En geometría , un dodecaedro disdyakis (también hexoctaedro , [1] hexakis octaedro , cubo octakis , hexaedro octakis , dodecaedro kisrrómbico [2] ) es un sólido catalán con 48 caras y el dual del cuboctaedro truncado de Arquímedes . Como tal, es transitivo en cuanto a las caras, pero con polígonos de caras irregulares. Se parece a un dodecaedro rómbico aumentado . Reemplazar cada cara del dodecaedro rómbico por una pirámide plana crea un poliedro que se parece casi al dodecaedro disdyakis y es topológicamente equivalente a él.
Más formalmente, el dodecaedro disdyakis es el Kleetope del dodecaedro rómbico y la subdivisión baricéntrica del cubo o del octaedro regular . [3] La red de la pirámide dodecaédrica rómbica también comparte la misma topología.
Tiene simetría octaédrica O h . Sus aristas colectivas representan los planos de reflexión de la simetría. También se puede ver en la triangulación de las esquinas y aristas medias del cubo y el octaedro regulares, y del dodecaedro rómbico.
Las aristas de un disdyakis dodecaedro esférico pertenecen a 9 círculos máximos . Tres de ellos forman un octaedro esférico (gris en las imágenes de abajo). Los seis restantes forman tres hosoedros cuadrados (rojo, verde y azul en las imágenes de abajo). Todos ellos corresponden a planos especulares : el primero en simetría diedra [2,2] y el segundo en simetría tetraédrica [3,3].
Sea .
Entonces las coordenadas cartesianas para los vértices de un dodecaedro disdyakis centrado en el origen son:
● permutaciones de (± a , 0, 0) (vértices de un octaedro) ● permutaciones de (± b , ± b , 0) (vértices de un cuboctaedro ) ● (± c , ± c , ± c ) (vértices de un cubo)
Si sus aristas más pequeñas tienen una longitud a , su área superficial y su volumen son
Las caras son triángulos escalenos. Sus ángulos son , y .
El cuboctaedro truncado y su dual, el disdyakisdodecaedro, pueden dibujarse en varias orientaciones proyectivas ortogonales simétricas. Entre un poliedro y su dual, los vértices y las caras están intercambiados en sus posiciones y las aristas son perpendiculares.
El dodecaedro disdyakis pertenece a una familia de duales de los poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
Se trata de un poliedro de una sucesión definida por la configuración de caras V4.6.2 n . Este grupo es especial por tener todas las aristas por vértice en un número par y formar planos biseccionales a través de los poliedros y líneas infinitas en el plano, y continuar en el plano hiperbólico para cualquier n ≥ 7.
Con un número par de caras en cada vértice, estos poliedros y teselas se pueden mostrar alternando dos colores para que todas las caras adyacentes tengan colores diferentes.
Cada cara de estos dominios también corresponde al dominio fundamental de un grupo de simetría con orden 2,3, n espejos en cada vértice de la cara del triángulo.
