El panal cúbico o la celulación cúbica es la única teselación (o panal ) adecuada y regular que llena el espacio en el espacio tridimensional euclidiano formado por celdas cúbicas . Tiene 4 cubos alrededor de cada arista y 8 cubos alrededor de cada vértice. Su figura de vértice es un octaedro regular . Es un teselado autodual con símbolo de Schläfli {4,3,4}. John Horton Conway llamó a este panal cubille .
Un panal geométrico es un relleno espacial de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no queden espacios. Es un ejemplo del mosaico o teselado matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales generalmente se construyen en un espacio euclidiano ("plano") ordinario, como los panales uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como panales uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo finito uniforme se puede proyectar a su circunsfera para formar un panal uniforme en el espacio esférico.
Es parte de una familia multidimensional de panales de hipercubos , con símbolos de Schläfli de la forma {4,3,...,3,4}, comenzando con el mosaico cuadrado , {4,4} en el plano.
Es uno de los 28 panales uniformes que utilizan células poliédricas uniformes convexas .
Las redes cúbicas simples se pueden distorsionar en simetrías inferiores, representadas por sistemas cristalinos inferiores:
Existe una gran cantidad de coloraciones uniformes , derivadas de diferentes simetrías. Éstas incluyen:
El panal cúbico se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría. La forma de simetría más alta (hexagonal) se proyecta en un mosaico triangular . Una proyección de simetría cuadrada forma un mosaico cuadrado .
Está relacionado con el teseracto regular de 4 politopos , símbolo de Schläfli {4,3,3}, que existe en 4 espacios y solo tiene 3 cubos alrededor de cada borde. También está relacionado con el panal cúbico de orden 5 , símbolo de Schläfli {4,3,5}, del espacio hiperbólico con 5 cubos alrededor de cada borde.
Se encuentra en una secuencia de policoras y panales con figuras de vértices octaédricos .
Está en una secuencia de politopos regulares y panales con celdas cúbicas .
El panal cúbico tiene una simetría menor que un panal cúbico runcinado, con dos tamaños de cubos . Se puede construir una construcción de doble simetría colocando un cubo pequeño en cada cubo grande, lo que da como resultado un panal no uniforme con cubos , prismas cuadrados y trapezoprismas rectangulares (un cubo con simetría D 2d ). Su figura de vértice es una pirámide triangular con sus caras laterales aumentadas por tetraedros.
El panal resultante se puede alternar para producir otro panal no uniforme con tetraedros regulares , dos tipos de disfenoides tetragonales, pirámides triangulares y esfenoides. Su figura de vértice tiene simetría C 3v y tiene 26 caras triangulares, 39 aristas y 15 vértices.
El [4,3,4],
, el grupo Coxeter genera 15 permutaciones de teselados uniformes, 9 con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado. El panal cúbico expandido (también conocido como panal cúbico runcinado) es geométricamente idéntico al panal cúbico.
El [4,3 1,1 ],
, el grupo Coxeter genera 9 permutaciones de teselados uniformes, 4 con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado.
Este panal es uno de los cinco panales uniformes distintos [2] construidos por el grupo Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin :
El panal cúbico rectificado o la celulación cúbica rectificada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por octaedros y cuboctaedros en una proporción de 1:1, con una figura de vértice de prisma cuadrado .
John Horton Conway llama a este panal cuboctaedro , y a su dual, octaedro achatado .
El panal cúbico rectificado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Hay cuatro colores uniformes para las celdas de este panal con simetría reflectante, enumerados por su grupo Coxeter , el nombre de la construcción Wythoff y el diagrama de Coxeter a continuación.
Este panal se puede dividir en planos de mosaico trihexagonales , utilizando los centros hexagonales de los cuboctaedros, creando dos cúpulas triangulares . Este panal escaliforme está representado por el diagrama de Coxeter.
, y símbolo s 3 {2,6,3}, con simetría de notación coxeter [2 + ,6,3].
.Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando octaedros sobre cuboctaedros, lo que da como resultado un panal no uniforme con dos tipos de octaedros (octaedros regulares y antiprismas triangulares). La figura del vértice es un bifrutum cuadrado . La dual está compuesta por bipirámides cuadradas alargadas .
El panal cúbico truncado o la celulación cúbica truncada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por cubos truncados y octaedros en proporción 1:1, con una figura de vértice de pirámide cuadrada isósceles .
John Horton Conway llama a este panal cubille truncado , y a su piramidal dual .
El panal cúbico truncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Hay una segunda coloración uniforme por simetría reflexiva de los grupos de Coxeter , la segunda vista con celdas cúbicas truncadas de colores alternativamente.
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando octaedros sobre los cubos truncados, lo que da como resultado un panal no uniforme con dos tipos de octaedros (octaedros regulares y antiprismas triangulares) y dos tipos de tetraedros (disfenoides tetragonales y disfenoides digonales). La figura del vértice es una cúpula cuadrada de octakis.
El panal cúbico bitruncado es una teselación (o panal ) que llena el espacio en 3 espacios euclidianos formado por octaedros truncados (o, equivalentemente, cubos bitruncados ). Tiene cuatro octaedros truncados alrededor de cada vértice, en una figura de vértice tetragonal diefenide . Al estar compuesto íntegramente por octaedros truncados , es transitivo de células . También es transitivo de aristas , con 2 hexágonos y un cuadrado en cada arista, y transitivo de vértices . Es uno de los 28 panales uniformes .
John Horton Conway llama a este panal octaedro truncado en su lista de teselación arquitectónica y catóptrica , con su dual llamado tetraedro achatado , también llamado panal tetraédrico disfenoide . Aunque un tetraedro regular no puede teselar el espacio por sí solo, este dual tiene celdas de tetraedro diefenoides idénticas con caras de triángulo isósceles .
El panal cúbico bitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría. La forma de simetría más alta (hexagonal) se proyecta en un mosaico rombitrihexagonal no uniforme . Una proyección de simetría cuadrada forma dos mosaicos cuadrados truncados superpuestos , que se combinan como un mosaico cuadrado achaflanado .
La figura del vértice de este panal es un tetraedro disfenoide , y también es el tetraedro Goursat ( dominio fundamental ) del grupo Coxeter . Este panal tiene cuatro construcciones uniformes, teniendo las celdas octaédricas truncadas diferentes grupos de Coxeter y construcciones de Wythoff . Estas simetrías uniformes se pueden representar coloreando de forma diferente las celdas de cada construcción.
Las variantes no uniformes con simetría [4,3,4] y dos tipos de octaedros truncados se pueden duplicar colocando los dos tipos de octaedros truncados para producir un panal no uniforme con octaedros truncados y prismas hexagonales (como trapezoprismas ditrigonales). Su figura de vértice es una bipirámide triangular simétrica C 2v .
Este panal se puede alternar para producir otro panal no uniforme con icosaedros piritoédricos , octaedros (como antiprismas triangulares) y tetraedros (como esfenoides). Su figura de vértice tiene simetría C 2v y consta de 2 pentágonos , 4 rectángulos , 4 triángulos isósceles (divididos en dos conjuntos de 2) y 4 triángulos escalenos .
El panal cúbico bitruncado alternado o el panal cúbico bisnub no es uniforme, y la construcción de simetría más alta refleja una alternancia del panal cúbico bitruncado uniforme. Una construcción de menor simetría involucra icosaedros regulares emparejados con icosaedros dorados (con 8 triángulos equiláteros emparejados con 12 triángulos dorados). Hay tres construcciones a partir de tres diagramas de Coxeter relacionados :,
, y
. Estos tienen simetría [4,3 + ,4], [4,(3 1,1 ) + ] y [3 [4] ] + respectivamente. La primera y última simetría se pueden duplicar como [[4,3 + ,4]] y [[3 [4] ]] + .
Este panal está representado en los átomos de boro del cristal α-romboédrico . Los centros de los icosaedros están ubicados en las posiciones fcc de la red. [3]
El panal cúbico cantelado o la celulación cúbica cantelada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por rombicuboctaedros , cuboctaedros y cubos en una proporción de 1:1:3, con figura de vértice en cuña .
John Horton Conway llama a este panal trino 2-RCO , y a su octaedro achatado de doble cuarto .
El panal cúbico cantelado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Hay una segunda coloración uniforme por simetría reflexiva de los grupos de Coxeter , la segunda vista con células rombicuboctaédricas de colores alternativos.
Se puede realizar una construcción de doble simetría colocando cuboctaedros sobre rombicuboctaedros, lo que da como resultado el panal cúbico rectificado, tomando los huecos de antiprisma triangulares como octaedros regulares , pares de antiprismas cuadrados y diefenoides tetragonales de altura cero como componentes del cuboctaedro . Otras variantes dan como resultado cuboctaedros , antiprismas cuadrados , octaedros (como antípodos triangulares) y tetraedros (como disfenoides tetragonales), con una figura de vértice topológicamente equivalente a un cubo con un prisma triangular unido a una de sus caras cuadradas.
El dual del panal cúbico cantelado se llama cuarto de octaedro achatado , una teselación catóptrica con diagrama de Coxeter. 
, que contiene caras de dos de los cuatro hiperplanos del dominio fundamental cúbico [4,3,4].
Tiene celdas bipiramidales de triángulo irregular que pueden verse como 1/12 de un cubo, formado por el centro del cubo, 2 centros de cara y 2 vértices.
El panal cúbico cantitruncado o celulación cúbica cantitruncada es un mosaico uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano, formado por cuboctaedros truncados , octaedros truncados y cubos en una proporción de 1:1:3, con un esfenoides reflejado. figura de vértice .
John Horton Conway llama a este panal trilo de n-tCO y a su piramidilla triangular dual .
Existen cuatro celdas alrededor de cada vértice:
El panal cúbico cantitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Las células se pueden mostrar en dos simetrías diferentes. La forma del diagrama lineal de Coxeter se puede dibujar con un color para cada tipo de celda. La forma del diagrama de bifurcación se puede dibujar alternando dos tipos (colores) de células cuboctaédricas truncadas .
El dual del panal cúbico cantitruncado se llama piramidilla triangular , con diagrama de Coxeter ,. Estas células en forma de panal representan los dominios fundamentales de simetría.
Una celda puede ser como 1/24 de un cubo traslacional con vértices posicionados: tomando dos esquinas, el centro de la cara y el centro del cubo. Los colores y las etiquetas del borde especifican cuántas celdas existen alrededor del borde.
Está relacionado con un apeiroedro sesgado con configuración de vértice 4.4.6.6, con los octágonos y algunos de los cuadrados eliminados. Puede verse construido aumentando células cuboctaédricas truncadas, o aumentando octaedros y cubos truncados alternados.
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando octaedros truncados sobre cuboctaedros truncados, lo que da como resultado un panal no uniforme con octaedros truncados , prismas hexagonales (como trapezoprismas ditrigonales), cubos (como prismas cuadrados), prismas triangulares (como cuñas simétricas C 2v ). y tetraedros (como disfenoides tetragonales). Su figura de vértice es topológicamente equivalente al octaedro .
El panal cúbico cantitruncado alternado o el panal cúbico rectificado chato contiene tres tipos de celdas: cubos chatos , icosaedros (con simetría T h ), tetraedros (como disfenoides tetragonales) y nuevas celdas tetraédricas creadas en los espacios.
Aunque no es uniforme, desde el punto de vista constructivo se puede representar como diagramas de Coxeter. o.
A pesar de no ser uniforme, existe una versión que casi falla con dos longitudes de borde que se muestran a continuación, una de las cuales es aproximadamente un 4,3% mayor que la otra. Los cubos chatos en este caso son uniformes, pero el resto de celdas no.
El panal cúbico chato cántico se construye desairando los octaedros truncados de una manera que deja solo rectángulos de los cubos (prismas cuadrados). No es uniforme pero se puede representar como diagrama de Coxeter. . Tiene rombicuboctaedros (con simetría T h ), icosaedros (con simetría T h ) y prismas triangulares (como cuñas de simetría C 2v ) que llenan los huecos. [4]
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando icosaedros sobre los rombicuboctaedros, lo que da como resultado un panal no uniforme con icosaedros , octaedros (como antiprismas triangulares), prismas triangulares (como cuñas simétricas C 2v ) y pirámides cuadradas .
El panal cúbico runcitruncado o la celulación cúbica runcitruncada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en 3 espacios euclidianos. Está compuesto por rombicuboctaedros , cubos truncados , prismas octogonales y cubos en proporción 1:1:3:3, con figura de vértice piramidal isósceles-trapezoidal .
Su nombre se deriva de su diagrama de Coxeter ,con tres nodos anillados que representan 3 espejos activos en la construcción Wythoff desde su relación con el panal cúbico regular .
John Horton Conway llama a este panal trillo 1-RCO y a su doble cuarto cuadrado piramidal .
El panal cúbico runcitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Existen dos apeiroedros sesgados uniformes relacionados con la misma disposición de vértices , vistos como celdas límite de un subconjunto de celdas. Uno tiene triángulos y cuadrados, y el otro triángulos, cuadrados y octágonos.
El panal cúbico dual al runcitruncado se llama piramidilla de cuarto cuadrado , con diagrama de Coxeter. . Las caras existen en 3 de 4 hiperplanos del grupo [4,3,4] de Coxeter.
Las celdas son pirámides irregulares y pueden verse como 1/24 de un cubo, usando una esquina, un punto medio del borde, dos centros de cara y el centro del cubo.
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando rombicuboctaedros sobre los cubos truncados, lo que da como resultado un panal no uniforme con rombicuboctaedros , octaedros (como antiprismas triangulares), cubos (como prismas cuadrados), dos tipos de prismas triangulares (ambos cuñas simétricas C 2v ) y tetraedros (como disfenoides digonales). Su figura de vértice es topológicamente equivalente al prisma triangular aumentado .
El panal cúbico omnitruncado o la celulación cúbica omnitruncada es una teselación uniforme que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por cuboctaedros truncados y prismas octogonales en proporción 1:3, con figura de vértice diefenoidal fílica .
John Horton Conway llama a este panal trillo de b-tCO y a su octava piramidilla dual .
El panal cúbico omnitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría.
Las células se pueden mostrar en dos simetrías diferentes. La forma del diagrama de Coxeter tiene dos colores de cuboctaedros truncados y prismas octogonales . La simetría se puede duplicar relacionando la primera y la última rama del diagrama de Coxeter, que se puede mostrar con un color para todas las celdas del prisma cuboctaédrico y octogonal truncado.
Existen dos apeiroedros sesgados uniformes relacionados con la misma disposición de vértices . Al primero se le han eliminado los octágonos y la configuración de vértices es 4.4.4.6. Puede verse como cuboctaedros truncados y prismas octogonales aumentados entre sí. El segundo puede verse como prismas octogonales aumentados, configuración de vértice 4.8.4.8.
Las variantes no uniformes con simetría [4,3,4] y dos tipos de cuboctaedros truncados se pueden duplicar colocando los dos tipos de cuboctaedros truncados uno sobre otro para producir un panal no uniforme con cuboctaedros truncados , prismas octogonales , prismas hexagonales (como trapezoprismas ditrigonales). , y dos tipos de cubos (como los trapezoprismas rectangulares y sus variantes simétricas C 2v ). Su figura de vértice es una bipirámide triangular irregular .
Este panal luego se puede alternar para producir otro panal no uniforme con cubos chatos , antiprismas cuadrados , octaedros (como antiprismas triangulares) y tres tipos de tetraedros (como disfenoides tetragonales, disfenoides fílicos y tetraedros irregulares).
Se puede construir un panal cúbico omnitruncado alterno o un panal cúbico omnisnub alternando el panal cúbico omnitruncado, aunque no se puede uniformar, pero se le puede dar el diagrama de Coxeter :y tiene simetría [[4,3,4]] + . Hace cubos chatos a partir de los cuboctaedros truncados , antiprismas cuadrados a partir de los prismas octogonales y crea nuevas células tetraédricas a partir de los huecos.
Un panal cúbico omnitruncado alternado dual es un panal que llena el espacio construido como el dual del panal cúbico omnitruncado alternado.
24 celdas encajan alrededor de un vértice, creando una simetría octaédrica quiral que se puede apilar en las 3 dimensiones:
Las células individuales tienen simetría rotacional doble. En una proyección ortogonal 2D, esto parece una simetría especular.
El panal cúbico cantitruncado rúnico o la celulación cúbica cantitruncada rúnica se construye eliminando rectángulos largos alternos de los octágonos y no es uniforme, pero se puede representar como diagrama de Coxeter. . Tiene rombicuboctaedros (con simetría T h ), cubos chatos , dos tipos de cubos : prismas cuadrados y trapezoprismas rectangulares (topológicamente equivalentes a un cubo pero con simetría D 2d ) y prismas triangulares (como cuñas de simetría C 2v ) que llenan los huecos. .
El panal cúbico de biorthosnub se construye eliminando rectángulos largos alternos de los octágonos de forma ortogonal y no es uniforme, pero se puede representar como diagrama de Coxeter. . Tiene rombicuboctaedros (con simetría T h ) y dos tipos de cubos : prismas cuadrados y trapezoprismas rectangulares (topológicamente equivalente a un cubo pero con simetría D 2d ).
El panal prismático cuadrado truncado o la celulación prismática tomocuadrada es una teselación (o panal ) que llena el espacio en 3 espacios euclidianos . Está compuesto por prismas octogonales y cubos en una proporción de 1:1.
Está construido a partir de un mosaico cuadrado truncado extruido en prismas.
Es uno de los 28 panales uniformes convexos .
El panal prismático cuadrado chato o la celulación prismática simo-cuadrada es una teselación (o panal ) que llena el espacio en el espacio tridimensional euclidiano . Está compuesto por cubos y prismas triangulares en una proporción de 1:2.
Está construido a partir de un mosaico cuadrado chato extruido en prismas.
Es uno de los 28 panales uniformes convexos .
Se puede construir un panal antiprismático cuadrado chato alternando el panal prismático cuadrado truncado, aunque no se puede hacer uniforme, pero se le puede dar el diagrama de Coxeter :
y tiene simetría [4,4,2,∞] + . Produce antiprismas cuadrados a partir de los prismas octogonales , tetraedros (como disfenoides tetragonales) a partir de los cubos y dos tetraedros a partir de las bipirámides triangulares .
