie de bryant
• Curvatura
• Parametrización de Enneper-Weierstrass
• mapa armónico
• Morfismo armónico
• El problema de la meseta
• Superficie minimalista negra
• Burbuja de jabón
• Evolver de superficie
• Método de cuadrícula estirada
• Estructura extensible
• Superficie mínima triplemente periódica
• Estructura Weaire-Phelan

Referencias

1. Meeks, William H. III; Pérez, Joaquín (2011). "La teoría clásica de las superficies mínimas". Toro. América. Matemáticas. Soc. 48 (3): 325–407. doi : 10.1090/s0273-0979-2011-01334-9 . SEÑOR  2801776.
2. JL Lagrange. Ensayo de un nuevo método para determinar los máximos y mínimos de las fórmulas integrales indefinidas. Miscelánea Taurinensia 2, 325(1):173{199, 1760.
3. JB Meusnier. Mémoire sur la Courbure des Surfaces. Mém. Matemáticas. Física. Acad. Ciencia. París, prés. par div. Savans, 10:477–510, 1785. Presentado en 1776.
4. Ver (Nishikawa 2002) sobre la definición variacional.
5. "Superficie isotérmica - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 4 de septiembre de 2022 .
6. Pinkall, Ulrich; Polthier, Konrad (1993). "Cálculo de superficies mínimas discretas y sus conjugados". Matemáticas Experimentales . 2 (1): 15–36. doi :10.1080/10586458.1993.10504266. SEÑOR  1246481.
7. Neel, Robert (2009). "Un enfoque martingala para superficies mínimas". Revista de análisis funcional . 256 (8): 2440–2472. arXiv : 0805.0556 . doi :10.1016/j.jfa.2008.06.033. SEÑOR  2502522. S2CID  15228691.
8. Han, Lu; Che, Shunai (abril de 2018). "Una descripción general de materiales con superficies mínimas triplemente periódicas y geometría relacionada: desde estructuras biológicas hasta sistemas autoensamblados". Materiales avanzados . 30 (17): 1705708. Código bibliográfico : 2018AdM....3005708H. doi :10.1002/adma.201705708. PMID  29543352. S2CID  3928702.
9. Terasaki, marca; Semes, Tom; Kasthuri, Narayanan; Klemm, Robin W.; Schalek, Richard; Hayworth, Kenneth J.; Mano, Arthur R.; Yankova, Maya; Huber, Greg (18 de julio de 2013). "Las láminas de retículo endoplasmático apiladas están conectadas por motivos de membrana helicoidales". Celúla . 154 (2): 285–296. doi :10.1016/j.cell.2013.06.031. ISSN  0092-8674. PMC 3767119 . PMID  23870120. 
10. Yvonne Choquet-Bruhat. La relatividad general y las ecuaciones de Einstein. Monografías de matemáticas de Oxford. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi+785 págs. ISBN 978-0-19-923072-3 (página 417) 
11. "AD Classics: Olympiastadion (Estadio Olímpico de Múnich) / Behnisch and Partners & Frei Otto". Arco diario . 2011-02-11 . Consultado el 4 de septiembre de 2022 .
12. "Pabellón Alemán Expo 67". Arquitecto . Consultado el 4 de septiembre de 2022 .

Otras lecturas

Libros de texto

• R. Courant . Principio de Dirichlet, mapeo conforme y superficies mínimas. Apéndice de M. Schiffer. Interscience Publishers, Inc., Nueva York, NY, 1950. xiii+330 págs.
• H. Blaine Lawson, Jr. Conferencias sobre subvariedades mínimas. vol. I. Segunda edición. Serie de conferencias de matemáticas, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv+178 págs. ISBN 0-914098-18-7 
• Robert Osserman. Un estudio de superficies mínimas. Segunda edicion. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1986. vi+207 págs. ISBN 0-486-64998-9 , SEÑOR 0852409 
• Johannes CC Nitsche. Conferencias sobre superficies mínimas. vol. 1. Introducción, fundamentos, geometría y problemas básicos de valores en la frontera. Traducido del alemán por Jerry M. Feinberg. Con prólogo en alemán. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi+563 págs. ISBN 0-521-24427-7 
• Nishikawa, Seiki (2002). Problemas variacionales en geometría . Traducciones de monografías matemáticas; Serie Iwanami en matemáticas modernas. vol. 205. Traducido por Abe, Kinetsu. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0821813560. ISSN  0065-9282, traducido de:{{cite book}}: Mantenimiento CS1: posdata ( enlace )

• 青山青季 (1998).幾何学的変分問題. 岩波講座現代数学の基礎. vol. 28. Tokio:岩波書店. ISBN 4-00-010642-2.

• Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt y Friedrich Sauvigny. Superficies mínimas. Segunda edición revisada y ampliada. Con la ayuda y contribución de A. Küster y R. Jakob. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 págs. ISBN 978-3-642-11697-1 , doi :10.1007/978-3-642-11698-8 , señor 2566897
• Tobias Holck Colding y William P. Minicozzi, II. Un curso en superficies mínimas. Estudios de Posgrado en Matemáticas, 121. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI, 2011. xii+313 págs. ISBN 978-0-8218-5323-8 

Recursos en línea

• Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (1995). "Touching Soap Films: una introducción a las superficies minimalistas" . Consultado el 27 de diciembre de 2006 . (introducción gráfica a superficies mínimas y películas de jabón).
• Jacek Klinowski. «Galería de Superficies Mínimas Periódicas» . Consultado el 2 de febrero de 2009 . (Una colección de superficies minimalistas con ejemplos clásicos y modernos)
• Martín Steffens y Christian Teitzel. "Biblioteca de superficie mínima de uva" . Consultado el 27 de octubre de 2008 . (Una colección de superficies mínimas)
• Varios (2000). "Modelos EG" . Consultado el 28 de septiembre de 2004 . (Revista online con varios modelos publicados de superficies mínimas)

enlaces externos

• "Superficie mínima", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Página de inicio de 3D-XplorMath-J: programa Java y subprogramas para visualización matemática interactiva
• Galería de superficies mínimas giratorias.
• Galería basada en WebGL de superficies mínimas giratorias/ampliables