En geometría , un sólido de Arquímedes es uno de los 13 poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares y cuyos vértices son todos simétricos entre sí. Fueron enumerados por primera vez por Arquímedes . Pertenecen a la clase de poliedros uniformes convexos , los poliedros convexos de caras regulares y vértices simétricos, que se divide en los sólidos de Arquímedes, los cinco sólidos platónicos (cada uno con un solo tipo de cara poligonal) y las dos infinitas familias de prismas . y antiprismas . El pseudorombicuboctaedro es un poliedro extra con caras regulares y vértices congruentes, pero generalmente no se cuenta como un sólido de Arquímedes porque no es transitivo a los vértices . [1] Una clase aún mayor que los poliedros uniformes convexos son los sólidos de Johnson , cuyas caras poligonales regulares no necesitan encontrarse en vértices idénticos.
En estos poliedros, los vértices son idénticos, en el sentido de que una isometría global de todo el sólido lleva un vértice cualquiera a otro. Branko Grünbaum (2009) observó que un decimocuarto poliedro, la girobicúpula cuadrada alargada (o pseudorombicuboctaedro), cumple con una definición más débil de sólido de Arquímedes, en la que "vértices idénticos" significa simplemente que las partes del poliedro cercanas a dos vértices cualesquiera se ven iguales (tienen las mismas formas de caras que se juntan alrededor de cada vértice en el mismo orden y forman los mismos ángulos). Grünbaum señaló un error frecuente en el que los autores definen los sólidos de Arquímedes utilizando alguna forma de esta definición local pero omiten el poliedro número 14. Si sólo se enumeran 13 poliedros, la definición debe utilizar simetrías globales del poliedro en lugar de vecindades locales.
Los prismas y antiprismas , cuyos grupos de simetría son los grupos diédricos , generalmente no se consideran sólidos de Arquímedes, aun cuando sus caras sean polígonos regulares y sus grupos de simetría actúen transitivamente sobre sus vértices. Excluyendo estas dos infinitas familias, hay 13 sólidos de Arquímedes. Todos los sólidos de Arquímedes (pero no la girobicúpula cuadrada alargada) se pueden hacer mediante construcciones de Wythoff a partir de los sólidos platónicos con simetría tetraédrica , octaédrica e icosaédrica .
Los sólidos de Arquímedes toman su nombre de Arquímedes , quien los analizó en una obra ahora perdida. Pappus se refiere a ello, afirmando que Arquímedes enumeró 13 poliedros. [2] Durante el Renacimiento , los artistas y matemáticos valoraban las formas puras con alta simetría, y alrededor de 1620 Johannes Kepler había completado el redescubrimiento de los 13 poliedros, [3] además de definir los prismas , antiprismas y los sólidos no convexos. conocido como poliedro de Kepler-Poinsot . (Ver Schreiber, Fischer & Sternath 2008 para obtener más información sobre el redescubrimiento de los sólidos de Arquímedes durante el Renacimiento).
Es posible que Kepler también haya encontrado la girobicúpula cuadrada alargada (pseudorhombicuboctaedro): al menos una vez afirmó que había 14 sólidos de Arquímedes. Sin embargo, su enumeración publicada sólo incluye los 13 poliedros uniformes, y la primera declaración clara de la existencia del pseudorombicuboctaedro fue hecha en 1905 por Duncan Sommerville . [2]
Hay 13 sólidos de Arquímedes (sin contar la girobicúpula cuadrada alargada ; 15 si se cuentan por separado las imágenes especulares de dos enantiomorfos , el cubo chato y el dodecaedro chato).
Aquí la configuración de vértice se refiere al tipo de polígonos regulares que se encuentran en cualquier vértice determinado. Por ejemplo, una configuración de vértice de 4.6.8 significa que un cuadrado , un hexágono y un octágono se encuentran en un vértice (con el orden en el sentido de las agujas del reloj alrededor del vértice).
Algunas definiciones de poliedro semirregular incluyen una figura más, la girobicúpula cuadrada alargada o "pseudo-rombicuboctaedro". [4]
El número de vértices es 720° dividido por el defecto del ángulo del vértice .
El cuboctaedro y el icosidodecaedro tienen bordes uniformes y se denominan cuasiregulares .
Los duales de los sólidos de Arquímedes se denominan sólidos catalanes . Junto con las bipirámides y los trapezoedros , estos son los sólidos de cara uniforme con vértices regulares.
El cubo chato y el dodecaedro chato se conocen como quirales , ya que vienen en forma zurda (latín: levomorfo o laevomorfo) y diestra (latín: dextromorfo). Cuando algo se presenta en múltiples formas que son la imagen especular tridimensional de cada uno , estas formas pueden denominarse enantiomorfos. (Esta nomenclatura también se utiliza para las formas de ciertos compuestos químicos ).
Los diferentes sólidos de Arquímedes y Platónicos se pueden relacionar entre sí mediante algunas construcciones generales. A partir de un sólido platónico, el truncamiento implica cortar las esquinas. Para preservar la simetría, el corte se realiza en un plano perpendicular a la línea que une una esquina con el centro del poliedro y es el mismo para todas las esquinas. Dependiendo de cuánto se trunca (consulte la tabla a continuación), se pueden crear diferentes sólidos platónicos y de Arquímedes (y otros). Si el truncamiento es exactamente lo suficientemente profundo como para que cada par de caras de vértices adyacentes comparta exactamente un punto, se conoce como rectificación. Una expansión , o cantelación , implica alejar cada cara del centro (la misma distancia para preservar la simetría del sólido platónico) y tomar el casco convexo. La expansión con torsión también implica rotar las caras, dividiendo así cada rectángulo correspondiente a una arista en dos triángulos por una de las diagonales del rectángulo. La última construcción que utilizamos aquí es el truncamiento de esquinas y bordes. Haciendo caso omiso de la escala, la expansión también puede verse como la rectificación de la rectificación. Asimismo, el cantitruncación puede verse como el truncamiento de la rectificación.
Nótese la dualidad entre el cubo y el octaedro, y entre el dodecaedro y el icosaedro. Además, en parte porque el tetraedro es autodual, solo hay un sólido de Arquímedes que tiene como máximo simetría tetraédrica. (Todos los sólidos platónicos tienen al menos simetría tetraédrica, ya que la simetría tetraédrica es una operación de simetría de (es decir, está incluida en) simetrías octaédricas e isoédricas, lo que se demuestra por el hecho de que un octaedro puede verse como un tetraedro rectificado, y un icosaedro puede utilizarse como un tetraedro chato.)