Espacio hiperbólico

Geometría no euclidiana

Una proyección en perspectiva de una teselación dodecaédrica en H 3 .
Cuatro dodecaedros se encuentran en cada arista y ocho en cada vértice, como los cubos de un teselado cúbico en E ^{3 .}

En matemáticas , el espacio hiperbólico de dimensión n es la única variedad de Riemann n-dimensional, simplemente conectada , de curvatura seccional constante igual a -1. Es homogéneo y satisface la propiedad más fuerte de ser un espacio simétrico . Hay muchas formas de construirlo como un subconjunto abierto con una métrica de Riemann escrita explícitamente; Estas construcciones se denominan modelos. El espacio 2 hiperbólico, H ² , que fue el primer caso estudiado, también se llama plano hiperbólico . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

A veces también se le conoce como espacio de Lobachevsky o espacio de Bolyai-Lobachevsky por los nombres del autor que publicó por primera vez sobre el tema de la geometría hiperbólica . En ocasiones se añade el calificativo "real" para diferenciarlo de los espacios hiperbólicos complejos , los espacios hiperbólicos cuaterniónicos y el plano hiperbólico octonónico que son los otros espacios simétricos de curvatura negativa.

El espacio hiperbólico sirve como prototipo de un espacio hiperbólico de Gromov , que es una noción de largo alcance que incluye espacios geométricos diferenciales y espacios más combinatorios a través de un enfoque sintético de la curvatura negativa. Otra generalización es la noción de espacio CAT(-1) .

Definición formal y modelos.

Definición

El espacio hiperbólico de dimensiones o espacio hiperbólico , generalmente denotado como , es la única variedad de Riemann completa de dimensiones , simplemente conectada, con una curvatura seccional negativa constante igual a -1. La unicidad significa que dos variedades de Riemann cualesquiera que satisfagan estas propiedades son isométricas entre sí. Es una consecuencia del teorema de Killing-Hopf . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Modelos de espacio hiperbólico

Para demostrar la existencia de un espacio como el descrito anteriormente, se puede construirlo explícitamente, por ejemplo, como un subconjunto abierto de con una métrica de Riemann dada por una fórmula simple. Existen muchas construcciones o modelos de espacio hiperbólico, cada uno de ellos adecuado a diferentes aspectos de su estudio. Son isométricos entre sí según el párrafo anterior, y en cada caso se puede dar explícitamente una isometría explícita. Aquí hay una lista de los modelos más conocidos que se describen con más detalle en los artículos del mismo nombre: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Modelo de semiplano de Poincaré : este es el medio espacio superior con la métrica ${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0\}}$ ${\displaystyle {\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}}$
• Modelo de disco de Poincaré : es la unidad de bola con la métrica . La isometría del modelo del semiespacio se puede realizar mediante una homografía que envía un punto de la esfera unitaria al infinito. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 4{\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))^{2}}}}$
• Modelo hiperboloide : en contraste con los dos modelos anteriores, este realiza el espacio hiperbólico como isométricamente incrustado dentro del espacio de Minkowski -dimensional (que no es una variedad de Riemann sino más bien de Lorentz ). Más precisamente, observando la forma cuadrática de , su restricción a los espacios tangentes de la hoja superior del hiperboloide dada por son definitivamente positivos, por lo que le otorgan una métrica de Riemann que resulta ser de curvatura constante -1. La isometría de los modelos anteriores se puede realizar mediante proyección estereográfica desde el hiperboloide al plano , tomando el vértice desde el que proyectar para la pelota y un punto en el infinito del cono dentro del espacio proyectivo para el semiespacio. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle q(x)=-1}$ ${\displaystyle \{x_{n+1}=0\}}$ ${\displaystyle (0,\ldots ,0,1)}$ ${\displaystyle q(x)=0}$
• Modelo Beltrami-Klein : Este es otro modelo realizado sobre la bola unitaria de ; en lugar de darse como una métrica explícita, generalmente se presenta como se obtiene mediante el uso de una proyección estereográfica del modelo hiperboloide en el espacio de Minkowski a su plano tangente horizontal (es decir, ) desde el origen . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{n+1}=1}$ ${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$
• Espacio simétrico: El espacio hiperbólico se puede realizar como el espacio simétrico del grupo de Lie simple (el grupo de isometrías de forma cuadrática con determinante positivo); como conjunto, este último es el espacio lateral . La isometría del modelo hiperboloide es inmediata mediante la acción del componente conectado sobre el hiperboloide. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)/\mathrm {O} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$

Propiedades geométricas

Lineas paralelas

El espacio hiperbólico, desarrollado independientemente por Nikolai Lobachevsky , János Bolyai y Carl Friedrich Gauss , es un espacio geométrico análogo al espacio euclidiano , pero tal que ya no se supone que se cumpla el postulado de las paralelas de Euclides . En cambio, el postulado de las paralelas se reemplaza por la siguiente alternativa (en dos dimensiones):

• Dada cualquier línea L y un punto P que no esté en L , hay al menos dos líneas distintas que pasan por P y que no intersecan a L.

Entonces es un teorema que hay infinitas líneas de este tipo que pasan por P . Este axioma todavía no caracteriza unívocamente el plano hiperbólico hasta la isometría ; hay una constante adicional, la curvatura K < 0 , que debe especificarse. Sin embargo, lo caracteriza de manera única hasta la homotecia , es decir, hasta las biyecciones que solo cambian la noción de distancia en una constante general. Al elegir una escala de longitud apropiada, se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que K = −1 .

Incrustaciones euclidianas

El plano hiperbólico no puede integrarse isométricamente en el espacio tridimensional euclidiano mediante el teorema de Hilbert . Por otro lado, el teorema de incrustación de Nash implica que el n-espacio hiperbólico puede incrustarse isométricamente en algún espacio euclidiano de mayor dimensión (5 para el plano hiperbólico según el teorema de incrustación de Nash).

Cuando se integra isométricamente en un espacio euclidiano, cada punto de un espacio hiperbólico es un punto de silla .

Crecimiento del volumen y desigualdad isoperimétrica.

El volumen de las bolas en el espacio hiperbólico aumenta exponencialmente con respecto al radio de la bola en lugar de polinomialmente como en el espacio euclidiano. Es decir, si hay alguna bola de radio entonces : ${\displaystyle B(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathrm {Vol} (B(r))=\mathrm {Vol} (S^{n-1})\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}(t)dt}$$

esfera ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-1)}$

El espacio hiperbólico también satisface una desigualdad isoperimétrica lineal , es decir, existe una constante tal que cualquier disco incrustado cuyo límite tenga longitud tenga área como máximo . Esto contrasta con el espacio euclidiano donde la desigualdad isoperimétrica es cuadrática. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle i\cdot r}$

Otras propiedades métricas

Hay muchas más propiedades métricas del espacio hiperbólico que lo diferencian del espacio euclidiano. Algunos pueden generalizarse al entorno de los espacios hiperbólicos de Gromov, que es una generalización de la noción de curvatura negativa a espacios métricos generales utilizando sólo las propiedades de gran escala. Una noción más precisa es la de un espacio CAT(-1).

Colectores hiperbólicos

Toda variedad completa , conexa y simplemente conexa de curvatura negativa constante −1 es isométrica al espacio hiperbólico real H ⁿ . Como resultado, la cobertura universal de cualquier variedad cerrada M de curvatura negativa constante −1, es decir, una variedad hiperbólica , es H ⁿ . Por lo tanto, cada M puede escribirse como H ⁿ /Γ donde Γ es un grupo discreto de isometrías sin torsión en H ⁿ . Es decir, Γ es una red en SO + ( n ,1) .

Superficies de Riemann

Las superficies hiperbólicas bidimensionales también pueden entenderse según el lenguaje de las superficies de Riemann . Según el teorema de uniformización , toda superficie de Riemann es elíptica, parabólica o hiperbólica. La mayoría de las superficies hiperbólicas tienen un grupo fundamental no trivial π ₁ =Γ; los grupos que surgen de esta manera se conocen como grupos fucsianos . El espacio cociente H ²/Γ del semiplano superior módulo del grupo fundamental se conoce como modelo fucsiano de la superficie hiperbólica. El semiplano de Poincaré también es hiperbólico, pero simplemente conexo y no compacto . Es la cobertura universal de las otras superficies hiperbólicas.

La construcción análoga para superficies hiperbólicas tridimensionales es el modelo kleiniano .

Ver también

• La superficie de Dini
• 3 colectores hiperbólicos
• Poliedro ideal
• Teorema de rigidez de Mostow
• Fórmula Murakami-Yano
• Pseudosfera

Referencias

• Ratcliffe, John G., Fundamentos de variedades hiperbólicas , Nueva York, Berlín. Springer-Verlag, 1994.
• Reynolds, William F. (1993) "Geometría hiperbólica en un hiperboloide", American Mathematical Monthly 100:442–455.
• Wolf, Joseph A. Espacios de curvatura constante , 1967. Véase la página 67.