Eversión de la esfera

Operación topológica de girar una esfera del revés sin arrugarla.

Una superficie de Morin vista desde "arriba"

Proceso de eversión de esfera como se describe en ^[1]

Eversión de la esfera de papel y superficie de Morin.

Superficie de papel Morin (eversión de la esfera hasta la mitad) con simetría hexagonal

En topología diferencial , la eversión de esfera es el proceso de girar una esfera al revés en un espacio tridimensional (la palabra eversión significa "dar la vuelta al revés"). Es posible girar una esfera de adentro hacia afuera de manera suave y continua de esta manera (permitiendo autointersecciones de la superficie de la esfera) sin cortarla, rasgarla ni crear ningún pliegue. Esto es sorprendente, tanto para los no matemáticos como para quienes entienden la homotopía regular , y puede considerarse como una paradoja verídica ; eso es algo que, si bien es cierto, a primera vista parece falso.

Más precisamente, dejemos

${\displaystyle f\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

ser la incrustación estándar ; entonces hay una homotopía regular de inmersiones

${\displaystyle f_{t}\colon S^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

tal que ƒ ₀  =  ƒ y ƒ ₁  = − ƒ .

Historia

Stephen Smale  (1957) creó por primera vez una prueba de existencia para la eversión de esfera sin arrugas. Es difícil visualizar un ejemplo particular de tal giro, aunque se han producido algunas animaciones digitales que lo hacen algo más fácil. El primer ejemplo se exhibió gracias al esfuerzo de varios matemáticos, entre ellos Arnold S. Shapiro y Bernard Morin , que era ciego. Por otro lado, es mucho más fácil demostrar que tal "giro" existe, y eso es lo que hizo Smale.

El asesor graduado de Smale, Raoul Bott, al principio le dijo a Smale que el resultado era obviamente incorrecto (Levy 1995). Su razonamiento fue que el grado del mapa de Gauss debe preservarse en tal "giro"; en particular, se deduce que no existe tal giro de S ¹ en R ² . Pero los grados del mapa de Gauss para las incrustaciones f y − f en R ³ son ambos iguales a 1 y no tienen signo opuesto como uno podría suponer incorrectamente. El grado del mapa de Gauss de todas las inmersiones de S ² en R ³ es 1, por lo que no hay ningún obstáculo. El término "paradoja verídica" se aplica quizás más apropiadamente a este nivel: hasta el trabajo de Smale, no hubo ningún intento documentado de argumentar a favor o en contra de la eversión de S ² , y los esfuerzos posteriores son en retrospectiva, por lo que nunca hubo una paradoja histórica asociada con eversión de esfera, sólo una apreciación de las sutilezas al visualizarla por parte de quienes confrontan la idea por primera vez.

Consulte el principio h para obtener más generalizaciones.

Prueba

La prueba original de Smale fue indirecta: identificó clases (homotopía regular) de inmersiones de esferas con un grupo de homotopía de la variedad Stiefel . Dado que el grupo de homotopía que corresponde a las inmersiones de adentro desaparece, la incrustación estándar y la de adentro hacia afuera deben ser homotópicas regulares. En principio, la prueba puede desenrollarse para producir una homotopía regular explícita, pero esto no es fácil de hacer. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Hay varias formas de producir ejemplos explícitos y visualización matemática :

Eversión de esfera minimax; consulte la página Wikimedia Commons del vídeo para obtener una descripción del contenido del vídeo.

• Modelos intermedios : consisten en homotopías muy especiales. Este es el método original, realizado por primera vez por Shapiro y Phillips a través de la superficie de Boy , y posteriormente perfeccionado por muchos otros. Las homotopías originales del modelo intermedio se construyeron a mano y funcionaron topológicamente, pero no fueron mínimas. La película creada por Nelson Max durante un período de siete años y basada en los modelos de alambre de gallinero de Charles Pugh (posteriormente robados del Departamento de Matemáticas de Berkeley), fue un "tour de force" gráfico por computadora para su época, y ambientó la referencia de la animación por ordenador durante muchos años. Un refinamiento gráfico más reciente y definitivo (década de 1980) son las eversiones minimax , que son un método variacional , y consisten en homotopías especiales (son caminos más cortos con respecto a la energía de Willmore ). A su vez, comprender el comportamiento de la energía de Willmore requiere comprender las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales de cuarto orden, por lo que las imágenes visualmente bellas y evocadoras desmienten algunas matemáticas muy profundas más allá de la prueba abstracta original de Smale.

Eversión de esfera mediante corrugaciones de Thurston; consulte la página Wikimedia Commons del vídeo para obtener una descripción del contenido del vídeo.

• Corrugaciones de Thurston : este es un método topológico y genérico; toma una homotopía y la perturba para que se convierta en una homotopía regular. Esto se ilustra en la animación gráfica por computadora Outside In desarrollada en el Centro de Geometría bajo la dirección de Silvio Levy, Delle Maxwell y Tamara Munzner . ^[2]
• Combinando los métodos anteriores, la eversión completa de la esfera se puede describir mediante un conjunto de ecuaciones cerradas que dan una complejidad topológica mínima ^[1]

Variaciones

• Una esfera de seis dimensiones en un espacio euclidiano de siete dimensiones admite eversión. ^[3] Con un caso evidente de una esfera de dimensión 0 (dos puntos distintos) en una línea real y el caso descrito anteriormente de una esfera bidimensional, solo hay tres casos en los que una esfera incrustada en el espacio euclidiano admite eversión. ${\displaystyle S^{6}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{7}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Galería de pasos de eversión.

Modelo abierto con cordón de nailon.

Ver también

• Teorema de Whitney-Graustein

Referencias

1. Bednorz, Adán; Bednorz, Witold (2019). "Eversión de esfera analítica mediante superficies regladas". Geometría Diferencial y sus Aplicaciones . 64 : 59–79. arXiv : 1711.10466 . doi :10.1016/j.difgeo.2019.02.004. S2CID  119687494.
2. "De afuera hacia adentro: Introducción". El Centro de Geometría . Consultado el 21 de junio de 2017 .
3. Goryunov, Víctor V. (1997). "Invariantes locales de asignaciones de superficies en tres espacios". Los seminarios matemáticos Arnold-Gelfand . Boston, Massachusetts: Birkhäuser. págs. 223–255. ISBN 0-8176-3883-0.

Bibliografía

• Iain R. Aitchison (2010) El 'Holiverse': eversión holística de las 2 esferas en R^3, preimpresión. arXiv:1008.0916.
• John B. Etnyre (2004) Revisión de "principios h y flexibilidad en geometría", SEÑOR 1982875.
• Francis, George K. (2007), Un libro ilustrado topológico , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-34542-0, señor  2265679
• George K. Francis y Bernard Morin (1980) "La eversión de la esfera de Arnold Shapiro", Mathematical Intelligencer 2(4):200–3.
• Levy, Silvio (1995), "Una breve historia de las eversiones de esfera", Haciendo olas , Wellesley, MA: AK Peters Ltd., ISBN 978-1-56881-049-2, señor  1357900
• Max, Nelson (1977) "Turning a Sphere Inside Out", https://www.crcpress.com/Turning-a-Sphere-Inside-Out-DVD/Max/9781466553941 Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
• Anthony Phillips (mayo de 1966) "Dar la vuelta a una superficie", Scientific American , págs.
• Smale, Stephen (1958), "Una clasificación de inmersiones de las dos esferas", Transactions of the American Mathematical Society , 90 (2): 281–290, doi : 10.2307/1993205 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1993205, SEÑOR  0104227

enlaces externos

• Una historia de las eversiones de esferas Archivado el 11 de julio de 2020 en la Wayback Machine.
• "Dar la vuelta a una esfera"
• Software para visualizar la eversión de la esfera.
• Visualización matemática: topología. La eversión de la esfera holiverse (animación Povray)
• La eversión de la esfera deNeve/Hills: vídeo y modelo interactivo
• Proyecto de Patrick Massot para formalizar la demostración en el Lean Theorem Prover
• Una exploración interactiva del método de eversión de esfera de Adam Bednorz y Witold Bednorz
• De afuera hacia adentro: un video de exploración de la eversión de la esfera, creado por el Centro de Geometría de la Universidad de Minnesota .