En relatividad general matemática , la desigualdad de Penrose , conjeturada por primera vez por Sir Roger Penrose , estima la masa de un espacio-tiempo en términos del área total de sus agujeros negros y es una generalización del teorema de masa positiva . La desigualdad de Riemann de Penrose es un caso especial importante. Específicamente, si ( M , g ) es una 3-variedad de Riemann asintóticamente plana con curvatura escalar no negativa y masa ADM m , y A es el área de la superficie mínima más externa (posiblemente con múltiples componentes conectados ), entonces la desigualdad de Riemann de Penrose afirma
Esto es un hecho puramente geométrico y corresponde al caso de una subvariedad tridimensional completa, espacial y totalmente geodésica de un espacio-tiempo (3 + 1) dimensional. Esta subvariedad a menudo se denomina conjunto de datos iniciales simétricos en el tiempo para un espacio-tiempo. La condición de que ( M , g ) tenga curvatura escalar no negativa es equivalente a que el espacio-tiempo obedezca a la condición de energía dominante .
Esta desigualdad fue probada por primera vez por Gerhard Huisken y Tom Ilmanen en 1997 en el caso en que A es el área del componente más grande de la superficie mínima más externa. Su prueba se basó en la maquinaria de flujo de curvatura media inversa débilmente definida , que desarrollaron. En 1999, Hubert Bray dio la primera prueba completa de la desigualdad anterior utilizando un flujo conforme de métricas. Ambos artículos se publicaron en 2001.
El argumento físico original que llevó a Penrose a conjeturar tal desigualdad invocó el teorema del área de Hawking y la hipótesis de la censura cósmica .
Tanto la prueba de Bray como la de Huisken-Ilmanen de la desigualdad de Riemann de Penrose afirman que, según las hipótesis, si
entonces la variedad en cuestión es isométrica a una porción del espacio-tiempo de Schwarzschild fuera de su superficie mínima más externa, que es una esfera de radio de Schwarzschild .
De manera más general, Penrose conjeturó que una desigualdad como la anterior debería ser válida para subvariedades espaciales de espaciotiempos que no son necesariamente simétricas en el tiempo. En este caso, la curvatura escalar no negativa se reemplaza con la condición de energía dominante , y una posibilidad es reemplazar la condición de superficie mínima con una condición de horizonte aparente . Demostrar tal desigualdad sigue siendo un problema abierto en la relatividad general, llamado conjetura de Penrose.
