En los campos matemáticos de la geometría diferencial y el análisis geométrico , el flujo de curvatura media inversa (IMCF) es un flujo geométrico de subvariedades de una variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Se ha utilizado para demostrar un caso determinado de la desigualdad de Penrose de Riemann , que es de interés en la relatividad general .
Formalmente, dada una variedad pseudo-riemanniana ( M , g ) y una variedad suave S , un flujo de curvatura media inversa consiste en un intervalo abierto I y una función suave F de I × S en M tal que
donde H es el vector de curvatura media de la inmersión F ( t , ⋅) .
Si g es riemanniano, si S está cerrado con dim( M ) = dim( S ) + 1 , y si una inmersión suave dada f de S en M tiene una curvatura media que no es cero en ninguna parte, entonces existe un flujo de curvatura media inversa único cuyos "datos iniciales" son f . [1]
Un ejemplo simple de flujo de curvatura media inversa lo da una familia de hiperesferas redondas concéntricas en el espacio euclidiano . Si la dimensión de dicha esfera es n y su radio es r , entonces su curvatura media es norte/a . Como tal, dicha familia de esferas concéntricas forma un flujo de curvatura media inversa si y solo si
Así, una familia de hiperesferas redondas concéntricas forma un flujo de curvatura media inversa cuando los radios crecen exponencialmente.
En 1990, Claus Gerhardt demostró que esta situación es característica del caso más general de hipersuperficies lisas con forma de estrella y media-convexas del espacio euclidiano. En particular, para cualquier dato inicial de este tipo, el flujo de curvatura media inversa existe para todo tiempo positivo y consiste únicamente en hipersuperficies lisas con forma de estrella y media-convexas. Además, el área de la superficie crece exponencialmente y, después de un reescalado que fija el área de la superficie, las superficies convergen suavemente hacia una esfera redonda. Las estimaciones geométricas en el trabajo de Gerhardt se derivan del principio del máximo ; la redondez asintótica se convierte entonces en una consecuencia del teorema de Krylov-Safonov. Además, los métodos de Gerhardt se aplican simultáneamente a flujos de hipersuperficies basados en curvaturas más generales.
Como es típico de los flujos geométricos, las soluciones IMCF en situaciones más generales a menudo tienen singularidades de tiempo finito, lo que significa que a menudo no se puede tomar a I como de la forma ( a , ∞) . [2]
Siguiendo los trabajos seminales de Yun Gang Chen, Yoshikazu Giga y Shun'ichi Goto, y de Lawrence Evans y Joel Spruck sobre el flujo de curvatura media , Gerhard Huisken y Tom Ilmanen reemplazaron la ecuación IMCF, para hipersuperficies en una variedad de Riemann ( M , g ) , por la ecuación diferencial parcial elíptica
para una función de valor real u en M . Las soluciones débiles de esta ecuación se pueden especificar mediante un principio variacional . Huisken e Ilmanen demostraron que para cualquier variedad riemanniana suave completa y conexa ( M , g ) que sea asintóticamente plana o asintóticamente cónica, y para cualquier subconjunto precompacto y abierto U de M cuyo límite sea una subvariedad suave incrustada , existe una función Lipschitz propia y local u en M que es una solución débil positiva en el complemento de U y que no es positiva en U ; además, dicha función está unívocamente determinada en el complemento de U .
La idea es que, a medida que t aumenta, el límite de { x : u ( x ) < t } se mueve a través de las hipersuperficies que surgen en un flujo de curvatura media inversa, con la condición inicial dada por el límite de U . Sin embargo, la configuración elíptica y débil proporciona un contexto más amplio, ya que dichos límites pueden tener irregularidades y pueden saltar de manera discontinua, lo que es imposible en el flujo de curvatura media inversa habitual.
En el caso especial de que M sea tridimensional y g tenga una curvatura escalar no negativa , Huisken e Ilmanen demostraron que una cierta cantidad geométrica conocida como masa de Hawking puede definirse para el límite de { x : u ( x ) < t }, y es monótonamente no decreciente a medida que t aumenta. En el caso más simple de un flujo de curvatura media inversa suave, esto equivale a un cálculo local y fue demostrado en la década de 1970 por el físico Robert Geroch . En el contexto de Huisken e Ilmanen, es más no trivial debido a las posibles irregularidades y discontinuidades de las superficies involucradas.
Como consecuencia de la extensión de la monotonía de Geroch por parte de Huisken e Ilmanen, pudieron utilizar la masa de Hawking para interpolar entre el área de superficie de una superficie mínima "externa" y la masa ADM de una variedad riemanniana tridimensional asintóticamente plana de curvatura escalar no negativa. Esto resolvió un caso determinado de la desigualdad riemanniana de Penrose .
Un ejemplo simple de flujo de curvatura media inversa lo da una familia de hiperesferas redondas concéntricas en . La curvatura media de una esfera -dimensional de radio es .
Debido a la simetría rotacional de la esfera (o en general, debido a la invariancia de la curvatura media bajo isometrías ) la ecuación de flujo de curvatura media inversa se reduce a la ecuación diferencial ordinaria , para una esfera inicial de radio ,
La solución de esta EDO (obtenida, por ejemplo, por separación de variables ) es
