Mapa armónico

En el campo matemático de la geometría diferencial , una función suave entre variedades de Riemann se denomina armónica si sus representantes de coordenadas satisfacen una cierta ecuación diferencial parcial no lineal . Esta ecuación diferencial parcial para una función también surge como la ecuación de Euler-Lagrange de una funcional llamada energía de Dirichlet . Como tal, la teoría de funciones armónicas contiene tanto la teoría de geodésicas de velocidad unitaria en geometría de Riemann como la teoría de funciones armónicas .

De manera informal, la energía de Dirichlet de una aplicación f de una variedad riemanniana M a una variedad riemanniana N puede considerarse como la cantidad total que f estira M al asignar cada uno de sus elementos a un punto de N. Por ejemplo, una banda de goma sin estirar y una piedra lisa pueden verse naturalmente como variedades riemannianas. Cualquier forma de estirar la banda de goma sobre la piedra puede verse como una aplicación entre estas variedades, y la tensión total involucrada está representada por la energía de Dirichlet. La armonicidad de tal aplicación significa que, dada cualquier forma hipotética de deformar físicamente el estiramiento dado, la tensión (cuando se considera como una función del tiempo) tiene una primera derivada igual a cero cuando comienza la deformación.

La teoría de los mapas armónicos fue iniciada en 1964 por James Eells y Joseph Sampson , quienes demostraron que en ciertos contextos geométricos, los mapas arbitrarios podían deformarse en mapas armónicos. ^[1] Su trabajo fue la inspiración para el trabajo inicial de Richard Hamilton sobre el flujo de Ricci . Los mapas armónicos y el flujo de calor asociado al mapa armónico , en sí mismos, se encuentran entre los temas más estudiados en el campo del análisis geométrico .

El descubrimiento del "burbujeo" de secuencias de mapas armónicos, debido a Jonathan Sacks y Karen Uhlenbeck , ^[2] ha sido particularmente influyente, ya que su análisis se ha adaptado a muchos otros contextos geométricos. En particular, el descubrimiento paralelo de Uhlenbeck del burbujeo de los campos de Yang-Mills es importante en el trabajo de Simon Donaldson sobre variedades de cuatro dimensiones, y el descubrimiento posterior de Mikhael Gromov del burbujeo de curvas pseudoholomórficas es significativo en aplicaciones a la geometría simpléctica y la cohomología cuántica . Las técnicas utilizadas por Richard Schoen y Uhlenbeck para estudiar la teoría de la regularidad de los mapas armónicos han sido asimismo la inspiración para el desarrollo de muchos métodos analíticos en el análisis geométrico. ^[3]

Geometría de aplicaciones entre variedades

Aquí se considera la geometría de una aplicación suave entre variedades de Riemann mediante coordenadas locales y, equivalentemente, mediante álgebra lineal . Una aplicación de este tipo define tanto una primera forma fundamental como una segunda forma fundamental. El laplaciano (también llamado campo de tensión ) se define mediante la segunda forma fundamental, y su anulación es la condición para que la aplicación sea armónica . Las definiciones se extienden sin modificaciones al contexto de las variedades pseudo-riemannianas .

Coordenadas locales

Sea U un subconjunto abierto de ℝ m y sea V un subconjunto abierto de ℝ ⁿ . Para cada i y j entre 1 y n , sea g _ij una función de valor real suave en U , tal que para cada p en U , se tiene que la matriz m × m [ g _ij ( p )] es simétrica y definida positiva . Para cada α y β entre 1 y m , sea h _αβ una función de valor real suave en V , tal que para cada q en V , se tiene que la matriz n × n [ h _αβ ( q )] es simétrica y definida positiva. Denotemos las matrices inversas por [ g ^ij ( p )] y [ h ^αβ ( q )] .

Para cada i , j , k entre 1 y n y cada α , β , γ entre 1 y m se definen los símbolos de Christoffel Γ( g ) ^k _ij  : U → ℝ y Γ( h ) ^γ _αβ  : V → ℝ por ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (g)_{ij}^{k}&={\frac {1}{2}}\sum _{\ell =1}^{m}g^{k\ell }{\Big (}{\frac {\partial g_{j\ell }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{i\ell }}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{\ell }}}{\Big )}\\\Gamma (h)_{\alpha \beta }^{\gamma }&={\frac {1}{2}}\sum _{\delta =1}^{n}h^{\gamma \delta }{\Big (}{\frac {\partial h_{\beta \delta }}{\partial y^{\alpha }}}+{\frac {\partial h_{\alpha \delta }}{\partial y^{\beta }}}-{\frac {\partial h_{\alpha \beta }}{\partial y^{\delta }}}{\Big )}\end{aligned}}}$

Dado un mapa suave f de U a V , su segunda forma fundamental define para cada i y j entre 1 y m y para cada α entre 1 y n la función de valor real ∇( df ) ^α _ij en U por ^[5]

${\displaystyle \nabla (df)_{ij}^{\alpha }={\frac {\partial ^{2}f^{\alpha }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-\sum _{k=1}^{m}\Gamma (g)_{ij}^{k}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{k}}}+\sum _{\beta =1}^{n}\sum _{\gamma =1}^{n}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\gamma }}{\partial x^{j}}}\Gamma (h)_{\beta \gamma }^{\alpha }\circ f.}$

Su laplaciano define para cada α entre 1 y n la función de valor real (∆ f ) ^α en U por ^[6]

${\displaystyle (\Delta f)^{\alpha }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}\nabla (df)_{ij}^{\alpha }.}$

Formalismo de paquetes

Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades de Riemann . Dado un fibrado suave f de M a N , se puede considerar su diferencial df como una sección del fibrado vectorial T ^* M ⊗ f ^* TN sobre M ; esto es decir que para cada p en M , se tiene un fibrado lineal df _p entre espacios tangentes T _p M → T _f(p) N . ^[7] El fibrado vectorial T ^* M ⊗ f ^* TN tiene una conexión inducida a partir de las conexiones de Levi-Civita en M y N . ^[8] Por lo tanto, se puede tomar la derivada covariante ∇( df ) , que es una sección del fibrado vectorial T ^* M ⊗ T ^* M ⊗ f ^* TN sobre M ; esto quiere decir que para cada p en M , se tiene una función bilineal (∇( df )) _p de espacios tangentes T _p M × T _p M → T _f(p) N . ^[9] Esta sección se conoce como la hessiana de f .

Usando g , se puede trazar el hessiano de f para llegar al laplaciano de f , que es una sección del fibrado f ^* TN sobre M ; esto dice que el laplaciano de f asigna a cada p en M un elemento del espacio tangente T _{f ( p )} N . ^[10] Por la definición del operador de traza, el laplaciano puede escribirse como

${\displaystyle (\Delta f)_{p}=\sum _{i=1}^{m}{\big (}\nabla (df){\big )}_{p}(e_{i},e_{i})}$

donde e ₁ , ..., e _m es cualquier base g _p -ortonormal de T _p M .

Energía de Dirichlet y sus fórmulas de variación

Desde la perspectiva de las coordenadas locales, como se indica anteriormente, la densidad de energía de una función f es la función de valor real en U dada por ^[11]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}\sum _{\alpha =1}^{n}\sum _{\beta =1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial f^{\beta }}{\partial x^{j}}}(h_{\alpha \beta }\circ f).}$

Alternativamente, en el formalismo de paquete, las métricas de Riemann en M y N inducen una métrica de paquete en T ^* M ⊗ f ^* TN , y por lo tanto se puede definir la densidad de energía como la función suave ⁠1/2⁠ | df | ² en M . ^[12] También es posible considerar la densidad de energía como dada por (la mitad de) la traza g de la primera forma fundamental. ^[13] Independientemente de la perspectiva adoptada, la densidad de energía e ( f ) es una función en M que es suave y no negativa. Si M está orientado y M es compacto, la energía de Dirichlet de f se define como

${\displaystyle E(f)=\int _{M}e(f)\,d\mu _{g}}$

donde dμ _g es la forma de volumen en M inducida por g . ^[14] Dado que cualquier función medible no negativa tiene una integral de Lebesgue bien definida , no es necesario colocar la restricción de que M sea compacto; sin embargo, entonces la energía de Dirichlet podría ser infinita.

Las fórmulas de variación para la energía de Dirichlet calculan las derivadas de la energía de Dirichlet E ( f ) a medida que se deforma la función f . Para ello, considérese una familia de funciones de un parámetro f _s  : M → N con f ₀ = f para la que existe un conjunto abierto precompacto K de M tal que f _s | _{M − K} = f | _{M − K} para todo s ; se supone que la familia parametrizada es suave en el sentido de que la función asociada (−ε, ε) × M → N dada por ( s , p ) ↦ f _s ( p ) es suave.

• La primera fórmula de variación dice que ^[15]

${\displaystyle \int _{M}{\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}e(f_{s})\,d\mu _{g}=-\int _{M}h\left({\frac {\partial }{\partial s}}{\Big |}_{s=0}f_{s},\Delta f\right)\,d\mu _{g}}$

Existe también una versión para variedades con borde. ^[16]

• También existe una segunda fórmula de variación. ^[17]

Debido a la fórmula de primera variación, el Laplaciano de f puede considerarse como el gradiente de la energía de Dirichlet; correspondientemente, un mapa armónico es un punto crítico de la energía de Dirichlet. ^[18] Esto puede hacerse formalmente en el lenguaje del análisis global y las variedades de Banach .

Ejemplos de mapas armónicos

Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades riemannianas suaves. La notación g _stan se utiliza para referirse a la métrica riemanniana estándar en el espacio euclidiano.

• Toda función totalmente geodésica ( M , g ) → ( N , h ) es armónica; esto se desprende directamente de las definiciones anteriores. Como casos especiales:
  • Para cualquier q en N , el mapa constante ( M , g ) → ( N , h ) valorado en q es armónico.
  • El mapa identidad ( M , g ) → ( M , g ) es armónico.
• Si f  : M → N es una inmersión , entonces f  : ( M , f ^* h ) → ( N , h ) es armónica si y solo si f es mínima con respecto a h . Como caso especial:
  • Si f  : ℝ → ( N , h ) es una inmersión de velocidad constante, entonces f  : (ℝ, g _stan ) → ( N , h ) es armónica si y solo si f resuelve la ecuación diferencial geodésica .

Recordemos que si M es unidimensional, entonces la minimalidad de f es equivalente a que f sea geodésica, aunque esto no implica que sea una parametrización de velocidad constante y, por lo tanto, no implica que f resuelva la ecuación diferencial geodésica.

• Una función suave f  : ( M , g ) → (ℝ ⁿ , g _stan ) es armónica si y solo si cada una de sus n funciones componentes son armónicas como funciones ( M , g ) → (ℝ, g _stan ) . Esto coincide con la noción de armonicidad proporcionada por el operador de Laplace-Beltrami .
• Toda función holomorfa entre variedades de Kähler es armónica.
• Todo morfismo armónico entre variedades de Riemann es armónico.

Flujo de calor del mapa armónico

Buena postura

Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades riemannianas suaves. Un flujo de calor armónico en un intervalo ( a , b ) asigna a cada t en ( a , b ) una función dos veces diferenciable f _t  : M → N de tal manera que, para cada p en M , la función ( a , b ) → N dada por t ↦ f _t ( p ) es diferenciable, y su derivada en un valor dado de t es, como un vector en T _{f t ( p )} N , igual a (∆ f _t ) _p . Esto se suele abreviar como:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=\Delta f.}$

Eells y Sampson introdujeron el flujo de calor del mapa armónico y demostraron las siguientes propiedades fundamentales:

• Regularidad. Cualquier flujo de calor de un mapa armónico es suave como un mapa ( a , b ) × M → N dado por ( t , p ) ↦ f _t ( p ) .

Supongamos ahora que M es una variedad cerrada y ( N , h ) es geodésicamente completa.

• Existencia. Dado un mapa continuamente diferenciable f de M a N , existe un número positivo T y un flujo de calor armónico f _t en el intervalo (0, T ) tal que f _t converge a f en la topología C ¹ a medida que t disminuye a 0. ^[19]
• Unicidad. Si { f _t  : 0 < t < T } y { f _t  : 0 < t < T } son dos flujos de calor de mapas armónicos como en el teorema de existencia, entonces f _t = f _t siempre que 0 < t < min( T , T ) .

Como consecuencia del teorema de unicidad, existe un flujo de calor de mapa armónico máximo con datos iniciales f , lo que significa que se tiene un flujo de calor de mapa armónico { f _t  : 0 < t < T } como en el enunciado del teorema de existencia, y está definido de manera única bajo el criterio adicional de que T toma su valor máximo posible, que podría ser infinito.

Teorema de Eells y Sampson

El resultado principal del artículo de Eells y Sampson de 1964 es el siguiente: ^[1]

Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades de Riemann suaves y cerradas, y supongamos que la curvatura seccional de ( N , h ) no es positiva. Entonces, para cualquier función continuamente diferenciable f de M a N , la función armónica máxima de flujo de calor { f _t  : 0 < t < T } con datos iniciales f tiene T = ∞ , y a medida que t aumenta a ∞ , las funciones f _t convergen posteriormente en la topología C ^{∞ a una función armónica.}

En particular, esto demuestra que, bajo los supuestos de ( M , g ) y ( N , h ) , cada mapa continuo es homotópico a un mapa armónico. ^[1] La existencia misma de un mapa armónico en cada clase de homotopía, que se afirma implícitamente, es parte del resultado. Esto se demuestra construyendo una ecuación de calor y mostrando que para cualquier mapa como condición inicial, la solución existe para todo el tiempo y la solución subconverge uniformemente a un mapa armónico.

El resultado de Eells y Sampson fue adaptado por Richard Hamilton al contexto del problema de valor límite de Dirichlet , cuando M es en cambio compacto con un límite no vacío. ^[20]

Poco después del trabajo de Eells y Sampson, Philip Hartman extendió sus métodos para estudiar la unicidad de los mapas armónicos dentro de las clases de homotopía, mostrando además que la convergencia en el teorema de Eells−Sampson es fuerte, sin la necesidad de seleccionar una subsecuencia. ^[21] Es decir, si dos mapas están inicialmente cerca, la distancia entre las soluciones correspondientes a la ecuación de calor no aumenta en todo momento, por lo tanto: ^[22]

• el conjunto de mapas totalmente geodésicos en cada clase de homotopía está conectado por trayectorias;
• Todos los mapas armónicos minimizan la energía y son totalmente geodésicos.

^[23] señala que cada mapa de un producto en es homotópico a un mapa, de modo que el mapa es totalmente geodésico cuando se restringe a cada fibra. ${\displaystyle W\times M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Singularidades y soluciones débiles

Durante muchos años después del trabajo de Eells y Sampson, no estaba claro hasta qué punto era necesario el supuesto de curvatura seccional en ( N , h ) . Siguiendo el trabajo de Kung-Ching Chang, Wei-Yue Ding y Rugang Ye en 1992, se acepta ampliamente que no se puede esperar "normalmente" que el tiempo máximo de existencia de un flujo de calor de mapa armónico sea infinito. ^[24] Sus resultados sugieren firmemente que hay flujos de calor de mapa armónico con "explosión de tiempo finito" incluso cuando tanto ( M , g ) como ( N , h ) se toman como la esfera bidimensional con su métrica estándar. Dado que las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas son particularmente suaves cuando el dominio es bidimensional, el resultado de Chang−Ding−Ye se considera indicativo del carácter general del flujo.

Basándose en los trabajos fundamentales de Sacks y Uhlenbeck, Michael Struwe consideró el caso en el que no se hace ninguna suposición geométrica sobre ( N , h ) . En el caso de que M sea bidimensional, estableció la existencia incondicional y la unicidad de las soluciones débiles del flujo de calor del mapa armónico. ^[25] Además, descubrió que sus soluciones débiles son suaves a partir de un número finito de puntos del espacio-tiempo en los que se concentra la densidad de energía. En niveles microscópicos, el flujo cerca de estos puntos está modelado por una burbuja , es decir, un mapa armónico suave desde la esfera redonda de 2 dimensiones hasta el objetivo. Weiyue Ding y Gang Tian pudieron demostrar la cuantificación de la energía en tiempos singulares, lo que significa que la energía de Dirichlet de la solución débil de Struwe, en un tiempo singular, cae exactamente en la suma de las energías de Dirichlet totales de las burbujas correspondientes a las singularidades en ese momento. ^[26]

Struwe fue capaz posteriormente de adaptar sus métodos a dimensiones superiores, en el caso de que la variedad del dominio fuera el espacio euclidiano ; ^{[27] él y Yun Mei Chen también consideraron} variedades cerradas de dimensiones superiores . ^[28] Sus resultados consiguieron menos que en dimensiones inferiores, y sólo pudieron demostrar la existencia de soluciones débiles que son suaves en subconjuntos densos abiertos.

La fórmula de Bochner y la rigidez

El principal punto computacional en la prueba del teorema de Eells y Sampson es una adaptación de la fórmula de Bochner al contexto de un flujo de calor de mapa armónico { f _t  : 0 < t < T } . Esta fórmula dice ^[29]

${\displaystyle {\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}-\Delta ^{g}{\Big )}e(f)=-{\big |}\nabla (df){\big |}^{2}-{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}+\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.}$

Esto también es de interés para analizar mapas armónicos. Supongamos que f  : M → N es armónico; cualquier mapa armónico puede verse como una solución de flujo de calor del mapa armónico en constante in t , y por lo tanto se obtiene de la fórmula anterior que ^[30]

${\displaystyle \Delta ^{g}e(f)={\big |}\nabla (df){\big |}^{2}+{\big \langle }\operatorname {Ric} ^{g},f^{\ast }h{\big \rangle }_{g}-\operatorname {scal} ^{g}{\big (}f^{\ast }\operatorname {Rm} ^{h}{\big )}.}$

Si la curvatura de Ricci de g es positiva y la curvatura seccional de h no es positiva, entonces esto implica que ∆ e ( f ) no es negativo. Si M es cerrado, entonces la multiplicación por e ( f ) y una única integración por partes muestra que e ( f ) debe ser constante y, por lo tanto, cero; por lo tanto, f debe ser constante. ^[31] Richard Schoen y Shing-Tung Yau notaron que este razonamiento se puede extender a M no compacto haciendo uso del teorema de Yau que afirma que las funciones subarmónicas no negativas que están acotadas en L 2 deben ser constantes. ^[32] En resumen, de acuerdo con estos resultados, uno tiene:

Sean ( M , g ) y ( N , h ) variedades de Riemann suaves y completas, y sea f una función armónica de M a N . Supóngase que la curvatura de Ricci de g es positiva y la curvatura seccional de h no es positiva.

• Si M y N son ambos cerrados entonces f debe ser constante.
• Si N está cerrado y f tiene energía de Dirichlet finita, entonces debe ser constante.

En combinación con el teorema de Eells−Sampson, esto muestra (por ejemplo) que si ( M , g ) es una variedad riemanniana cerrada con curvatura de Ricci positiva y ( N , h ) es una variedad riemanniana cerrada con curvatura seccional no positiva, entonces cada mapa continuo de M a N es homotópico a una constante.

La idea general de deformar una función general en una función armónica, y luego mostrar que cualquier función armónica de este tipo debe ser automáticamente de una clase altamente restringida, ha encontrado muchas aplicaciones. Por ejemplo, Yum-Tong Siu encontró una importante versión analítica compleja de la fórmula de Bochner, afirmando que una función armónica entre variedades de Kähler debe ser holomorfa, siempre que la variedad objetivo tenga una curvatura negativa apropiada. ^[33] Como aplicación, al hacer uso del teorema de existencia de Eells−Sampson para funciones armónicas, pudo mostrar que si ( M , g ) y ( N , h ) son variedades de Kähler suaves y cerradas, y si la curvatura de ( N , h ) es apropiadamente negativa, entonces M y N deben ser biholomorfas o antibiholomorfas si son homotópicas entre sí; El biholomorfismo (o anti-biholomorfismo) es precisamente el mapa armónico producido como límite del flujo de calor del mapa armónico con datos iniciales dados por la homotopía. Mediante una formulación alternativa del mismo enfoque, Siu pudo demostrar una variante de la conjetura de Hodge aún no resuelta , aunque en el contexto restringido de la curvatura negativa.

Kevin Corlette encontró una extensión significativa de la fórmula de Bochner de Siu y la utilizó para demostrar nuevos teoremas de rigidez para redes en ciertos grupos de Lie . ^[34] Después de esto, Mikhael Gromov y Richard Schoen extendieron gran parte de la teoría de mapas armónicos para permitir que ( N , h ) sea reemplazado por un espacio métrico . ^[35] Mediante una extensión del teorema de Eells−Sampson junto con una extensión de la fórmula de Bochner de Siu–Corlette, pudieron demostrar nuevos teoremas de rigidez para redes.

Problemas y aplicaciones

• La existencia de resultados en mapas armónicos entre variedades tiene consecuencias sobre su curvatura .
• Una vez conocida la existencia, ¿cómo se puede construir explícitamente un mapa armónico? (Un método fructífero utiliza la teoría de twistores ).
• En física teórica , una teoría cuántica de campos cuya acción viene dada por la energía de Dirichlet se conoce como modelo sigma . En dicha teoría, los mapas armónicos corresponden a los instantones .
• Una de las ideas originales en los métodos de generación de cuadrículas para la dinámica de fluidos computacional y la física computacional fue utilizar mapeo conforme o armónico para generar cuadrículas regulares.

Una función entre variedades de Riemann es totalmente geodésica si, siempre que es una geodésica, la composición es una geodésica. ${\displaystyle u:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle \gamma :(a,b)\rightarrow M}$ ${\displaystyle u\circ \gamma }$

Mapas armónicos entre espacios métricos

La integral de energía se puede formular en un contexto más débil para funciones u  : M → N entre dos espacios métricos . El integrando de energía es, en cambio, una función de la forma

${\displaystyle e_{\epsilon }(u)(x)={\frac {\int _{M}d^{2}(u(x),u(y))\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}{\int _{M}d^{2}(x,y)\,d\mu _{x}^{\epsilon }(y)}}}$

en el cual μ^εx
_​es una familia de medidas asociadas a cada punto de M . ^[36]

Véase también

• Flujo geométrico

Referencias

Notas al pie

1. Eells y Sampson 1964, Sección 11A.
2. Sacks y Uhlenbeck 1981.
3. Schoen y Uhlenbeck 1982; Schoen y Uhlenbeck 1983.
4. Aubin 1998, pág. 6; Hélein 2002, pág. 6; Jost 2017, pág. 489; Lin y Wang 2008, pág. 2.
5. Aubin 1998, pág. 349; Eells y Lemaire 1978, pág. 9; Eells y Lemaire 1983, pág. 15; Hamilton 1975, pág. 4.
6. Aubin 1998, Definición 10.2; Eells y Lemaire 1978, pág. 9; Eells y Lemaire 1983, pág. 15; Eells y Sampson 1964, Sección 2B; Hamilton 1975, pág. 4; Lin y Wang 2008, pág. 3.
7. Eells y Lemaire 1978, pág. 8; Eells y Lemaire 1983, pág. 13; Hamilton 1975, pág. 3.
8. Eells y Lemaire 1983, pág.4.
9. Eells y Lemaire 1978, pág. 8; Eells y Sampson 1964, Sección 3B; Hamilton 1975, pág. 4.
10. Eells y Lemaire 1978, pág. 9; Hamilton 1975, pág. 4; Jost 2017, pág. 494.
11. Aubin 1998, Definición 10.1; Eells y Lemaire 1978, p.10; Eells y Lemaire 1983, p.13; Hélein 2002, p.7; Jost 2017, p.489; Lin y Wang 2008, p.1; Schoen y Yau 1997, p.1.
12. Eells y Lemaire 1978, pág. 10; Eells y Lemaire 1983, pág. 13; Jost 2017, págs. 490-491.
13. Aubin 1998, Definición 10.1; Eells y Lemaire 1978, pág. 10; Eells y Lemaire 1983, pág. 13; Eells y Sampson 1964, Sección 1A; Jost 2017, págs. 490-491; Schoen y Yau 1997, pág. 1.
14. Aubin 1998, Definición 10.1; Eells y Lemaire 1978, p.10; Eells y Lemaire 1983, p.13; Eells y Sampson 1964, Sección 1A; Hélein 2002, p.7; Jost 2017, p.491; Lin y Wang 2008, p.1; Schoen y Yau 1997, p.2.
15. Aubin 1998, Proposición 10.2; Eells y Lemaire 1978, p.11; Eells y Lemaire 1983, p.14; Eells y Sampson 1964, Sección 2B; Jost 2017, Fórmula 9.1.13.
16. Hamilton 1975, pág.135.
17. Eells y Lemaire 1978, p.10; Eells y Lemaire 1983, p.28; Lin y Wang 2008, Proposición 1.6.2.
18. Aubin 1998, Definición 10.3; Eells y Lemaire 1978, pág. 11; Eells y Lemaire 1983, pág. 14.
19. Esto significa que, en relación con cualquier gráfico de coordenadas local, se tiene convergencia uniforme en conjuntos compactos de las funciones y sus primeras derivadas parciales.
20. Hamilton 1975, págs. 157-161.
21. Hartman 1967, Teorema B.
22. Dibble, James (junio de 2019). «Mapas totalmente geodésicos en variedades sin puntos focales». Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 51 (3): 443–458. arXiv : 1807.08236 . doi :10.1112/blms.12241. ISSN  0024-6093.
23. Cao, Jianguo; Cheeger, Jeff; Rong, Xiaochun (enero de 2004). "Estructuras de división local en variedades de curvatura no positiva y semirrigidez en dimensión 3". Comunicaciones en análisis y geometría . 12 (1): 389–415. doi :10.4310/CAG.2004.v12.n1.a17. ISSN  1944-9992.
24. Chang, Ding y Ye 1992; Lin y Wang 2008, Sección 6.3.
25. Struwe 1985.
26. Ding y Tian 1995.
27. Struwe 1988.
28. Chen y Struwe 1989.
29. Eells y Sampson 1964, Sección 8A; Hamilton 1975, p.128-130; Lin y Wang 2008, Lema 5.3.3.
30. Aubin 1998, Lema 10.11; Eells y Sampson 1964, Sección 3C; Jost 1997, Fórmula 5.1.18; Jost 2017, Fórmula 9.2.13; Lin y Wang 2008, Teorema 1.5.1.
31. Aubin 1998, Corolario 10.12; Eells y Sampson 1964, Sección 3C; Jost 1997, Teorema 5.1.2; Jost 2017, Corolario 9.2.3; Lin y Wang 2008, Proposición 1.5.2.
32. Schoen y Yau 1976, págs. 336-337.
33. Siu 1980.
34. Corlette 1992.
35. Gromov y Schoen 1992.
36. Jost 1994, Definición 1.1.

Artículos

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• Chen, Yun Mei; Struwe, Michael (1989). "Resultados de existencia y regularidad parcial del flujo de calor para mapas armónicos". Mathematische Zeitschrift . 201 (1): 83-103. doi :10.1007/BF01161997. SEÑOR  0990191. S2CID  11210055. Zbl  0652.58024.
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Enlaces externos

• MathWorld: Mapa armónico
• Bibliografía de mapas armónicos
• La bibliografía de los morfismos armónicos