Número octaédrico

146 bolas magnéticas , empaquetadas en forma de octaedro

En teoría de números , un número octaédrico es un número figurado que representa el número de esferas en un octaedro formado a partir de esferas compactas . El número octaédrico se puede obtener mediante la fórmula: ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O_{n}}$

${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$

Los primeros números octaédricos son:

1 , 6 , 19 , 44 , 85 , 146, 231, 344, 489, 670, 891 (secuencia A005900 en la OEIS ).

Propiedades y aplicaciones

Los números octaédricos tienen una función generadora

${\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}$

Sir Frederick Pollock conjeturó en 1850 que todo entero positivo es la suma de como máximo 7 números octaédricos. ^[2] Esta afirmación, la conjetura de los números octaédricos de Pollock , se ha demostrado cierta para todos los números, excepto para un número finito. ^[3]

En química , los números octaédricos se pueden utilizar para describir la cantidad de átomos en grupos octaédricos; en este contexto se denominan números mágicos . ^{[4] [5]}

Relación con otros números figurados

Pirámides cuadradas

Un empaquetamiento octaédrico de esferas se puede dividir en dos pirámides cuadradas , una invertida debajo de la otra, dividiéndolas a lo largo de una sección transversal cuadrada. Por lo tanto, el número octaédrico n.º se puede obtener sumando dos números piramidales cuadrados consecutivos : ^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O_{n}}$

${\displaystyle O_{n}=P_{n-1}+P_{n}.}$

Tetraedros

Si es el ésimo número octaédrico y es el ésimo número tetraédrico entonces ${\displaystyle O_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.}$

Esto representa el hecho geométrico de que pegar un tetraedro en cada una de las cuatro caras no adyacentes de un octaedro produce un tetraedro del doble de tamaño.

También es posible otra relación entre los números octaédricos y los números tetraédricos, basada en el hecho de que un octaedro puede dividirse en cuatro tetraedros, cada uno con dos caras originales adyacentes (o alternativamente, basada en el hecho de que cada número piramidal cuadrado es la suma de dos números tetraédricos):

${\displaystyle O_{n}=T_{n}+2T_{n-1}+T_{n-2}.}$

Cubos

Si se unen dos tetraedros a las caras opuestas de un octaedro, el resultado es un romboedro . ^[6] El número de esferas compactas en el romboedro es un cubo , lo que justifica la ecuación.

${\displaystyle O_{n}+2T_{n-1}=n^{3}.}$

Cuadrados centrados

Pirámides cuadradas en las que cada capa tiene un número cuadrado de cubos centrado. El número total de cubos en cada pirámide es un número octaédrico.

La diferencia entre dos números octaédricos consecutivos es un número cuadrado centrado : ^[1]

${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}$

Por lo tanto, un número octaédrico también representa el número de puntos de una pirámide cuadrada formada apilando cuadrados centrados; por esta razón, en su libro Arithmeticorum libri duo (1575), Francesco Maurolico llamó a estos números "pyramides quadratae secundae". ^[7]

El número de cubos en un octaedro formado al apilar cuadrados centrados es un número octaédrico centrado , la suma de dos números octaédricos consecutivos. Estos números son

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, ... (secuencia A001845 en la OEIS )

dado por la fórmula

${\displaystyle O_{n}+O_{n-1}={\frac {(2n-1)(2n^{2}-2n+3)}{3}}}$para n = 1, 2, 3, ...

Historia

El primer estudio de los números octaédricos parece haber sido realizado por René Descartes , alrededor de 1630, en su De solidorum elementis . Antes de Descartes, los números figurados habían sido estudiados por los antiguos griegos y por Johann Faulhaber , pero solo para números poligonales , números piramidales y cubos . Descartes introdujo el estudio de los números figurados basándose en los sólidos platónicos y algunos de los poliedros semirregulares ; su trabajo incluyó los números octaédricos. Sin embargo, De solidorum elementis se perdió y no fue redescubierto hasta 1860. Mientras tanto, los números octaédricos habían sido estudiados nuevamente por otros matemáticos, incluidos Friedrich Wilhelm Marpurg en 1774, Georg Simon Klügel en 1808 y Sir Frederick Pollock en 1850. ^[8]

Referencias

1. Conway, John Horton ; Guy, Richard K. (1996), El libro de los números , Springer-Verlag, pág. 50, ISBN 978-0-387-97993-9.
2. Dickson, LE (2005), Análisis diofántico, Historia de la teoría de los números , vol. 2, Nueva York: Dover, págs. 22-23, ISBN 9780821819357.
3. Elessar Brady, Zarathustra (2016), "Sumas de siete números octaédricos", Journal of the London Mathematical Society , Segunda serie, 93 (1): 244–272, arXiv : 1509.04316 , doi :10.1112/jlms/jdv061, MR  3455791, S2CID  206364502
4. Teo, Boon K.; Sloane, NJA (1985), "Números mágicos en grupos poligonales y poliédricos" (PDF) , Inorganic Chemistry , 24 (26): 4545–4558, doi :10.1021/ic00220a025, archivado desde el original (PDF) el 2012-03-13 , consultado el 2011-04-08.
5. Feldheim, Daniel L.; Foss, Colby A. (2002), Nanopartículas metálicas: síntesis, caracterización y aplicaciones, CRC Press, pág. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3.
6. Burke, John G. (1966), Orígenes de la ciencia de los cristales, University of California Press, pág. 88.
7. Tablas de secuencias de números enteros Archivado el 7 de septiembre de 2012 en archive.today desde Arithmeticorum libri duo , consultado el 7 de abril de 2011.
8. Federico, Pasquale Joseph (1982), Descartes sobre los poliedros: un estudio del "De solidorum elementis" , Fuentes en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, vol. 4, Springer, pág. 118

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Número octaédrico", MathWorld