Energía Willmore

Escultura "Willmore Surface" en la Universidad de Durham en memoria de Thomas Willmore

En geometría diferencial , la energía de Willmore es una medida cuantitativa de cuánto se desvía una superficie dada de una esfera redonda . Matemáticamente, la energía de Willmore de una superficie lisa y cerrada incrustada en un espacio euclidiano tridimensional se define como la integral del cuadrado de la curvatura media menos la curvatura gaussiana . Recibe su nombre en honor al geómetra inglés Thomas Willmore .

Definición

Expresada simbólicamente, la energía Willmore de S es:

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA}$

donde es la curvatura media , es la curvatura gaussiana y dA es la forma de área de S. Para una superficie cerrada, por el teorema de Gauss-Bonnet , la integral de la curvatura gaussiana se puede calcular en términos de la característica de Euler de la superficie, por lo que ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \chi (S)}$

${\displaystyle \int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),}$

que es un invariante topológico y, por lo tanto, independiente de la incrustación particular en la que se haya elegido. Por lo tanto, la energía de Willmore se puede expresar como ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)}$

Una fórmula alternativa, pero equivalente, es

${\displaystyle {\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA}$

donde y son las curvaturas principales de la superficie. ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$

Propiedades

La energía de Willmore es siempre mayor o igual a cero. Una esfera redonda tiene energía de Willmore cero.

La energía de Willmore puede considerarse una funcional en el espacio de incrustaciones de una superficie dada, en el sentido del cálculo de variaciones , y se puede variar la incrustación de una superficie, dejándola topológicamente inalterada.

Puntos críticos

Un problema básico en el cálculo de variaciones es encontrar los puntos críticos y mínimos de un funcional.

Para un espacio topológico dado, esto es equivalente a encontrar los puntos críticos de la función.

${\displaystyle \int _{S}H^{2}\,dA}$

ya que la característica de Euler es constante.

Se pueden encontrar mínimos (locales) para la energía de Willmore mediante el descenso del gradiente , lo que en este contexto se denomina flujo de Willmore.

Para las incrustaciones de la esfera en el espacio tridimensional, los puntos críticos se han clasificado: ^[1] son ​​todas transformadas conformes de superficies mínimas , la esfera redonda es la mínima y todos los demás valores críticos son números enteros mayores que 4. Se denominan superficies de Willmore. ${\displaystyle \pi }$

Flujo de Willmore

El flujo de Willmore es el flujo geométrico correspondiente a la energía de Willmore; es un flujo de gradiente - . ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A}$

donde H representa la curvatura media de la variedad . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Las líneas de flujo satisfacen la ecuación diferencial:

${\displaystyle \partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,}$

donde es un punto perteneciente a la superficie. ${\displaystyle x}$

Este flujo conduce a un problema de evolución en geometría diferencial : la superficie evoluciona en el tiempo para seguir las variaciones del descenso más pronunciado de la energía. Al igual que la difusión superficial, es un flujo de cuarto orden, ya que la variación de la energía contiene derivadas de cuarta clase. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Aplicaciones

• Las membranas celulares tienden a posicionarse de manera de minimizar la energía Willmore. ^[2]
• La energía de Willmore se utiliza para construir una clase de eversiones de esferas óptimas : las eversiones minimax .

Véase también

• Conjetura de Willmore

Notas

1. Bryant, Robert L. (1984), "Un teorema de dualidad para superficies de Willmore", Journal of Differential Geometry , 20 (1): 23–53, doi : 10.4310/jdg/1214438991 , MR  0772125.
2. Müller, Stefan; Röger, Matthias (mayo de 2014). "Estructuras confinadas de menor energía de flexión". Journal of Differential Geometry . 97 (1): 109–139. arXiv : 1308.2530 . doi : 10.4310/jdg/1404912105 .

Referencias

• Willmore, TJ (1992), "Un estudio sobre las inmersiones de Willmore", Geometría y topología de subvariedades, IV (Lovaina, 1991) , River Edge, NJ: World Scientific, págs. 11-16, MR  1185712.