En el campo matemático de la geometría diferencial , un flujo geométrico , también llamado ecuación de evolución geométrica , es un tipo de ecuación diferencial parcial para un objeto geométrico como una métrica de Riemann o una incrustación . No es un término con un significado formal, pero normalmente se entiende que se refiere a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas .
Ciertos flujos geométricos surgen como el flujo gradiente asociado con un funcional en una variedad que tiene una interpretación geométrica, generalmente asociada con alguna curvatura extrínseca o intrínseca . Dichos flujos están fundamentalmente relacionados con el cálculo de variaciones , e incluyen el flujo de curvatura media y el flujo Yamabe .
Los flujos geométricos extrínsecos son flujos en subvariedades integradas o, más generalmente, en subvariedades sumergidas . En general cambian tanto la métrica de Riemann como la inmersión.
Los flujos geométricos intrínsecos son flujos en la métrica de Riemann , independientes de cualquier incrustación o inmersión.
Las clases importantes de flujos son los flujos de curvatura , los flujos variacionales (que extreman algunas funciones) y los flujos que surgen como soluciones a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas . Un flujo determinado admite con frecuencia todas estas interpretaciones, como sigue.
Dado un operador elíptico, la PDE parabólica produce un flujo, y los estados estacionarios del flujo son soluciones a la ecuación diferencial parcial elíptica.
Si la ecuación es la ecuación de Euler-Lagrange para algún funcional, entonces el flujo tiene una interpretación variacional ya que el gradiente de flujo y los estados estacionarios del flujo corresponden a puntos críticos del funcional.
En el contexto de los flujos geométricos, lo funcional suele ser la norma de cierta curvatura.
Por lo tanto, dada una curvatura, se puede definir el funcional que tiene la ecuación de Euler-Lagrange para algún operador elíptico y PDE parabólica asociada.
El flujo de Ricci , el flujo de Calabi y el flujo de Yamabe surgen de esta manera (en algunos casos con normalizaciones).
Los flujos de curvatura pueden preservar o no el volumen (el flujo de Calabi lo hace, mientras que el flujo de Ricci no), y si no, el flujo puede simplemente reducir o hacer crecer la variedad, en lugar de regularizar la métrica. Así, a menudo se normaliza el flujo, por ejemplo, fijando el volumen.
