Proyección estereográfica

Mapeo particular que proyecta una esfera sobre un plano.

Ilustración 3D de una proyección estereográfica desde el polo norte sobre un plano debajo de la esfera

En matemáticas , una proyección estereográfica es una proyección en perspectiva de la esfera , a través de un punto específico de la esfera (el polo o centro de proyección ), sobre un plano (el plano de proyección ) perpendicular al diámetro que pasa por el punto. Es una función biyectiva suave de toda la esfera excepto el centro de proyección a todo el plano. Asigna círculos en la esfera a círculos o líneas en el plano y es conforme , lo que significa que conserva los ángulos en los que se encuentran las curvas y, por lo tanto, conserva las formas localmente aproximadamente . No es ni isométrico (preserva la distancia) ni equiareal (preserva el área). ^[1]

La proyección estereográfica da una forma de representar una esfera mediante un plano. La métrica inducida por la proyección estereográfica inversa del plano a la esfera define una distancia geodésica entre puntos del plano igual a la distancia esférica entre los puntos esféricos que representan. Un sistema de coordenadas bidimensional en el plano estereográfico es una configuración alternativa para la geometría analítica esférica en lugar de coordenadas polares esféricas o coordenadas cartesianas tridimensionales . Este es el análogo esférico del modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico .

Intuitivamente, la proyección estereográfica es una forma de representar la esfera como un plano, con algunos compromisos inevitables. Debido a que la esfera y el plano aparecen en muchas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, también aparece la proyección estereográfica; encuentra uso en diversos campos, incluido el análisis complejo , la cartografía (ver proyección de mapas estereográficos ), la geología y la fotografía . A veces, los cálculos estereográficos se realizan gráficamente utilizando un tipo especial de papel cuadriculado llamado red estereográfica , abreviado como estereonet o red de Wulff .

Historia

Ilustración de Rubens para "Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles", de François d'Aguilon . Demuestra el principio de una proyección en perspectiva general, de la cual la proyección estereográfica es un caso especial.

Se desconoce el origen de la proyección estereográfica, pero se cree que fue descubierta por astrónomos de la antigua Grecia y utilizada para proyectar la esfera celeste al plano para poder analizar los movimientos de las estrellas y los planetas utilizando la geometría plana . Su descripción más antigua que se conserva se encuentra en el Planisferio de Ptolomeo (siglo II d. C.), pero Sinesio ( c.  400 d. C. ), ^[2] y las Cónicas de Apolonio ( c.  200 d. C.) lo atribuyeron ambiguamente a Hiparco (siglo II a. C.). BC ) contiene un teorema que es crucial para demostrar la propiedad de que la proyección estereográfica asigna círculos a círculos. A Hiparco, Apolonio, Arquímedes e incluso Eudoxo (siglo IV a. C.) se les ha atribuido en ocasiones especulativamente el mérito de haber inventado o conocido la proyección estereográfica, ^[3] pero algunos expertos consideran estas atribuciones injustificadas. ^[2] Ptolomeo se refiere al uso de la proyección estereográfica en un "instrumento horoscópico", tal vez el reloj anafórico  [fr; it] descrito por Vitruvio (siglo I a. C.). ^{[4] [5]}

En la época de Teón de Alejandría (siglo IV), el planisferio se había combinado con una dioptra para formar el astrolabio planisférico ("tomador de estrellas"), ^[3] un dispositivo portátil capaz que podía usarse para medir posiciones de estrellas y realizar una Amplia variedad de cálculos astronómicos. El astrolabio fue utilizado continuamente por los astrónomos bizantinos y fue desarrollado significativamente por los astrónomos islámicos medievales . Se transmitió a Europa occidental durante los siglos XI y XII, con textos árabes traducidos al latín.

En los siglos XVI y XVII, el aspecto ecuatorial de la proyección estereográfica se usaba comúnmente para mapas de los hemisferios oriental y occidental . Se cree que ya el mapa creado en 1507 por Gualterius Lud ^[6] estaba en proyección estereográfica, al igual que más tarde los mapas de Jean Roze (1542), Rumold Mercator (1595) y muchos otros. ^[7] En los mapas estelares, incluso este aspecto ecuatorial ya había sido utilizado por los antiguos astrónomos como Ptolomeo . ^[8]

François d'Aguilon le dio a la proyección estereográfica su nombre actual en su obra de 1613 Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Seis libros de óptica, útiles tanto para filósofos como para matemáticos). ^[9]

A finales del siglo XVI, Thomas Harriot demostró que la proyección estereográfica es conforme ; sin embargo, esta prueba nunca fue publicada y permaneció entre sus papeles en una caja durante más de tres siglos. ^[10] En 1695, Edmond Halley , motivado por su interés por los mapas estelares , fue el primero en publicar una prueba. ^[11] Utilizó las herramientas de cálculo recientemente establecidas , inventadas por su amigo Isaac Newton .

Definición

Primera formulación

Proyección estereográfica de la esfera unitaria desde el polo norte al plano z = 0 , mostrada aquí en sección transversal

La esfera unitaria S ² en el espacio tridimensional R ³ es el conjunto de puntos ( x , y , z ) tales que x ² + y ² + z ² = 1 . Sea N = (0, 0, 1) el "polo norte" y sea M el resto de la esfera. El plano z = 0 pasa por el centro de la esfera; el "ecuador" es la intersección de la esfera con este plano.

Para cualquier punto P en M , hay una única línea que pasa por N y P , y esta línea intersecta el plano z = 0 exactamente en un punto P ′ , conocido como proyección estereográfica de P sobre el plano.

En coordenadas cartesianas ( x , y , z ) en la esfera y ( X , Y ) en el plano, la proyección y su inversa vienen dadas por las fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right),\\(x,y,z)&=\left({\frac {2X}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {2Y}{1+X^{2}+Y^{2}}},{\frac {-1+X^{2}+Y^{2}}{1+X^{2}+Y^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

En coordenadas esféricas ( φ , θ ) en la esfera (con φ el ángulo cenital , 0 ≤ φ ≤ π , y θ el azimut , 0 ≤ θ ≤ 2π ) y coordenadas polares ( R , Θ ) en el plano, la proyección y sus inversas son

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {\sin \varphi }{1-\cos \varphi }},\theta \right)=\left(\cot {\frac {\varphi }{2}},\theta \right),\\(\varphi ,\theta )&=\left(2\arctan {\frac {1}{R}},\Theta \right).\end{aligned}}}$

Aquí, se entiende que φ tiene valor π cuando R = 0. Además, hay muchas formas de reescribir estas fórmulas usando identidades trigonométricas . En coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) en la esfera y coordenadas polares ( R , Θ ) en el plano, la proyección y su inversa son

${\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\frac {r}{1-z}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left({\frac {2R}{1+R^{2}}},\Theta ,{\frac {R^{2}-1}{R^{2}+1}}\right).\end{aligned}}}$

Otras convenciones

Proyección estereográfica de la esfera unitaria desde el polo norte al plano z = −1 , mostrada aquí en sección transversal

Algunos autores ^[12] definen la proyección estereográfica desde el polo norte (0, 0, 1) sobre el plano z = −1 , que es tangente a la esfera unitaria en el polo sur (0, 0, −1). Esto puede describirse como una composición de una proyección sobre el plano ecuatorial descrito anteriormente y una homotecia desde éste hasta el plano polar. La homotecia escala la imagen por un factor de 2 (una relación entre un diámetro y un radio de la esfera), por lo tanto, los valores X e Y producidos por esta proyección son exactamente el doble de los producidos por la proyección ecuatorial descrita en la sección anterior. Por ejemplo, esta proyección envía el ecuador al círculo de radio 2 centrado en el origen. Mientras que la proyección ecuatorial no produce una distorsión de área infinitesimal a lo largo del ecuador, esta proyección polo-tangente no produce una distorsión de área infinitesimal en el polo sur.

Otros autores ^[13] utilizan una esfera de radio1/2y el plano z = −1/2. En este caso las fórmulas se convierten

${\displaystyle {\begin{aligned}(x,y,z)\rightarrow (\xi ,\eta )&=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right),\\(\xi ,\eta )\rightarrow (x,y,z)&=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Proyección estereográfica de una esfera desde un punto Q al plano E , que se muestra aquí en sección transversal

En general, se puede definir una proyección estereográfica desde cualquier punto Q de la esfera a cualquier plano E tal que

• E es perpendicular al diámetro que pasa por Q , y
• E no contiene Q .

Siempre que E cumpla estas condiciones, entonces, para cualquier punto P distinto de Q, la línea que pasa por P y Q se encuentra con E exactamente en un punto P ′ , que se define como la proyección estereográfica de P sobre E. ^[14]

Generalizaciones

De manera más general, la proyección estereográfica se puede aplicar a la unidad n -esfera S ⁿ en el espacio euclidiano de ⁽ n + 1 ) dimensiones En ⁺¹ . Si Q es un punto de S ⁿ y E un hiperplano en E ^{n +1} , entonces la proyección estereográfica de un punto P ∈ S ⁿ − { Q } es el punto P ′ de intersección de la recta QP con E . En coordenadas cartesianas ( x _i , i de 0 a n ) en S ⁿ y ( X _i , i de 1 a n ) en E , la proyección de Q = (1, 0, 0, ..., 0) ∈ S ⁿ está dado por

$${\displaystyle X_{i}={\frac {x_{i}}{1-x_{0}}}\quad (i=1,\dots ,n).}$$

$${\displaystyle s^{2}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}^{2}={\frac {1+x_{0}}{1-x_{0}}},}$$

$${\displaystyle x_{0}={\frac {s^{2}-1}{s^{2}+1}}\quad {\text{and}}\quad x_{i}={\frac {2X_{i}}{s^{2}+1}}\quad (i=1,\dots ,n).}$$

De manera aún más general, supongamos que S es una hipersuperficie cuádrica (no singular) en el espacio proyectivo P ^{n +1} . En otras palabras, S es el lugar geométrico de ceros de una forma cuadrática no singular f ( x ₀ , ..., x _{n +1} ) en las coordenadas homogéneas x _i . Fije cualquier punto Q en S y un hiperplano E en P ^{n +1} que no contenga Q. Entonces la proyección estereográfica de un punto P en S − { Q } es el único punto de intersección de QP con E. Como antes, la proyección estereográfica es conforme e invertible en un conjunto abierto de Zariski no vacío. La proyección estereográfica presenta la hipersuperficie cuádrica como una hipersuperficie racional . ^[15] Esta construcción juega un papel en la geometría algebraica y la geometría conforme .

Propiedades

La primera proyección estereográfica definida en la sección anterior envía el "polo sur" (0, 0, −1) de la esfera unitaria a (0, 0), el ecuador al círculo unitario , el hemisferio sur a la región dentro del círculo. , y el hemisferio norte a la región fuera del círculo.

La proyección no está definida en el punto de proyección N = (0, 0, 1). Las pequeñas vecindades de este punto se envían a subconjuntos del plano alejados de (0, 0). Cuanto más cerca está P de (0, 0, 1), más distante está su imagen de (0, 0) en el plano. Por esta razón, es común hablar de (0, 0, 1) como si se aplicara al "infinito" en el plano, y de la esfera como si completara el plano agregando un punto en el infinito . Esta noción encuentra utilidad en geometría proyectiva y análisis complejos. A un nivel meramente topológico , ilustra cómo la esfera es homeomorfa con respecto a la compactación en un punto del plano.

En coordenadas cartesianas un punto P ( x , y , z ) en la esfera y su imagen P ′ ( X , Y ) en el plano o ambos son puntos racionales o ninguno de ellos:

${\displaystyle P\in \mathbb {Q} ^{3}\iff P'\in \mathbb {Q} ^{2}}$

Una cuadrícula cartesiana en el plano aparece distorsionada en la esfera. Las líneas de la cuadrícula siguen siendo perpendiculares, pero las áreas de los cuadrados de la cuadrícula se reducen a medida que se acercan al polo norte.

Una rejilla polar en el plano aparece distorsionada en la esfera. Las curvas de la cuadrícula siguen siendo perpendiculares, pero las áreas de los sectores de la cuadrícula se reducen a medida que se acercan al polo norte.

La proyección estereográfica es conforme, lo que significa que conserva los ángulos en los que las curvas se cruzan (ver figuras). Por otra parte, la proyección estereográfica no preserva el área; en general, el área de una región de la esfera no es igual al área de su proyección sobre el plano. El elemento de área está dado en coordenadas ( X , Y ) por

${\displaystyle dA={\frac {4}{(1+X^{2}+Y^{2})^{2}}}\;dX\;dY.}$

A lo largo del círculo unitario, donde X ² + Y ² = 1 , no hay inflación del área en el límite, lo que da un factor de escala de 1. Las áreas cercanas a (0, 0) se inflan en un factor de 4, y las áreas cercanas al infinito están inflados por factores arbitrariamente pequeños.

La métrica está dada en coordenadas ( X , Y ) por

${\displaystyle {\frac {4}{(1+X^{2}+Y^{2})^{2}}}\;(dX^{2}+dY^{2}),}$

y es la fórmula única que se encuentra en el Habilitationsschrift de Bernhard Riemann sobre los fundamentos de la geometría, presentado en Göttingen en 1854 y titulado Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen .

Ningún mapa de la esfera al plano puede ser conforme y al mismo tiempo preservar el área. Si así fuera, entonces sería una isometría local y preservaría la curvatura gaussiana . La esfera y el plano tienen curvaturas gaussianas diferentes, por lo que esto es imposible.

Los círculos de la esfera que no pasan por el punto de proyección se proyectan a círculos del plano. ^{[16] [17]} Los círculos de la esfera que pasan por el punto de proyección se proyectan en líneas rectas en el plano. A veces se piensa que estas líneas son círculos que pasan por el punto en el infinito, o círculos de radio infinito. Estas propiedades se pueden verificar usando las expresiones de en términos de dadas en § Primera formulación: usando estas expresiones para una sustitución en la ecuación del plano que contiene un círculo en la esfera, y limpiando los denominadores, se obtiene la ecuación de un círculo, es decir, una ecuación de segundo grado que tiene como parte cuadrática. La ecuación se vuelve lineal si es decir, si el avión pasa por el punto de proyección. ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle X,Y,Z,}$ ${\displaystyle ax+by+cz-d=0}$ ${\displaystyle (c-d)(X^{2}+Y^{2})}$ ${\displaystyle c=d,}$

Todas las líneas en el plano, cuando se transforman en círculos en la esfera mediante la inversa de la proyección estereográfica, se encuentran en el punto de proyección. Las rectas paralelas que no se cortan en el plano se transforman en círculos tangentes al punto de proyección. Las líneas que se cruzan se transforman en círculos que se cruzan transversalmente en dos puntos de la esfera, uno de los cuales es el punto de proyección. (Se aplican observaciones similares sobre el plano proyectivo real , pero las relaciones de intersección son diferentes allí.)

La esfera, con varios loxódromos mostrados en distintos colores.

Los loxódromos de la esfera se corresponden con curvas en el plano de la forma.

${\displaystyle R=e^{\Theta /a},\,}$

donde el parámetro a mide la "estrechez" del loxódromo. Así, los loxódromos corresponden a espirales logarítmicas . Estas espirales cruzan líneas radiales en el plano en ángulos iguales, al igual que los loxódromos cruzan meridianos en la esfera en ángulos iguales.

La proyección estereográfica se relaciona de forma sencilla con la inversión del plano. Sean P y Q dos puntos de la esfera con proyecciones P ′ y Q ′ en el plano. Entonces P ′ y Q ′ son imágenes inversas entre sí en la imagen del círculo ecuatorial si y sólo si P y Q son reflejos entre sí en el plano ecuatorial.

En otras palabras, si:

• P es un punto en la esfera, pero no un 'polo norte' N ni su antípoda , el 'polo sur' S ,
• P ′ es la imagen de P en una proyección estereográfica con el punto de proyección N y
• P″ es la imagen de P en una proyección estereográfica con el punto de proyección S ,

entonces P ′ y P″ son imágenes inversas entre sí en el círculo unitario.

${\displaystyle \triangle NOP^{\prime }\sim \triangle P^{\prime \prime }OS\implies OP^{\prime }:ON=OS:OP^{\prime \prime }\implies OP^{\prime }\cdot OP^{\prime \prime }=r^{2}}$

Red Wulff

Red de Wulff o estereonet, utilizada para realizar trazados de la proyección estereográfica a mano.

La generación de una red de Wulff (red circular dentro del círculo rojo) mediante una proyección estereográfica con centro C y plano de proyección. ${\displaystyle \pi }$

Los trazados de proyección estereográfica se pueden realizar mediante una computadora utilizando las fórmulas explícitas dadas anteriormente. Sin embargo, para graficar a mano estas fórmulas son difíciles de manejar. En cambio, es común utilizar papel cuadriculado diseñado específicamente para la tarea. Este papel cuadriculado especial se llama estereonet o red de Wulff , en honor al mineralogista ruso George (Yuri Viktorovich) Wulff . ^[18]

La red de Wulff que se muestra aquí es la proyección estereográfica de la cuadrícula de paralelos y meridianos de un hemisferio centrado en un punto del ecuador (como el hemisferio oriental u occidental de un planeta).

En la figura, la propiedad de distorsión del área de la proyección estereográfica se puede ver comparando un sector de cuadrícula cerca del centro de la red con uno en el extremo derecho o izquierdo. Los dos sectores tienen áreas iguales en la esfera. En el disco, este último tiene casi cuatro veces el área del primero. Si la cuadrícula se hace más fina, esta relación se aproxima exactamente a 4.

En la red de Wulff, las imágenes de los paralelos y meridianos se cruzan en ángulo recto. Esta propiedad de ortogonalidad es consecuencia de la propiedad de conservación del ángulo de la proyección estereográfica. (Sin embargo, la propiedad de preservar los ángulos es más fuerte que esta propiedad. No todas las proyecciones que preservan la ortogonalidad de los paralelos y meridianos preservan los ángulos).

Ilustración de los pasos 1 a 4 para trazar un punto en una red de Wulff

Como ejemplo del uso de la red Wulff, imagine dos copias en papel fino, una encima de la otra, alineadas y clavadas en sus centros mutuos. Sea P el punto en el hemisferio unitario inferior cuyas coordenadas esféricas son (140°, 60°) y cuyas coordenadas cartesianas son (0,321, 0,557, −0,766). Este punto se encuentra en una línea orientada 60° en sentido antihorario desde el eje x positivo (o 30° en el sentido de las agujas del reloj desde el eje y positivo ) y 50° por debajo del plano horizontal z = 0 . Una vez que se conocen estos ángulos, hay cuatro pasos para trazar P :

1. Usando las líneas de la cuadrícula, que están espaciadas 10° en las figuras aquí, marque el punto en el borde de la red que está a 60° en sentido contrario a las agujas del reloj desde el punto (1, 0) (o 30° en el sentido de las agujas del reloj desde el punto (0, 1). )).
2. Gire la red superior hasta que este punto esté alineado con (1, 0) en la red inferior.
3. Usando las líneas de la cuadrícula en la red inferior, marque el punto que está a 50° hacia el centro desde ese punto.
4. Gire la red superior en sentido opuesto a como estaba orientada antes, para volver a alinearla con la red inferior. El punto marcado en el paso 3 es entonces la proyección que queríamos.

Para trazar otros puntos, cuyos ángulos no son números redondos como 60° y 50°, se debe interpolar visualmente entre las líneas de la cuadrícula más cercanas. Es útil tener una red con un espaciado menor que 10°. Son comunes espacios de 2°.

Para encontrar el ángulo central entre dos puntos de la esfera según su trazado estereográfico, superponga el trazado sobre una red de Wulff y gire el trazado alrededor del centro hasta que los dos puntos se encuentren en un meridiano o cerca de él. Luego mida el ángulo entre ellos contando las líneas de la cuadrícula a lo largo de ese meridiano.

• 
  Se dibujan dos puntos P ₁ y P _{2 en una hoja transparente clavada en el origen de una red de Wulff.}
• 
  Se gira la lámina transparente y se lee el ángulo central a lo largo del meridiano común a ambos puntos P ₁ y P ₂ .

Aplicaciones dentro de las matemáticas

Análisis complejo

La proyección estereográfica desde el polo norte de una esfera a su plano ecuatorial establece una correspondencia uno a uno entre la esfera y el plano ecuatorial extendido con un punto en el infinito denotado ∞ . Cuando el plano ecuatorial es el plano complejo , esto proporciona una visualización de la esfera de Riemann.

Aunque cualquier proyección estereográfica omite un punto de la esfera (el punto de proyección), se puede mapear toda la esfera utilizando dos proyecciones desde puntos de proyección distintos. En otras palabras, la esfera puede quedar cubierta por dos parametrizaciones estereográficas (las inversas de las proyecciones) del plano. Las parametrizaciones se pueden elegir para inducir la misma orientación en la esfera. Juntos, describen la esfera como una superficie orientada (o variedad bidimensional ).

Esta construcción tiene especial importancia en el análisis complejo. El punto ( X , Y ) en el plano real se puede identificar con el número complejo ζ = X + i Y. La proyección estereográfica desde el polo norte sobre el plano ecuatorial es entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &={\frac {x+iy}{1-z}},\\\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {2\operatorname {Im} \zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }},{\frac {-1+{\bar {\zeta }}\zeta }{1+{\bar {\zeta }}\zeta }}\right).\end{aligned}}}$

De manera similar, dejando que ξ = X − i Y sea otra coordenada compleja, las funciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &={\frac {x-iy}{1+z}},\\(x,y,z)&=\left({\frac {2\operatorname {Re} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {-2\operatorname {Im} \xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }},{\frac {1-{\bar {\xi }}\xi }{1+{\bar {\xi }}\xi }}\right)\end{aligned}}}$

definir una proyección estereográfica desde el polo sur sobre el plano ecuatorial. Los mapas de transición entre las coordenadas ζ y ξ son entonces ζ =1/ξy ξ =1/ζ, con ζ acercándose a 0 cuando ξ tiende al infinito, y viceversa . Esto facilita una noción elegante y útil de infinito para los números complejos y, de hecho, toda una teoría de funciones meromórficas que se corresponden con la esfera de Riemann . La métrica estándar en la esfera unitaria concuerda con la métrica de Fubini-Study en la esfera de Riemann.

Visualización de líneas y planos.

Animación de líneas Kikuchi de cuatro de las ocho zonas <111> en un cristal fcc. Los planos de borde (líneas con bandas) se cruzan en ángulos fijos.

El conjunto de todas las rectas que pasan por el origen en el espacio tridimensional forma un espacio llamado plano proyectivo real . Este plano es difícil de visualizar porque no puede integrarse en un espacio tridimensional.

Sin embargo, se puede visualizar como un disco, de la siguiente manera. Cualquier línea que pase por el origen corta el hemisferio sur z  ≤ 0 en un punto, que luego puede proyectarse estereográficamente a un punto de un disco en el plano XY. Las líneas horizontales que pasan por el origen intersecan el hemisferio sur en dos puntos antípodas a lo largo del ecuador, que se proyectan hasta el límite del disco. Cualquiera de los dos puntos proyectados puede considerarse parte del disco; se entiende que los puntos antípodas en el ecuador representan una sola línea en el espacio 3 y un solo punto en el límite del disco proyectado (ver topología del cociente ). Por tanto, cualquier conjunto de líneas que pasen por el origen puede representarse como un conjunto de puntos en el disco proyectado. Pero los puntos límite se comportan de manera diferente a los puntos límite de un disco bidimensional ordinario, en que cualquiera de ellos está simultáneamente cerca de puntos interiores en lados opuestos del disco (al igual que dos líneas casi horizontales que pasan por el origen pueden proyectarse a puntos en lados opuestos del disco).

Además, cada plano que pasa por el origen corta la esfera unitaria en un círculo máximo, llamado traza del plano. Este círculo se corresponde con un círculo bajo proyección estereográfica. Entonces la proyección nos permite visualizar planos como arcos circulares en el disco. Antes de la disponibilidad de las computadoras, las proyecciones estereográficas con círculos máximos a menudo implicaban dibujar arcos de gran radio que requerían el uso de una brújula de haz . Las computadoras ahora facilitan mucho esta tarea.

Además, asociada a cada plano hay una línea única, llamada polo del plano , que pasa por el origen y es perpendicular al plano. Esta línea se puede trazar como un punto en el disco al igual que cualquier línea que pase por el origen. Entonces la proyección estereográfica también nos permite visualizar planos como puntos en el disco. Para trazados que involucran muchos aviones, trazar sus polos produce una imagen menos confusa que trazar sus trazas.

Esta construcción se utiliza para visualizar datos direccionales en cristalografía y geología, como se describe a continuación.

Otra visualización

La proyección estereográfica también se aplica a la visualización de politopos . En un diagrama de Schlegel , un politopo de n dimensiones en R ^{n +1} se proyecta sobre una esfera de n dimensiones, que luego se proyecta estereográficamente sobre R ⁿ . La reducción de R ^{n +1} a R ⁿ puede hacer que el politopo sea más fácil de visualizar y comprender.

Geometría aritmética

Los puntos racionales de una circunferencia corresponden, bajo proyección estereográfica, a los puntos racionales de la recta.

En geometría aritmética elemental , la proyección estereográfica desde el círculo unitario proporciona un medio para describir todas las ternas pitagóricas primitivas . Específicamente, la proyección estereográfica desde el polo norte (0,1) sobre el eje x da una correspondencia uno a uno entre los puntos de números racionales ( x , y ) en el círculo unitario (con y ≠ 1 ) y los puntos racionales del eje x . Si (metro/norte, 0) es un punto racional en el eje x , entonces su proyección estereográfica inversa es el punto

${\displaystyle \left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right)}$

que da la fórmula de Euclides para una terna pitagórica.

Sustitución de medio ángulo tangente

Se puede considerar que el par de funciones trigonométricas (sen x , cos x ) parametrizan el círculo unitario. La proyección estereográfica ofrece una parametrización alternativa del círculo unitario:

${\displaystyle \cos x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\quad \sin x={\frac {2t}{t^{2}+1}}.}$

Bajo esta reparametrización, el elemento de longitud dx del círculo unitario pasa a

${\displaystyle dx={\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}.}$

Esta sustitución a veces puede simplificar integrales que involucran funciones trigonométricas.

Aplicaciones a otras disciplinas

Cartografía

El problema fundamental de la cartografía es que ningún mapa desde la esfera al plano puede representar con precisión tanto ángulos como áreas. En general, se prefieren las proyecciones cartográficas que preservan el área para aplicaciones estadísticas , mientras que para la navegación se prefieren las proyecciones cartográficas que preservan el ángulo (conformes) .

La proyección estereográfica cae en la segunda categoría. Cuando la proyección está centrada en el polo norte o sur de la Tierra, tiene propiedades deseables adicionales: envía meridianos a rayos que emanan del origen y paralelos a círculos centrados en el origen.

• 
  Proyección estereográfica del mundo al norte de 30°S. Retícula de 15°.
• 
  La proyección estereográfica con la indicatriz de deformación de Tissot .

ciencia planetaria

Una proyección estereográfica de la Luna , que muestra regiones hacia el polo de 60° Norte. Los cráteres que son círculos en la esfera aparecen circulares en esta proyección, independientemente de si están cerca del polo o del borde del mapa.

La estereográfica es la única proyección que asigna todos los círculos de una esfera a círculos de un plano . Esta propiedad es valiosa en el mapeo planetario donde los cráteres son características típicas. El conjunto de círculos que pasan por el punto de proyección tienen radio ilimitado y, por tanto, degeneran en líneas.

Cristalografía

Una figura polar cristalográfica para la red de diamantes en la dirección [111]

En cristalografía , las orientaciones de los ejes y caras del cristal en el espacio tridimensional son una preocupación geométrica central, por ejemplo en la interpretación de patrones de difracción de rayos X y electrones . Estas orientaciones se pueden visualizar como en el apartado Visualización de líneas y planos anterior. Es decir, los ejes del cristal y los polos de los planos del cristal se cruzan con el hemisferio norte y luego se trazan mediante proyección estereográfica. Una gráfica de polos se llama figura polar .

En la difracción de electrones , los pares de líneas de Kikuchi aparecen como bandas que decoran la intersección entre las trazas del plano de la red y la esfera de Ewald, proporcionando así acceso experimental a la proyección estereográfica de un cristal. Los mapas modelo Kikuchi en el espacio recíproco ^[19] y los mapas de visibilidad marginal para usar con contornos de curvatura en el espacio directo ^[20] actúan así como mapas de ruta para explorar el espacio de orientación con cristales en el microscopio electrónico de transmisión .

Geología

Uso de la proyección estereográfica del hemisferio inferior para trazar datos planos y lineales en geología estructural, utilizando el ejemplo de un plano de falla con una lineación del lado liso

Los investigadores en geología estructural se preocupan por las orientaciones de planos y líneas por varias razones. La foliación de una roca es una característica plana que a menudo contiene una característica lineal llamada lineación . De manera similar, un plano de falla es una característica plana que puede contener características lineales como lados lisos .

Estas orientaciones de líneas y planos a varias escalas se pueden trazar utilizando los métodos de la sección Visualización de líneas y planos anterior. Como en cristalografía, los planos normalmente se trazan por sus polos. A diferencia de la cristalografía, se utiliza el hemisferio sur en lugar del norte (porque las características geológicas en cuestión se encuentran debajo de la superficie de la Tierra). En este contexto, la proyección estereográfica a menudo se denomina proyección del hemisferio inferior de ángulos iguales . También se utiliza la proyección de áreas iguales del hemisferio inferior definida por la proyección azimutal de áreas iguales de Lambert , especialmente cuando el gráfico se va a someter a análisis estadísticos posteriores, como el contorno de densidad . ^[21]

Fotografía

Proyección estereográfica del panorama esférico de la escultura de la Última Cena de Michele Vedani en Esino Lario , Lombardía, Italia durante Wikimania 2016

"Vue circularire des montagnes qu'on découvre du sommet du Glacier de Buet", Horace-Benedict de Saussure, Voyage dans les Alpes, précédés d'un ensayo sobre la historia natural de los alrededores de Ginebra . Neuchatel, 1779–96, pl. 8.

Algunas lentes ojo de pez utilizan una proyección estereográfica para capturar una vista de gran angular. ^[22] En comparación con las lentes ojo de pez más tradicionales que utilizan una proyección de áreas iguales, las áreas cercanas al borde conservan su forma y las líneas rectas son menos curvas. Sin embargo, las lentes estereográficas de ojo de pez suelen ser más caras de fabricar. ^[23] El software de reasignación de imágenes, como Panotools , permite la reasignación automática de fotografías desde un ojo de pez de áreas iguales a una proyección estereográfica.

La proyección estereográfica se ha utilizado para cartografiar panoramas esféricos , empezando por la de Horace Bénédict de Saussure en 1779. Esto da lugar a efectos conocidos como pequeño planeta (cuando el centro de proyección es el nadir ) y tubo (cuando el centro de proyección es el cenit ). ^[24]

La popularidad del uso de proyecciones estereográficas para mapear panoramas sobre otras proyecciones azimutales se atribuye a la preservación de la forma que resulta de la conformidad de la proyección. ^[24]

Ver también

• Lista de proyecciones cartográficas
• Astrolabio
• Reloj astronomico
• Modelo de disco de Poincaré , el mapeo análogo del plano hiperbólico
• Proyección estereográfica en cartografía.

Referencias

1. Bajo la métrica euclidiana en el plano.
2. Synesius escribió en una carta que describe un instrumento que involucra la proyección estereográfica: "Hiparco insinuó hace mucho tiempo el despliegue de una superficie esférica [en un plano], para mantener una proporción adecuada entre las proporciones dadas en las diferentes figuras, y de hecho, fue el primero en dedicarse a este tema. Yo, sin embargo (si no es presuntuoso hacer una afirmación tan grande), lo he seguido hasta el final y lo he perfeccionado, aunque durante la mayor parte del tiempo transcurrido. El problema había sido descuidado, porque el gran Ptolomeo y el grupo divino de sus sucesores se contentaron con hacer de él sólo el uso suficiente para el reloj nocturno por medio de las dieciséis estrellas, que fueron las únicas que Hiparco reorganizó y entró. en su instrumento." Traducción de Dicks, DR (1960). Los fragmentos geográficos de Hiparco . Universidad de Londres, Athlone Press, fragmento 63 págs. 102-103.
   Dicks concluye (comentario sobre el fragmento 63, págs. 194-207): "El hecho de que la evidencia de Sinesio pueda aceptarse en su valor nominal depende de la opinión que se adopte sobre la fuerza de las objeciones planteadas anteriormente. En general, parecería que se ha exagerado mucho el valor de su testimonio y no se ha subrayado suficientemente su carácter insatisfactorio en muchos puntos. En cualquier caso, el "instrumento" que envió a Peonio era o un reloj astrolábico modificado del tipo de Vitruvio o un simple mapa celeste, y "No es un astrolabio planisférico. Además, según la evidencia disponible, en mi opinión, no estamos justificados para atribuir a Hiparco un conocimiento de la proyección estereográfica o del astrolabio planisférico."
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6. Según (Snyder 1993), aunque reconoce que no lo vio personalmente
7. Snyder (1989).
8. Brown, Lloyd Arnold: La historia de los mapas, p.59.
9. Según (Elkins, 1988), quien hace referencia a Eckert, "Die Kartenwissenschaft", Berlín 1921, págs. 121-123.
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11. Timoteo Feeman. 2002. "Retratos de la Tierra: un matemático mira mapas". Sociedad Matemática Estadounidense.
12. Cfr. Apóstol (1974) pág. 17.
13. Gelfand, Minlos y Shapiro 1963
14. Cfr. Pedóe (1988).
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Fuentes

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enlaces externos

• Proyección estereográfica e inversión de Cut-the-Knot
• Paquete de enseñanza y aprendizaje DoITPoMS: "La proyección estereográfica"

Vídeos

• Prueba sobre Proyección Estereográfica llevando círculos en la esfera a círculos en el plano
• Proyección estereográfica a intervalos on Vimeo

Software

• Stereonet, una herramienta de software para geología estructural de Rick Allmendinger .
• PTCLab, el laboratorio de cristalografía de transformación de fases
• Sphaerica, herramienta de software para la construcción de regla y compás en la esfera, incluida una opción de visualización de proyección estereográfica
• Estereografica Web, una aplicación web para proyección estereográfica en geología estructural y cinemática de fallas de Ernesto Cristallini.