En geometría , un octaedro ( pl.: octaedros u octaedros ) es un poliedro de ocho caras. El término se utiliza más comúnmente para referirse al octaedro regular , un sólido platónico compuesto por ocho triángulos equiláteros , cuatro de los cuales se encuentran en cada vértice.
Un octaedro regular es el poliedro dual de un cubo . También es un tetraedro rectificado , una bipirámide cuadrada en cualquiera de las tres orientaciones ortogonales y un antiprisma triangular en cualquiera de las cuatro orientaciones.
Un octaedro es el caso tridimensional del concepto más general de politopo cruzado .
Un octaedro regular es una bola de 3 en la métrica de Manhattan ( ℓ 1 ) .
Si la longitud de la arista de un octaedro regular es a , el radio de una esfera circunscrita (la que toca el octaedro en todos los vértices) es
y el radio de una esfera inscrita ( tangente a cada una de las caras del octaedro) es
mientras que el radio medio, que toca el centro de cada borde, es
El octaedro tiene cuatro proyecciones ortogonales especiales , centrada, en una arista, en un vértice, en una cara y en una normal a una cara. El segundo y el tercero corresponden a los planos Coxeter B 2 y A 2 .
El octaedro también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando los ángulos pero no las áreas ni las longitudes. Las líneas rectas sobre la esfera se proyectan como arcos circulares sobre el plano.
Un octaedro con longitud de arista √ 2 se puede colocar con su centro en el origen y sus vértices en los ejes de coordenadas; las coordenadas cartesianas de los vértices son entonces
En un sistema de coordenadas cartesiano x – y – z , el octaedro con coordenadas centrales ( a , b , c ) y radio r es el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) tales que
El área de superficie A y el volumen V de un octaedro regular de longitud de arista a son:
Así, el volumen es cuatro veces el de un tetraedro regular con la misma longitud de arista, mientras que el área de la superficie es el doble (porque tenemos 8 triángulos en lugar de 4).
Si se ha estirado un octaedro para que obedezca a la ecuación
las fórmulas para el área de superficie y el volumen se expanden para convertirse en
Además, el tensor de inercia del octaedro estirado es
Estos se reducen a las ecuaciones del octaedro regular cuando
Usando la nomenclatura estándar para los sólidos de Johnson , un octaedro se llamaría bipirámide cuadrada .
El octaedro es el poliedro dual del cubo .
Si un octaedro de longitud de arista está inscrito en un cubo, entonces la longitud de una arista del cubo .
El interior del compuesto de dos tetraedros duales es un octaedro, y este compuesto, llamado stella octangula , es su primera y única estelación . En consecuencia, un octaedro regular es el resultado de cortar de un tetraedro regular cuatro tetraedros regulares de la mitad del tamaño lineal (es decir, rectificar el tetraedro). Los vértices del octaedro se encuentran en los puntos medios de las aristas del tetraedro, y en este sentido se relaciona con el tetraedro de la misma manera que el cuboctaedro y el icosidodecaedro se relacionan con los otros sólidos platónicos.
También se pueden dividir las aristas de un octaedro en la proporción de la media áurea para definir los vértices de un icosaedro . Esto se hace colocando primero vectores a lo largo de los bordes del octaedro de manera que cada cara esté delimitada por un ciclo, luego dividiendo de manera similar cada borde en la media áurea a lo largo de la dirección de su vector. Hay cinco octaedros que definen cualquier icosaedro dado de esta manera, y juntos definen un compuesto regular . Un icosaedro producido de esta manera se llama octaedro chato .
Los octaedros y tetraedros se pueden alternar para formar un mosaico del espacio con vértices, aristas y caras uniformes . Este y el mosaico regular de cubos son los únicos panales uniformes en el espacio tridimensional.
Como todos los politopos convexos regulares, el octaedro se puede diseccionar en un número entero de ortoesquemas disjuntos , todos de la misma forma característica del politopo. El ortosquema característico de un politopo es una propiedad fundamental porque el politopo se genera por reflejos en las facetas de su ortosquema. El ortosquema se presenta en dos formas quirales que son imágenes especulares entre sí. El ortoesquema característico de un poliedro regular es un tetraedro irregular cuadrirrectangular .
Las caras del tetraedro característico del octaedro se encuentran en los planos de simetría especulares del octaedro . El octaedro es único entre los sólidos platónicos por tener un número par de caras que se encuentran en cada vértice. En consecuencia, es el único miembro de ese grupo que posee, entre sus planos especulares, algunos que no pasan por ninguna de sus caras. El grupo de simetría del octaedro se denota como B 3 . El octaedro y su politopo dual , el cubo , tienen el mismo grupo de simetría pero tetraedros característicos diferentes.
El tetraedro característico del octaedro regular se puede encontrar mediante una disección canónica [1] del octaedro regular.
que lo subdivide en 48 de estos ortoesquemas característicosrodeando el centro del octaedro. Tres ortoesquemas zurdos y tres ortoesquemas diestros se encuentran en cada una de las ocho caras del octaedro, formando los seis ortoesquemas colectivamente un tetraedro trirectangular : una pirámide triangular con la cara del octaedro como base equilátera y su vértice con esquinas cúbicas en el centro. del octaedro. [2]
Si el octaedro tiene una longitud de arista 𝒍 = 2, las seis aristas características de su tetraedro tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior del triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, , 𝟁), [a] más , , (aristas que son los radios característicos del octaedro). El camino de 3 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , primero desde un vértice de octaedro hasta el centro de una arista de octaedro, luego gira 90° hasta el centro de una cara de octaedro y luego gira 90° hasta el centro del octaedro. El ortosquema tiene cuatro caras de triángulos rectángulos diferentes. La cara exterior es un triángulo 90-60-30 que es un sexto de la cara de un octaedro. Las tres caras interiores al octaedro son: un triángulo 45-90-45 con aristas , , , un triángulo rectángulo con aristas , , , y un triángulo rectángulo con aristas , , .
El octaedro tiene 4 conexiones , lo que significa que es necesario eliminar cuatro vértices para desconectar los vértices restantes. Es uno de los cuatro poliedros bien cubiertos simpliciales de 4 conectados , lo que significa que todos los conjuntos independientes máximos de sus vértices tienen el mismo tamaño. Los otros tres poliedros con esta propiedad son la bipirámide pentagonal , el diefenoides chato y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares. [4]
El octaedro regular tiene once disposiciones de redes .
El tetrahemihexaedro uniforme es una faceta de simetría tetraédrica del octaedro regular, que comparte la disposición de aristas y vértices . Tiene cuatro de las caras triangulares y 3 cuadrados centrales.
Hay 3 colores uniformes del octaedro, nombrados por los colores de las caras triangulares que rodean cada vértice: 1212, 1112, 1111.
El grupo de simetría del octaedro es Oh , de orden 48, el grupo hiperoctaédrico tridimensional . Los subgrupos de este grupo incluyen D 3d (orden 12), el grupo de simetría de un antiprisma triangular ; D 4h (orden 16), el grupo de simetría de una bipirámide cuadrada ; y T d (orden 24), el grupo de simetría de un tetraedro rectificado. Estas simetrías se pueden enfatizar mediante diferentes colores de las caras.
Los siguientes poliedros son combinatoriamente equivalentes al poliedro regular. Todos tienen seis vértices, ocho caras triangulares y doce aristas que se corresponden uno por uno con las características de un octaedro regular.
De manera más general, un octaedro puede ser cualquier poliedro con ocho caras. El octaedro regular tiene 6 vértices y 12 aristas, el mínimo para un octaedro; Los octaedros irregulares pueden tener hasta 12 vértices y 18 aristas. [5] Hay 257 octaedros convexos topológicamente distintos , excluyendo las imágenes especulares. Más específicamente hay 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 para octaedros con 6 a 12 vértices respectivamente. [6] [7] (Dos poliedros son "topológicamente distintos" si tienen disposiciones intrínsecamente diferentes de caras y vértices, de modo que es imposible distorsionar uno en otro simplemente cambiando las longitudes de las aristas o los ángulos entre aristas o caras. .)
Algunos octaedros irregulares más conocidos incluyen los siguientes:
Buckminster Fuller inventó en la década de 1950 un marco espacial de tetraedros y semioctaedros alternos derivados del panal tetraédrico-octaédrico . Se considera comúnmente como la estructura de construcción más fuerte para resistir tensiones en voladizo .
Un octaedro regular se puede convertir en un tetraedro agregando 4 tetraedros en caras alternadas. Agregar tetraedros a las 8 caras crea el octaedro estrellado .
El octaedro pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo.
También es uno de los ejemplos más simples de hipersímplejo , un politopo formado por ciertas intersecciones de un hipercubo con un hiperplano .
El octaedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con símbolos de Schläfli {3, n }, que continúan en el plano hiperbólico .
El octaedro regular también puede considerarse un tetraedro rectificado , y puede denominarse tetraedro . Esto se puede demostrar con un modelo de cara de 2 colores. Con esta coloración, el octaedro tiene simetría tetraédrica .
Compare esta secuencia de truncamiento entre un tetraedro y su dual:
Las formas anteriores también se pueden realizar como cortes ortogonales a la diagonal larga de un teseracto . Si esta diagonal está orientada verticalmente con una altura de 1, entonces los primeros cinco cortes anteriores ocurren en alturas r ,3/8,1/2,5/8, y s , donde r es cualquier número en el rango 0 < r ≤1/4, y s es cualquier número en el rango3/4≤ s < 1 .
El octaedro como tetraedro existe en una secuencia de simetrías de poliedros cuasiregulares y mosaicos con configuraciones de vértice (3. n ) 2 , progresando desde mosaicos de la esfera al plano euclidiano y al plano hiperbólico. Con simetría de notación orbifold de * n 32, todos estos mosaicos son construcciones de Wythoff dentro de un dominio de simetría fundamental , con puntos generadores en la esquina del ángulo recto del dominio. [9] [10]
Como antiprisma trigonal , el octaedro está relacionado con la familia de simetría diédrica hexagonal.
El truncamiento de dos vértices opuestos da como resultado un bifrutum cuadrado .
El octaedro se puede generar como el caso de un superelipsoide 3D con todos los valores de exponente establecidos en 1.
