Cálculo de variaciones

Cálculo diferencial en espacios funcionales.

El cálculo de variaciones (o cálculo variacional ) es un campo del análisis matemático que utiliza variaciones, que son pequeños cambios en funciones y funcionales , para encontrar máximos y mínimos de funcionales: asignaciones de un conjunto de funciones a los números reales . ^[a] Los funcionales a menudo se expresan como integrales definidas que involucran funciones y sus derivadas . Las funciones que maximizan o minimizan funcionales se pueden encontrar utilizando la ecuación de Euler-Lagrange del cálculo de variaciones.

Un ejemplo sencillo de tal problema es encontrar la curva de menor longitud que conecta dos puntos. Si no hay restricciones, la solución es una línea recta entre los puntos. Sin embargo, si la curva está obligada a descansar sobre una superficie en el espacio, entonces la solución es menos obvia y posiblemente puedan existir muchas soluciones. Este tipo de soluciones se conocen como geodésicas . El principio de Fermat plantea un problema relacionado : la luz sigue el camino de longitud óptica más corta que conecta dos puntos, lo que depende del material del medio. Un concepto correspondiente en mecánica es el principio de acción mínima/estacionaria .

Muchos problemas importantes involucran funciones de varias variables. Las soluciones de problemas de valores en la frontera para la ecuación de Laplace satisfacen el principio de Dirichlet . El problema de Plateau requiere encontrar una superficie de área mínima que abarque un contorno dado en el espacio: a menudo se puede encontrar una solución sumergiendo un marco en agua con jabón. Aunque tales experimentos son relativamente fáciles de realizar, su formulación matemática está lejos de ser simple: puede haber más de una superficie minimizadora local y pueden tener una topología no trivial .

Historia

Se puede decir que el cálculo de variaciones comenzó con el problema de resistencia mínima de Newton en 1687, seguido por el problema de la curva braquistocrona planteado por Johann Bernoulli (1696). ^[2] Inmediatamente ocupó la atención de Jakob Bernoulli y el Marqués de l'Hôpital , pero Leonhard Euler fue el primero en elaborar el tema, a partir de 1733. Lagrange fue influenciado por el trabajo de Euler para contribuir significativamente a la teoría. Después de que Euler vio el trabajo de 1755 de Lagrange, de 19 años, Euler abandonó su propio enfoque parcialmente geométrico en favor del enfoque puramente analítico de Lagrange y cambió el nombre del tema a cálculo de variaciones en su conferencia de 1756 Elementa Calculi Variationum . ^{[3] [4] [b]}

Legendre (1786) estableció un método, no del todo satisfactorio, para la discriminación de máximos y mínimos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz también prestaron cierta atención al tema. ^[5] Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradsky (1834) y Carl Jacobi (1837) han contribuido a esta discriminación . Una obra general importante es la de Sarrus (1842), que fue condensada y mejorada por Cauchy (1844). Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Lewis Buffett Carll (1885) han escrito otros tratados y memorias valiosos , pero quizás la obra más importante del siglo sea esa. de Weierstrass . Su célebre curso sobre la teoría hace época, y se puede afirmar que fue el primero en colocarla sobre una base firme e incuestionable. Los problemas de Hilbert número 20 y 23 , publicados en 1900, fomentaron un mayor desarrollo. ^[5]

En el siglo XX, David Hilbert , Oskar Bolza , Gilbert Ames Bliss , Emmy Noether , Leonida Tonelli , Henri Lebesgue y Jacques Hadamard , entre otros, hicieron importantes contribuciones. ^[5] Marston Morse aplicó el cálculo de variaciones en lo que ahora se llama teoría de Morse . ^[6] Lev Pontryagin , Ralph Rockafellar y FH Clarke desarrollaron nuevas herramientas matemáticas para el cálculo de variaciones en la teoría del control óptimo . ^[6] La programación dinámica de Richard Bellman es una alternativa al cálculo de variaciones. ^{[7] [8] [9] [c]}

extremo

El cálculo de variaciones se ocupa de los máximos o mínimos (llamados colectivamente extremos ) de funcionales. Un funcional asigna funciones a escalares , por lo que los funcionales se han descrito como "funciones de funciones". Los funcionales tienen extremos con respecto a los elementos de un espacio funcional dado definido sobre un dominio dado . Se dice que un funcional tiene un extremo en la función si tiene el mismo signo para todos en una vecindad arbitrariamente pequeña de ^[d] La función se llama función extrema o extremal. ^[e] El extremo se llama máximo local si está en todas partes en una vecindad arbitrariamente pequeña de y mínimo local si está allí. Para un espacio funcional de funciones continuas, los extremos de los funcionales correspondientes se denominan extremos fuertes o extremos débiles , dependiendo de si las primeras derivadas de las funciones continuas son, respectivamente, todas continuas o no. ^[11] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle J[y]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta J=J[y]-J[f]}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J[f]}$ ${\displaystyle \Delta J\leq 0}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \Delta J\geq 0}$

Tanto los extremos fuertes como los débiles de funcionales son para un espacio de funciones continuas, pero los extremos fuertes tienen el requisito adicional de que las primeras derivadas de las funciones en el espacio sean continuas. Por lo tanto, un extremo fuerte es también un extremo débil, pero lo contrario puede no ser válido. Encontrar extremos fuertes es más difícil que encontrar extremos débiles. ^[12] Un ejemplo de una condición necesaria que se utiliza para encontrar extremos débiles es la ecuación de Euler-Lagrange . ^{[13] [f]}

Ecuación de Euler-Lagrange

Encontrar los extremos de funcionales es similar a encontrar los máximos y mínimos de funciones. Los máximos y mínimos de una función se pueden localizar encontrando los puntos donde su derivada desaparece (es decir, es igual a cero). Los extremos de los funcionales se pueden obtener encontrando funciones para las cuales la derivada funcional es igual a cero. Esto lleva a resolver la ecuación de Euler-Lagrange asociada . ^[gramo]

Considere lo funcional

$${\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L\left(x,y(x),y'(x)\right)\,dx\,.}$$

• ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$son constantes ,
• ${\displaystyle y(x)}$es dos veces continuamente diferenciable,
• ${\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}},}$
• ${\displaystyle L\left(x,y(x),y'(x)\right)}$es dos veces continuamente diferenciable con respecto a sus argumentos y ${\displaystyle x,y,}$ ${\displaystyle y'.}$

Si el funcional alcanza un mínimo local en y es una función arbitraria que tiene al menos una derivada y desaparece en los puntos finales y luego para cualquier número cercano a 0, ${\displaystyle J[y]}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \eta (x)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2},}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,.}$$

El término se llama variación de la función y se denota por ^{[1] [h]} ${\displaystyle \varepsilon \eta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta f.}$

Sustituyendo por en el funcional el resultado es una función de ${\displaystyle f+\varepsilon \eta }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle J[y],}$ ${\displaystyle \varepsilon ,}$

$${\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]\,.}$$

^[i] ${\displaystyle J[y]}$ ${\displaystyle y=f}$ ${\displaystyle \Phi (\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$

$${\displaystyle \Phi '(0)\equiv \left.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=0\,.}$$

Tomando la derivada total de donde y se consideran funciones de en lugar de rendimientos ${\displaystyle L\left[x,y,y'\right],}$ ${\displaystyle y=f+\varepsilon \eta }$ ${\displaystyle y'=f'+\varepsilon \eta '}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x,}$

$${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {dy'}{d\varepsilon }}}$$

${\displaystyle {\frac {dy}{d\varepsilon }}=\eta }$ ${\displaystyle {\frac {dy'}{d\varepsilon }}=\eta ',}$

$${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial y'}}\eta '.}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta '\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta \right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx\\\end{aligned}}}$$

la integración por partes ${\displaystyle L\left[x,y,y'\right]\to L\left[x,f,f'\right]}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \eta =0}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta (x)\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx=0\,.}$$

Según el lema fundamental del cálculo de variaciones , la parte del integrando entre paréntesis es cero, es decir

$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$$

ecuación de Euler-Lagrangederivada funcional ${\displaystyle J[f]}$ ${\displaystyle \delta J/\delta f(x).}$

En general, esto da una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que puede resolverse para obtener la función extrema. La ecuación de Euler-Lagrange es una condición necesaria , pero no suficiente , para un extremo. Una condición suficiente para un mínimo se da en la sección Variaciones y condición suficiente para un mínimo. ${\displaystyle f(x).}$ ${\displaystyle J[f].}$

Ejemplo

Para ilustrar este proceso, considere el problema de encontrar la función extrema, que es la curva más corta que conecta dos puntos y La longitud del arco de la curva está dada por ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right).}$

$${\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}$$

$${\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.}$$

yx

La ecuación de Euler-Lagrange ahora se utilizará para encontrar la función extrema que minimiza la función ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle A[y].}$

$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$$

$${\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}$$

Dado que no aparece explícitamente en el primer término de la ecuación de Euler-Lagrange desaparece para todos y, por tanto, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.}$$

${\displaystyle L}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.}$$

De este modo

$${\displaystyle {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,}$$

${\displaystyle c.}$

$${\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}$$

$${\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}$$

$${\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}$$

$${\displaystyle f'(x)=m}$$

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$

$${\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$$

^[j] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle A[y]}$ ${\displaystyle A[f]}$ ${\displaystyle y=f(x).}$

La identidad de Beltrami.

En problemas de física puede darse el caso de que el significado del integrando sea función de y pero no aparezca por separado. En ese caso, la ecuación de Euler-Lagrange se puede simplificar a la identidad de Beltrami ^[16] ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle L-f'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\,,}$$

transformación ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f'(x).}$

La intuición detrás de este resultado es que, si la variable es en realidad el tiempo, entonces la afirmación implica que el lagrangiano es independiente del tiempo. Según el teorema de Noether , existe una cantidad conservada asociada. En este caso, esta cantidad es la hamiltoniana, la transformada de Legendre de la lagrangiana, que (a menudo) coincide con la energía del sistema. Ésta es (menos) la constante en la identidad de Beltrami. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$

Ecuación de Euler-Poisson

Si depende de derivadas superiores de eso es, si ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle y(x),}$

$${\displaystyle S=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x),\dots ,y^{(n)}(x))dx,}$$

Poisson^[17] ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+\dots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}$$

Teorema de Du Bois-Reymond

Hasta ahora, la discusión ha supuesto que las funciones extremas poseen dos derivadas continuas, aunque la existencia de la integral requiere sólo primeras derivadas de las funciones de prueba. La condición de que la primera variación desaparezca en un extremo puede considerarse como una forma débil de la ecuación de Euler-Lagrange. El teorema de Du Bois-Reymond afirma que esta forma débil implica la forma fuerte. Si tiene derivadas primera y segunda continuas con respecto a todos sus argumentos, y si ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}}\neq 0,}$$

${\displaystyle f}$

Fenómeno de Lavrentyev

Hilbert fue el primero en dar buenas condiciones para que las ecuaciones de Euler-Lagrange dieran una solución estacionaria. Dentro de un área convexa y un lagrangiano positivo tres veces diferenciable, las soluciones se componen de una colección contable de secciones que van a lo largo del límite o satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange en el interior.

Sin embargo, Lavrentiev en 1926 demostró que hay circunstancias en las que no existe una solución óptima, pero se puede acercarse arbitrariamente a ella mediante un número cada vez mayor de secciones. El fenómeno de Lavrentiev identifica una diferencia en el mínimo de un problema de minimización entre diferentes clases de funciones admisibles. Por ejemplo el siguiente problema, presentado por Manià en 1934: ^[18]

$${\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},}$$

$${\displaystyle {A}=\{x\in W^{1,1}(0,1):x(0)=0,\ x(1)=1\}.}$$

Claramente, minimiza el funcional, pero encontramos que cualquier función da un valor acotado fuera del mínimo. ${\displaystyle x(t)=t^{\frac {1}{3}}}$ ${\displaystyle x\in W^{1,\infty }}$

Los ejemplos (en una dimensión) se manifiestan tradicionalmente a través de, pero Ball y Mizel ^[19] obtuvieron el primer funcional que mostró el fenómeno de Lavrentiev a través y para. Hay varios resultados que dan criterios bajo los cuales el fenómeno no ocurre; por ejemplo, "crecimiento estándar". ', un lagrangiano sin dependencia de la segunda variable, o una secuencia aproximada que satisface la condición de Cesari (D), pero los resultados suelen ser particulares y aplicables a una pequeña clase de funcionales. ${\displaystyle W^{1,1}}$ ${\displaystyle W^{1,\infty },}$ ${\displaystyle W^{1,p}}$ ${\displaystyle W^{1,q}}$ ${\displaystyle 1\leq p<q<\infty .}$

Conectada con el fenómeno de Lavrentiev está la propiedad de repulsión: cualquier funcional que muestre el fenómeno de Lavrentiev mostrará la propiedad de repulsión débil. ^[20]

Funciones de varias variables.

Por ejemplo, si denota el desplazamiento de una membrana por encima del dominio en el plano, entonces su energía potencial es proporcional a su área de superficie: ${\displaystyle \varphi (x,y)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x,y}$

$${\displaystyle U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.}$$

El problema de Plateausuperficies mínimas ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle \varphi _{xx}(1+\varphi _{y}^{2})+\varphi _{yy}(1+\varphi _{x}^{2})-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.}$$

principio de dirichlet

A menudo es suficiente considerar sólo pequeños desplazamientos de la membrana, cuya diferencia de energía con respecto a ningún desplazamiento se aproxima a

$${\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.}$$

${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$

$${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.}$$

$${\displaystyle \iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}$$

${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \partial u/\partial n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0}$$

${\displaystyle D.}$

$${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=0}$$

${\displaystyle D.}$

La dificultad con este razonamiento es la suposición de que la función minimizadora u debe tener dos derivadas. Riemann argumentó que la existencia de una función minimizadora suave estaba asegurada por la conexión con el problema físico: las membranas efectivamente asumen configuraciones con energía potencial mínima. Riemann llamó a esta idea principio de Dirichlet en honor a su maestro Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Sin embargo, Weierstrass dio un ejemplo de un problema variacional sin solución: minimizar

$${\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx}$$

^[k].ecuaciones diferenciales parciales elípticas ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (-1)=-1}$ ${\displaystyle \varphi (1)=1.}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W=0.}$

Generalización a otros problemas de valores en la frontera.

Una expresión más general para la energía potencial de una membrana es

$${\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.}$$

sin restricción en sus valores límite ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle g(s)}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle \sigma (s)}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle u.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$

$${\displaystyle \iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.}$$

$${\displaystyle \iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.}$$

${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle C,}$

$${\displaystyle -\nabla \cdot \nabla u+f=0}$$

${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,}$$

condiciones de contorno naturales ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle u}$

El razonamiento anterior no es válido si desaparece de forma idéntica. En tal caso, podríamos permitir una función de prueba donde sea una constante. Para tal función de prueba, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle \varphi \equiv c,}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].}$$

${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.}$$

Problemas de valores propios

Tanto los problemas de valores propios unidimensionales como los multidimensionales pueden formularse como problemas variacionales.

Problemas de Sturm-Liouville

El problema de valores propios de Sturm-Liouville implica una forma cuadrática general

$${\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx,}$$

${\displaystyle y}$

$${\displaystyle y(x_{1})=0,\quad y(x_{2})=0.}$$

${\displaystyle R}$

$${\displaystyle R[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)y(x)^{2}\,dx.}$$

${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle r(x)}$ ${\displaystyle Q/R}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Q[y]}$ ${\displaystyle R[y]}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0,}$$

${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}$$

método de Rayleigh-Ritz ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle u_{1}(x).}$ ${\displaystyle u}$

El siguiente valor propio y función propia más pequeños se pueden obtener minimizando bajo la restricción adicional ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)y(x)\,dx=0.}$$

El problema variacional también se aplica a condiciones de contorno más generales. En lugar de exigir que desaparezca en los puntos finales, no podemos imponer ninguna condición en los puntos finales y establecer ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx+a_{1}y(x_{1})^{2}+a_{2}y(x_{2})^{2},}$$

${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle y=u+\varepsilon v}$ ${\displaystyle Q/R}$

$${\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),}$$

${\displaystyle Q[u]/R[u]}$

$${\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].}$$

${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.}$$

${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle -p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.}$$

condiciones de contorno naturales

Problemas de valores propios en varias dimensiones.

Los problemas de valores propios en dimensiones superiores se definen en analogía con el caso unidimensional. Por ejemplo, dado un dominio con límite en tres dimensiones, podemos definir ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,}$$

$${\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.}$$

${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ],}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle u}$

$${\displaystyle -\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,}$$

$${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}$$

${\displaystyle u}$

$${\displaystyle p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,}$$

${\displaystyle B.}$

Aplicaciones

Óptica

El principio de Fermat establece que la luz sigue un camino que (localmente) minimiza la longitud óptica entre sus puntos finales. Si se elige la coordenada como parámetro a lo largo del camino y a lo largo del camino, entonces la longitud óptica viene dada por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$

$${\displaystyle A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,}$$

primera variación ${\displaystyle n(x,y)}$ ${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}$$

Después de la integración por partes del primer término entre paréntesis, obtenemos la ecuación de Euler-Lagrange

$${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.}$$

Los rayos de luz se pueden determinar integrando esta ecuación. Este formalismo se utiliza en el contexto de la óptica lagrangiana y la óptica hamiltoniana .

La ley de Snell

Hay una discontinuidad del índice de refracción cuando la luz entra o sale de una lente. Dejar

$${\displaystyle n(x,y)={\begin{cases}n_{(-)}&{\text{if}}\quad x<0,\\n_{(+)}&{\text{if}}\quad x>0,\end{cases}}}$$

${\displaystyle n_{(-)}}$ ${\displaystyle n_{(+)}}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x>0,}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$

$${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\right].}$$

El factor multiplicador es el seno del ángulo del rayo incidente con el eje, y el factor multiplicador es el seno del ángulo del rayo refractado con el eje. La ley de refracción de Snell requiere que estos términos sean iguales. Como demuestra este cálculo, la ley de Snell equivale a la desaparición de la primera variación de la longitud del camino óptico. ${\displaystyle n_{(-)}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n_{(+)}}$ ${\displaystyle x}$

El principio de Fermat en tres dimensiones.

Es conveniente utilizar la notación vectorial: sea un parámetro, sea la representación paramétrica de una curva y sea su vector tangente. La longitud óptica de la curva está dada por ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}),}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle {\dot {X}}(t)}$

$${\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,dt.}$$

Tenga en cuenta que esta integral es invariante con respecto a los cambios en la representación paramétrica de Las ecuaciones de Euler-Lagrange para una curva minimizadora tienen la forma simétrica ${\displaystyle C.}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,\nabla n,}$$

$${\displaystyle P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}.}$$

Se desprende de la definición que satisface ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle P\cdot P=n(X)^{2}.}$$

Por lo tanto, la integral también se puede escribir como

$${\displaystyle A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.}$$

Esta forma sugiere que si podemos encontrar una función cuyo gradiente esté dado por entonces la integral estará dada por la diferencia de en los puntos finales del intervalo de integración. Así, el problema de estudiar las curvas que hacen estacionaria a la integral puede relacionarse con el estudio de las superficies de nivel. Para encontrar dicha función, recurrimos a la ecuación de onda, que gobierna la propagación de la luz. Este formalismo se utiliza en el contexto de la óptica lagrangiana y la óptica hamiltoniana . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi .}$

Conexión con la ecuación de onda.

La ecuación de onda para un medio no homogéneo es

$${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\nabla \cdot \nabla u,}$$

${\displaystyle c}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle \varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\,\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi .}$$

Podemos buscar soluciones en la forma

$${\displaystyle \varphi (t,X)=t-\psi (X).}$$

En ese caso, satisface ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \nabla \psi \cdot \nabla \psi =n^{2},}$$

ecuaciones diferenciales parciales de primer orden ${\displaystyle n=1/c.}$ ${\displaystyle P=\nabla \psi ,}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle {\frac {dP}{ds}}=n\,\nabla n,}$$

los rayos de luz

$${\displaystyle {\frac {dX}{ds}}=P.}$$

Estas ecuaciones para la solución de una ecuación diferencial parcial de primer orden son idénticas a las ecuaciones de Euler-Lagrange si hacemos la identificación

$${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}{n}}.}$$

Concluimos que la función es el valor de la integral minimizadora en función del punto final superior. Es decir, cuando se construye una familia de curvas minimizadoras, los valores de la longitud óptica satisfacen la ecuación característica correspondiente a la ecuación de onda. Por lo tanto, resolver la ecuación diferencial parcial de primer orden asociada es equivalente a encontrar familias de soluciones del problema variacional. Este es el contenido esencial de la teoría de Hamilton-Jacobi , que se aplica a problemas variacionales más generales. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$

Mecánica

En mecánica clásica, la acción, se define como la integral de tiempo del Lagrangiano, El Lagrangiano es la diferencia de energías, ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle L.}$

$${\displaystyle L=T-U,}$$

energía cinéticaenergía potencialEl principio de Hamilton ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt}$$

${\displaystyle x(t).}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},}$$

Los momentos conjugados están definidos por ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.}$$

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},}$$

$${\displaystyle p=m{\dot {x}}.}$$

La mecánica hamiltoniana ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).}$$

Hamilton-Jacobi ${\displaystyle H=T+U.}$ ${\displaystyle X.}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.}$$

Otras aplicaciones

Otras aplicaciones del cálculo de variaciones incluyen las siguientes:

• La derivación de la forma catenaria.
• Solución al problema de resistencia mínima de Newton
• Solución al problema de la braquistocrona
• Solución al problema de la tautocrona
• Solución a problemas isoperimétricos.
• Calculando geodésicas
• Encontrar superficies mínimas y resolver el problema de Plateau.
• Control óptimo
• Mecánica analítica , o reformulaciones de las leyes del movimiento de Newton, más notablemente la mecánica lagrangiana y hamiltoniana ;
• Óptica geométrica, especialmente óptica lagrangiana y hamiltoniana ;
• Método variacional (mecánica cuántica) , una forma de encontrar aproximaciones al estado propio o estado fundamental de menor energía, y algunos estados excitados;
• Métodos bayesianos variacionales , una familia de técnicas para aproximar integrales intratables que surgen de la inferencia bayesiana y el aprendizaje automático;
• Métodos variacionales en la relatividad general , una familia de técnicas que utilizan el cálculo de variaciones para resolver problemas de la teoría general de la relatividad de Einstein;
• El método de elementos finitos es un método variacional para encontrar soluciones numéricas a problemas de valores en la frontera en ecuaciones diferenciales;
• Eliminación de ruido de variación total , un método de procesamiento de imágenes para filtrar señales ruidosas o de alta variación.

Variaciones y condición suficiente para un mínimo.

El cálculo de variaciones se ocupa de las variaciones de funcionales, que son pequeños cambios en el valor del funcional debido a pequeños cambios en la función que es su argumento. La primera variación ^[l] se define como la parte lineal del cambio en el funcional, y la segunda variación ^[m] se define como la parte cuadrática. ^[22]

Por ejemplo, si es un funcional con la función como argumento y hay un pequeño cambio en su argumento de a donde hay una función en el mismo espacio funcional que entonces el cambio correspondiente en el funcional es ^[n] ${\displaystyle J[y]}$ ${\displaystyle y=y(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y+h,}$ ${\displaystyle h=h(x)}$ ${\displaystyle y,}$

$${\displaystyle \Delta J[h]=J[y+h]-J[y].}$$

Se dice que el funcional es diferenciable si ${\displaystyle J[y]}$

$${\displaystyle \Delta J[h]=\varphi [h]+\varepsilon \|h\|,}$$

^[o][p][26] ${\displaystyle \varphi [h]}$ ${\displaystyle \|h\|}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle \|h\|\to 0.}$ ${\displaystyle \varphi [h]}$ ${\displaystyle J[y]}$

$${\displaystyle \delta J[h]=\varphi [h].}$$

Se dice que el funcional es dos veces diferenciable si ${\displaystyle J[y]}$

$${\displaystyle \Delta J[h]=\varphi _{1}[h]+\varphi _{2}[h]+\varepsilon \|h\|^{2},}$$

^[q][28] ${\displaystyle \varphi _{1}[h]}$ ${\displaystyle \varphi _{2}[h]}$ ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ ${\displaystyle \|h\|\to 0.}$ ${\displaystyle \varphi _{2}[h]}$ ${\displaystyle J[y]}$

$${\displaystyle \delta ^{2}J[h]=\varphi _{2}[h].}$$

Se dice que la segunda variación es fuertemente positiva si ${\displaystyle \delta ^{2}J[h]}$

$${\displaystyle \delta ^{2}J[h]\geq k\|h\|^{2},}$$

^[29] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k>0}$

Utilizando las definiciones anteriores, especialmente las definiciones de primera variación, segunda variación y fuertemente positiva, se puede establecer la siguiente condición suficiente para un mínimo de funcional.

Condición suficiente para un mínimo:

El funcional tiene un mínimo en si su primera variación en y su segunda variación es fuertemente positiva en ^{[30] [r] [s]} ${\displaystyle J[y]}$ ${\displaystyle y={\hat {y}}}$ ${\displaystyle \delta J[h]=0}$ ${\displaystyle y={\hat {y}}}$ ${\displaystyle \delta ^{2}J[h]}$ ${\displaystyle y={\hat {y}}.}$

Ver también

• Primera variación
• Desigualdad isoperimétrica
• Principio variacional
• bicomplejo variacional
• principio de fermat
• Principio de mínima acción
• Optimización de dimensión infinita
• Método de elementos finitos
• Análisis funcional
• El principio variacional de Ekeland
• Problema inverso de la mecánica lagrangiana
• problema de obstáculos
• Métodos de perturbación
• medida joven
• Control óptimo
• Método directo en cálculo de variaciones.
• teorema de noether
• Teoría de De Donder-Weyl
• Métodos bayesianos variacionales
• Problema de Chaplygin
• colector de nehari
• Principio de Hu-Washizu
• El principio variacional de Lucas
• Teorema del paso de montaña
• Categoría:Analistas variacionales
• Medidas de tendencia central como soluciones a problemas variacionales.
• Medalla Stampacchia
• Premio Fermat
• Espacio vectorial conveniente

Notas

1. Mientras que el cálculo elemental trata sobre cambios infinitamente pequeños en los valores de funciones sin cambios en la función misma, el cálculo de variaciones trata sobre cambios infinitamente pequeños en la función misma, que se llaman variaciones. ^[1]
2. "Euler esperó hasta que Lagrange hubiera publicado sobre el tema en 1762... antes de publicar su conferencia... para imprimir, para no robarle a Lagrange su gloria. De hecho, fue sólo el método de Lagrange lo que Euler llamó Cálculo de variaciones. ". ^[3]
3. Ver Harold J. Kushner (2004) : con respecto a la programación dinámica, "El cálculo de variaciones tenía ideas relacionadas (por ejemplo, el trabajo de Caratheodory, la ecuación de Hamilton-Jacobi). Esto generó conflictos con la comunidad del cálculo de variaciones".
4. La vecindad de es la parte del espacio funcional dado donde se encuentra todo el dominio de las funciones, con un número positivo que especifica el tamaño de la vecindad. ^[10] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |y-f|<h}$ ${\displaystyle h}$
5. Tenga en cuenta la diferencia entre los términos extremo y extremo. Un extremo es una función que hace que un funcional sea un extremo.
6. Para conocer la condición suficiente, consulte la sección Variaciones y condición suficiente para un mínimo.
7. La siguiente derivación de la ecuación de Euler-Lagrange corresponde a la derivación de las páginas 184-185 de Courant & Hilbert (1953). ^[14]
8. Tenga en cuenta que y se evalúan con los mismos valores, lo cual no es válido de manera más general en cálculo variacional con restricciones no holonómicas. ${\displaystyle \eta (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x,}$
9. El producto se denomina primera variación del funcional y se denota con Algunas referencias definen la primera variación de manera diferente al omitir el factor. ${\displaystyle \varepsilon \Phi '(0)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \delta J.}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
10. Como nota histórica, este es un axioma de Arquímedes . Véase, por ejemplo, Kelland (1843). ^[15]
11. Turnbull explica la controversia resultante sobre la validez del principio de Dirichlet. ^[21]
12. La primera variación también se llama variación, diferencial o primer diferencial.
13. La segunda variación también se llama segundo diferencial.
14. Tenga en cuenta que eso y las variaciones a continuación dependen de ambos y. El argumento se ha omitido para simplificar la notación. Por ejemplo, podría haberse escrito ^[23] ${\displaystyle \Delta J[h]}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle h.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Delta J[h]}$ ${\displaystyle \Delta J[y;h].}$
15. Se dice que un funcional es lineal si   y   donde son funciones y es un número real. ^[24] ${\displaystyle \varphi [h]}$ ${\displaystyle \varphi [\alpha h]=\alpha \varphi [h]}$ ${\displaystyle \varphi \left[h+h_{2}\right]=\varphi [h]+\varphi \left[h_{2}\right],}$ ${\displaystyle h,h_{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$
16. Para una función definida para donde y son números reales, la norma de es su valor absoluto máximo, es decir, ^[25] ${\displaystyle h=h(x)}$ ${\displaystyle a\leq x\leq b,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \|h\|=\displaystyle \max _{a\leq x\leq b}|h(x)|.}$
17. Se dice que un funcional es cuadrático si es un funcional bilineal con dos funciones de argumento que son iguales. Un funcional bilineal es un funcional que depende de dos funciones de argumento y es lineal cuando cada función de argumento, a su vez, es fija mientras que la otra función de argumento es variable. ^[27]
18. Para otras condiciones suficientes, consulte Gelfand & Fomin 2000,
    • Capítulo  5: "La segunda variación. Condiciones suficientes para un extremo débil" - El teorema de la p.  116.
    • Capítulo  6: "Campos. Condiciones suficientes para un extremo fuerte" - El teorema de la p.  148.
19. Se puede notar la similitud con la condición suficiente para un mínimo de una función, donde la primera derivada es cero y la segunda derivada es positiva.

Referencias

1. Courant y Hilbert 1953, pág. 184
2. Gelfand, IM ; Fomín, SV (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Cálculo de variaciones (Ed. Repr. íntegra). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 3.ISBN​ 978-0486414485.
3. Thiele, Rüdiger (2007). "Euler y el cálculo de variaciones". En Bradley, Robert E.; Sandifer, C. Edward (eds.). Leonhard Euler: vida, obra y legado . Elsevier. pag. 249.ISBN​ 9780080471297.
4. Goldstine, Herman H. (2012). Una historia del cálculo de variaciones desde el siglo XVII al XIX. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 110.ISBN​ 9781461381068.
5. van Brunt, Bruce (2004). El cálculo de variaciones . Saltador. ISBN 978-0-387-40247-5.
6. Ferguson, James (2004). "Breve reseña de la historia del cálculo de variaciones y sus aplicaciones". arXiv : matemáticas/0402357 .
7. Dimitri Bertsekas . Programación dinámica y control óptimo. Atenas científica, 2005.
8. Bellman, Richard E. (1954). "Programación dinámica y un nuevo formalismo en el cálculo de variaciones". Proc. Nacional. Acad. Ciencia . 40 (4): 231–235. Código bibliográfico : 1954PNAS...40..231B. doi : 10.1073/pnas.40.4.231 . PMC 527981 . PMID  16589462. 
9. "Premio Richard E. Bellman Control Heritage". Consejo Americano de Control Automático . 2004. Archivado desde el original el 1 de octubre de 2018 . Consultado el 28 de julio de 2013 .
10. Courant, R ; Hilbert, D (1953). Métodos de Física Matemática . vol. Yo (Primera edición en inglés). Nueva York: Interscience Publishers, Inc. p. 169.ISBN​ 978-0471504474.
11. Gelfand y Fomin 2000, págs. 12-13
12. Gelfand y Fomin 2000, pág. 13
13. Gelfand y Fomin 2000, págs. 14-15
14. Courant, R .; Hilbert, D. (1953). Métodos de Física Matemática . vol. Yo (Primera edición en inglés). Nueva York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.
15. Kelland, Felipe (1843). Conferencias sobre los principios de las matemáticas demostrativas. pag. 58 - a través de Google Books.
16. Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Euler-Lagrange". mathworld.wolfram.com . Wolframio. Ec. (5).
17. Kot, Mark (2014). "Capítulo 4: Generalizaciones básicas". Un primer curso de cálculo de variaciones . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-1-4704-1495-5.
18. Manià, Bernard (1934). "Sopra un ejemplo de Lavrentieff". Bollenttino dell'Unione Matematica Italiana . 13 : 147-153.
19. Bola y Mizel (1985). "Problemas variacionales unidimensionales cuyos minimizadores no satisfacen la ecuación de Euler-Lagrange". Archivo de Análisis y Mecánica Racional . 90 (4): 325–388. Código Bib : 1985ArRMA..90..325B. doi :10.1007/BF00276295. S2CID  55005550.
20. Ferriero, Alessandro (2007). "La propiedad de repulsión débil". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 88 (4): 378–388. doi :10.1016/j.matpur.2007.06.002.
21. Turnbull. "Biografía de Riemann". Reino Unido: U. St. Andrew.
22. Gelfand y Fomin 2000, págs. 11-12, 99
23. Gelfand y Fomin 2000, pág. 12, nota al pie 6
24. Gelfand y Fomin 2000, pág. 8
25. Gelfand y Fomin 2000, pág. 6
26. Gelfand y Fomin 2000, págs. 11-12
27. Gelfand y Fomin 2000, págs. 97–98
28. Gelfand y Fomin 2000, pág. 99
29. Gelfand y Fomin 2000, pág. 100
30. Gelfand y Fomin 2000, pág. 100, teorema 2

Otras lecturas

• Benesova, B. y Kruzik, M.: "Semicontinuidad inferior débil de aplicaciones y funcionales integrales". Revisión SIAM 59(4) (2017), 703–766.
• Bolza, O .: Conferencias sobre cálculo de variaciones. Chelsea Publishing Company, 1904, disponible en la biblioteca de Digital Mathematics. Segunda edición republicada en 1961, edición de bolsillo en 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4 . 
• Cassel, Kevin W.: Métodos variacionales con aplicaciones en ciencia e ingeniería, Cambridge University Press, 2013.
• Clegg, JC: Cálculo de variaciones, Interscience Publishers Inc., 1968.
• Courant, R .: Principio de Dirichlet, mapeo conforme y superficies mínimas. Interciencia, 1950.
• Dacorogna, Bernard : "Introducción" Introducción al Cálculo de Variaciones , 3.ª edición. 2014, Publicaciones científicas mundiales, ISBN 978-1-78326-551-0 . 
• Elsgolc, LE: Cálculo de variaciones, Pergamon Press Ltd., 1962.
• Forsyth, AR: Cálculo de variaciones, Dover, 1960.
• Fox, Charles: Introducción al cálculo de variaciones, Dover Publ., 1987.
• Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan: Cálculo de variaciones I y II, Springer-Verlag, ISBN 978-3-662-03278-7 e ISBN 978-3-662-06201-2  
• Jost, J. y X. Li-Jost: Cálculo de variaciones. Prensa de la Universidad de Cambridge, 1998.
• Lebedev, LP y Cloud, MJ: El cálculo de variaciones y análisis funcional con control óptimo y aplicaciones en mecánica, World Scientific, 2003, páginas 1–98.
• Logan, J. David: Matemáticas Aplicadas, 3ª edición. Wiley-Interscience, 2006
• Pike, Ralph W. "Capítulo 8: Cálculo de variaciones". Optimización de Sistemas de Ingeniería. Universidad Estatal de Luisiana . Archivado desde el original el 5 de julio de 2007.
• Roubicek, T.: "Cálculo de variaciones". Capítulo 17 en: Herramientas matemáticas para físicos . (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7 , págs. 
• Sagan, Hans: Introducción al cálculo de variaciones, Dover, 1992.
• Weinstock, Robert: Cálculo de variaciones con aplicaciones a la física y la ingeniería, Dover, 1974 (reimpresión de la edición de 1952).

enlaces externos

• Cálculo variacional. Enciclopedia de Matemáticas .
• calculo de variaciones. PlanetMath .
• Cálculo de variaciones. MundoMatemático .
• Cálculo de variaciones. Problemas de ejemplo.
• Matemáticas - Cálculo de Variaciones y Ecuaciones Integrales. Conferencias en YouTube .
• Artículos seleccionados sobre campos geodésicos. Parte I, Parte II.