Sea un punto en la superficie dentro del espacio euclidiano tridimensional R 3 . Cada plano que contiene la línea normal corta en una curva (plana). Fijar una elección de unidad normal le da una curvatura con signo a esa curva. A medida que el plano gira en un ángulo (que siempre contiene la línea normal), esa curvatura puede variar. La curvatura máxima y la curvatura mínima se conocen como curvaturas principales de .
La curvatura media en es entonces el promedio de la curvatura con signo en todos los ángulos :
.
Aplicando el teorema de Euler , esto es igual al promedio de las curvaturas principales (Spivak 1999, Volumen 3, Capítulo 2):
De manera más general (Spivak 1999, Volumen 4, Capítulo 7), para una hipersuperficie la curvatura media se da como
La esfera es la única superficie incrustada de curvatura media positiva constante sin límites ni singularidades. Sin embargo, el resultado no es cierto cuando la condición "superficie incrustada" se debilita a "superficie sumergida". [3]
Superficies en el espacio 3D
Para una superficie definida en el espacio 3D, la curvatura media está relacionada con una unidad normal de la superficie:
donde la normal elegida afecta el signo de la curvatura. El signo de la curvatura depende de la elección de la normal: la curvatura es positiva si la superficie se curva "hacia" la normal. La fórmula anterior es válida para superficies en el espacio 3D definidas de cualquier manera, siempre que se pueda calcular la divergencia de la normal unitaria. También se puede calcular la curvatura media.
donde I y II denotan matrices de forma cuadrática primera y segunda, respectivamente.
Si es una parametrización de la superficie y hay dos vectores linealmente independientes en el espacio de parámetros, entonces la curvatura media se puede escribir en términos de la primera y segunda forma fundamental como
[4]
Para el caso especial de una superficie definida como función de dos coordenadas, por ejemplo , y utilizando la normal que apunta hacia arriba, la expresión de curvatura media (duplicada) es
En particular, en un punto donde la curvatura media es la mitad de la traza de la matriz de Hesse .
Si además se sabe que la superficie es simétrica con ,
de donde proviene la derivada de .
Forma implícita de curvatura media.
La curvatura media de una superficie especificada por una ecuación se puede calcular utilizando el gradiente y la matriz de Hesse.
La curvatura media viene dada por: [5] [6]
Otra forma es la divergencia de la normal unitaria. Una unidad normal está dada por y la curvatura media es
Curvatura media en mecánica de fluidos.
Ocasionalmente se utiliza una definición alternativa en mecánica de fluidos para evitar factores de dos:
.
Esto da como resultado que la presión según la ecuación de Young-Laplace dentro de una gota esférica en equilibrio sea multiplicada por la tensión superficial ; las dos curvaturas son iguales al recíproco del radio de la gota
Una extensión de la idea de una superficie mínima son las superficies de curvatura media constante. Las superficies de curvatura media constante unitaria en el espacio hiperbólico se denominan superficies de Bryant . [7]
^ Lodder, J. (2003). "Curvatura en el plan de estudios de cálculo". El Mensual Matemático Estadounidense . 110 (7): 593–605. doi :10.2307/3647744. JSTOR 3647744.
^ Do Carmo, Manfredo (2016). Geometría diferencial de curvas y superficies (Segunda ed.). Dover. pag. 158.ISBN978-0-486-80699-0.
^ Goldman, R. (2005). "Fórmulas de curvatura para superficies y curvas implícitas". Diseño Geométrico Asistido por Computadora . 22 (7): 632–658. doi :10.1016/j.cagd.2005.06.005.
^ Spivak, M (1975). Una introducción completa a la geometría diferencial . vol. 3. Publicar o perecer, Boston.
^ Rosenberg, Harold (2002), "Superficies de Bryant", La teoría global de superficies mínimas en espacios planos (Martina Franca, 1999), Lecture Notes in Math., vol. 1775, Berlín: Springer, págs. 67–111, doi :10.1007/978-3-540-45609-4_3, ISBN978-3-540-43120-6, SEÑOR 1901614.
Referencias
Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial (volúmenes 3-4) (3.ª ed.), Publish or Perish Press, ISBN 978-0-914098-72-0, (Volumen 3), (Volumen 4).
P. Grinfeld (2014). Introducción al análisis tensorial y al cálculo de superficies en movimiento . Saltador. ISBN 978-1-4614-7866-9.