Cometa (geometría)

Cuadrilátero simétrico en diagonal

En geometría euclidiana , una cometa es un cuadrilátero con simetría de reflexión a lo largo de una diagonal . Debido a esta simetría, una cometa tiene dos ángulos iguales y dos pares de lados adyacentes de igual longitud. Las cometas también se conocen como deltoides , ^[1] pero la palabra deltoides también puede referirse a una curva deltoides , un objeto geométrico no relacionado que a veces se estudia en relación con los cuadriláteros. ^{[2] [3]} Una cometa también puede llamarse dardo , ^[4] particularmente si no es convexa. ^{[5] [6]}

Cada cometa es un cuadrilátero ortodiagonal (sus diagonales forman ángulos rectos) y, cuando es convexa, un cuadrilátero tangencial (sus lados son tangentes a un círculo inscrito). Las cometas convexas son exactamente los cuadriláteros que son a la vez ortodiagonales y tangenciales. Incluyen como casos especiales las cometas derechas , con dos ángulos rectos opuestos; los rombos , con dos ejes de simetría diagonales; y los cuadrados , que también son casos especiales tanto de cometas derechas como de rombos.

El cuadrilátero con la mayor relación entre perímetro y diámetro es una cometa, con ángulos de 60°, 75° y 150°. Cometas de dos formas (una convexa y otra no convexa) forman los prototiles de una de las formas del mosaico de Penrose . Las cometas también forman las caras de varios poliedros y teselaciones con simetría facial y se han estudiado en relación con los billares exteriores , un problema en las matemáticas avanzadas de los sistemas dinámicos .

Definición y clasificación

Cometas convexas y cóncavas.

Una cometa es un cuadrilátero con simetría de reflexión en una de sus diagonales. De manera equivalente, es un cuadrilátero cuyos cuatro lados se pueden agrupar en dos pares de lados adyacentes de igual longitud. ^{[1] [7]} Se puede construir una cometa a partir de los centros y puntos de cruce de dos círculos que se cruzan . ^[8] Las cometas como se describen aquí pueden ser convexas o cóncavas , aunque algunas fuentes restringen que cometa se refiera únicamente a cometas convexas. Un cuadrilátero es una cometa si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• Los cuatro lados se pueden dividir en dos pares de lados adyacentes de igual longitud. ^[7]
• Una diagonal cruza el punto medio de la otra diagonal en ángulo recto, formando su bisectriz perpendicular . ^[9] (En el caso cóncavo, la línea que pasa por una de las diagonales biseca a la otra).
• Una diagonal es un eje de simetría. Divide el cuadrilátero en dos triángulos congruentes que son imágenes especulares entre sí. ^[7]
• Una diagonal divide ambos ángulos en sus dos extremos. ^[7]

Los cuadriláteros de cometas reciben su nombre de las cometas voladoras arrastradas por el viento , que a menudo tienen esta forma ^{[10] [11]} y que a su vez reciben el nombre de un pájaro que flota en el aire y el sonido que emite. ^{[12] [13]} Según Olaus Henrici , el nombre "cometa" fue dado a estas formas por James Joseph Sylvester . ^[14]

Los cuadriláteros se pueden clasificar jerárquicamente , lo que significa que algunas clases de cuadriláteros incluyen otras clases, o particionalmente , lo que significa que cada cuadrilátero pertenece a una sola clase. Clasificadas jerárquicamente, las cometas incluyen los rombos (cuadriláteros de cuatro lados iguales) y los cuadrados . Todos los cometas equiláteros son rombos y todos los cometas equiangulares son cuadrados. Cuando se clasifican particionalmente, los rombos y los cuadrados no serían cometas, porque pertenecen a una clase diferente de cuadriláteros; De manera similar, las cometas correctas que se analizan a continuación no serían cometas. El resto de este artículo sigue una clasificación jerárquica; Los rombos, los cuadrados y las cometas derechas se consideran cometas. Al evitar la necesidad de considerar casos especiales, esta clasificación puede simplificar algunos datos sobre las cometas. ^[15]

Al igual que las cometas, un paralelogramo también tiene dos pares de lados de igual longitud, pero son opuestos entre sí en lugar de adyacentes. Cualquier cuadrilátero que no se cruce automáticamente y que tenga un eje de simetría debe ser una cometa, con un eje de simetría diagonal; o un trapezoide isósceles , con un eje de simetría que pasa por los puntos medios de dos lados. Estos incluyen como casos especiales el rombo y el rectángulo respectivamente, y el cuadrado, que es un caso especial de ambos. ^[1] Los cuadriláteros que se cruzan solos incluyen otra clase de cuadriláteros simétricos, los antiparalelogramos . ^[dieciséis]

Casos especiales

Las cometas derechas tienen dos ángulos rectos opuestos . ^{[15] [16]} Las cometas derechas son exactamente las cometas que son cuadriláteros cíclicos , es decir que hay un círculo que pasa por todos sus vértices. ^[17] Los cuadriláteros cíclicos pueden definirse de manera equivalente como los cuadriláteros en los que dos ángulos opuestos son suplementarios (suman 180°); si un par es suplementario el otro también lo es. ^[9] Por lo tanto, las cometas correctas son las cometas que tienen dos ángulos suplementarios opuestos, por cualquiera de los dos pares de ángulos opuestos. Debido a que los cometas derechos circunscriben un círculo y están inscritos en otro círculo, son cuadriláteros bicéntricos (en realidad tricéntricos, ya que también tienen un tercer círculo externamente tangente a las extensiones de sus lados ). ^[16] Si los tamaños de un círculo inscrito y circunscrito son fijos, la cometa derecha tiene el área más grande de cualquier cuadrilátero atrapada entre ellos. ^[18]

Entre todos los cuadriláteros, la forma que tiene la mayor relación entre su perímetro y su diámetro (distancia máxima entre dos puntos cualesquiera) es una cometa equidiagonal con ángulos de 60°, 75°, 150°, 75°. Sus cuatro vértices se encuentran en las tres esquinas y en uno de los puntos medios laterales del triángulo de Reuleaux . ^{[19] [20]} Cuando una cometa equidiagonal tiene longitudes de lados menores o iguales a sus diagonales, como ésta o el cuadrado, es uno de los cuadriláteros con mayor relación de área a diámetro . ^[21]

Una cometa con tres ángulos de 108° y un ángulo de 36° forma el casco convexo del laúd de Pitágoras , un fractal hecho de pentagramas anidados . ^[22] Los cuatro lados de esta cometa se encuentran en cuatro de los lados de un pentágono regular , con un triángulo dorado pegado en el quinto lado. ^[dieciséis]

Parte de un mosaico aperiódico con prototipos hechos de ocho cometas.

Sólo hay ocho polígonos que pueden formar mosaicos en el plano, de modo que al reflejar cualquier mosaico a través de cualquiera de sus bordes se produce otro mosaico; esta disposición se llama teselación de bordes . Uno de ellos es un mosaico mediante una cometa derecha, con ángulos de 60°, 90° y 120°. Produce el mosaico trihexagonal deltoidal (ver § Mosaicos y poliedros). ^[23] Un prototipo hecho por ocho de estas cometas mosaico el avión sólo de forma aperiódica , clave para una supuesta solución del problema de Einstein . ^[24]

En geometría no euclidiana , una cometa puede tener tres ángulos rectos y un ángulo no recto, formando un caso especial de cuadrilátero de Lambert . El cuarto ángulo es agudo en geometría hiperbólica y obtuso en geometría esférica . ^[25]

Propiedades

Diagonales, ángulos y área.

Cada cometa es un cuadrilátero ortodiagonal , lo que significa que sus dos diagonales forman ángulos rectos entre sí. Además, una de las dos diagonales (el eje de simetría) es la bisectriz perpendicular de la otra, y también es la bisectriz de los dos ángulos que corta. ^[1] Debido a su simetría, los otros dos ángulos de la cometa deben ser iguales. ^{[10] [11]} El eje de simetría diagonal de una cometa convexa la divide en dos triángulos congruentes ; la otra diagonal lo divide en dos triángulos isósceles . ^[1]

Como ocurre de manera más general con cualquier cuadrilátero ortodiagonal, el área de una cometa se puede calcular como la mitad del producto de las longitudes de las diagonales y : ^[10] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle A={\frac {p\cdot q}{2}}.}$$

fórmula SASángulo^[26] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \displaystyle A=ab\cdot \sin \theta .}$$

círculo inscrito

Dos círculos tangentes a los lados y a los lados extendidos de una cometa convexa (arriba), una cometa no convexa (en el medio) y un antiparalelogramo (abajo). Las cuatro rectas que pasan por los lados de cada cuadrilátero son bitangentes de los círculos.

Todo cometa convexo es también un cuadrilátero tangencial , cuadrilátero que tiene un círculo inscrito . Es decir, existe un círculo tangente a sus cuatro lados. Además, si una cometa convexa no es un rombo, hay un círculo fuera de la cometa que es tangente a las extensiones de los cuatro lados; por lo tanto, todo cometa convexo que no sea rombo es un cuadrilátero extangencial . Las cometas convexas que no son rombos son exactamente los cuadriláteros que son a la vez tangenciales y extangenciales. ^[16] Por cada cometa cóncava existen dos círculos tangentes a dos de los lados y las extensiones de los otros dos: uno es interior a la cometa y toca los dos lados opuestos al ángulo cóncavo, mientras que el otro círculo es exterior al cometa y toca la cometa en los dos bordes incidentes al ángulo cóncavo. ^[27]

Para una cometa convexa con longitudes diagonales y longitudes de lados y , el radio del círculo inscrito es ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle r={\frac {pq}{2(a+b)}},}$$

^[16] ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \rho ={\frac {pq}{2|a-b|}}.}$$

Un cuadrilátero tangencial también es una cometa si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: ^[28]

• El área es la mitad del producto de las diagonales .
• Las diagonales son perpendiculares . (Por lo tanto, las cometas son exactamente los cuadriláteros que son a la vez tangenciales y ortodiagonales ).
• Los dos segmentos de recta que conectan puntos de tangencia opuestos tienen la misma longitud.
• Las longitudes tangentes , distancias desde un punto de tangencia a un vértice adyacente del cuadrilátero, son iguales en dos vértices opuestos del cuadrilátero. (En cada vértice, hay dos puntos de tangencia adyacentes, pero están a la misma distancia entre sí del vértice, por lo que cada vértice tiene una única longitud tangente).
• Las dos bimedianas , segmentos de recta que conectan puntos medios de aristas opuestas, tienen la misma longitud.
• Los productos de longitudes de lados opuestos son iguales.
• El centro del círculo se encuentra en un eje de simetría que también es diagonal.

Si las diagonales de un cuadrilátero tangencial se cortan en , y los círculos incírculos de los triángulos , , , tienen radios , , y respectivamente, entonces el cuadrilátero es una cometa si y solo si ^[28] ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle ABP}$ ${\displaystyle BCP}$ ${\displaystyle CDP}$ ${\displaystyle DAP}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle r_{4}}$

$${\displaystyle r_{1}+r_{3}=r_{2}+r_{4}.}$$

círculos excéntricos^[28] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle R_{4}}$

$${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$$

Dualidad

Una cometa y su doble trapecio isósceles.

Las cometas y los trapecios isósceles son duales entre sí, es decir, existe una correspondencia entre ellos que invierte la dimensión de sus partes, llevando vértices a lados y lados a vértices. Desde cualquier cometa, el círculo inscrito es tangente a sus cuatro lados en los cuatro vértices de un trapecio isósceles. Para cualquier trapezoide isósceles, las líneas tangentes al círculo circunscrito en sus cuatro vértices forman los cuatro lados de una cometa. Esta correspondencia también puede verse como un ejemplo de reciprocidad polar , un método general para corresponder puntos con líneas y viceversa dado un círculo fijo. Aunque no tocan el círculo, los cuatro vértices de la cometa son recíprocos en este sentido a los cuatro lados del trapezoide isósceles. ^[29] Las características de las cometas y los trapecios isósceles que se corresponden entre sí bajo esta dualidad se comparan en la siguiente tabla. ^[7]

Disección

El problema de la equidisección se refiere a la subdivisión de polígonos en triángulos que tienen áreas iguales. En este contexto, el espectro de un polígono es el conjunto de números tales que el polígono tiene una equidisección en triángulos de iguales áreas. Debido a su simetría, el espectro de una cometa contiene todos los números enteros pares. Ciertas cometas especiales también contienen algunos números impares en sus espectros. ^{[30] [31]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Cada triángulo se puede subdividir en tres cometas rectas que se encuentran en el centro de su círculo inscrito. De manera más general, se puede utilizar un método basado en el empaquetado circular para subdividir cualquier polígono con lados en cometas, uniéndose de borde a borde. ^[32] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O(n)}$

Azulejos y poliedros

Todas las cometas recubren el plano mediante reflexiones puntuales repetidas alrededor de los puntos medios de sus bordes, al igual que, en general, todos los cuadriláteros. ^[33] Cometas y dardos con ángulos de 72°, 72°, 72°, 144° y 36°, 72°, 36°, 216°, respectivamente, forman los prototipos de una versión del mosaico de Penrose , un mosaico aperiódico del Plano descubierto por el físico matemático Roger Penrose . ^[5] Cuando una cometa tiene ángulos que, en su vértice y en un lado, suman un número entero positivo , entonces se pueden usar copias a escala de esa cometa para mosaico el plano en una roseta fractal en la que anillos de cometas sucesivamente más grandes rodean una punto central. ^[34] Estas rosetas se pueden utilizar para estudiar el fenómeno del colapso inelástico, en el que un sistema de partículas en movimiento que se encuentran en colisiones inelásticas se fusionan en un punto común. ^[35] ${\displaystyle \pi (1-{\tfrac {1}{n}})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Una cometa con ángulos de 60°, 90°, 120°, 90° también puede formar mosaicos en el plano mediante reflexiones repetidas en sus bordes; el mosaico resultante, el mosaico trihexagonal deltoidal , superpone un mosaico del plano mediante hexágonos regulares y triángulos isósceles. ^[16] El icositetraedro deltoidal , el hexecontaedro deltoidal y el trapezoedro son poliedros con caras congruentes en forma de cometa , ^[36] que alternativamente pueden considerarse como mosaicos de la esfera mediante cometas esféricas congruentes. ^[37] Hay infinitos mosaicos simétricos de caras del plano hiperbólico mediante cometas. ^[38] Estos poliedros (equivalentemente, mosaicos esféricos), los mosaicos trihexagonales cuadrados y deltoidales del plano euclidiano y algunos mosaicos del plano hiperbólico se muestran en la siguiente tabla, etiquetados por configuración de caras (el número de vecinos de cada uno de los cuatro vértices de cada mosaico). Algunos poliedros y mosaicos aparecen dos veces, bajo dos configuraciones de caras diferentes.

dados de diez caras

Los trapezoedros son otra familia de poliedros que tienen caras congruentes en forma de cometa. En estos poliedros, los bordes de una de las dos longitudes laterales de la cometa se encuentran en dos vértices "postales", mientras que los bordes de la otra longitud forman un camino en zigzag ecuatorial alrededor del poliedro. Son los poliedros duales de los antiprismas uniformes . ^[36] Un ejemplo comúnmente visto es el trapezoedro pentagonal , usado para dados de diez caras . ^[dieciséis]

billar exterior

El matemático Richard Schwartz ha estudiado el billar exterior sobre cometas. El billar exterior es un sistema dinámico en el que, desde un punto exterior a un conjunto convexo compacto dado en el plano, se traza una línea tangente al conjunto convexo y se viaja desde el punto inicial a lo largo de esta línea hasta otro punto igualmente alejado del punto de tangencia. y luego repite el mismo proceso. Desde la década de 1950 no se sabía si cualquier sistema definido de esta manera podría producir caminos que se alejaran arbitrariamente de su punto de partida, y en un artículo de 2007, Schwartz resolvió este problema encontrando caminos de billar ilimitados para la cometa con ángulos de 72°, 72°. , 72°, 144°, el mismo que el utilizado en el mosaico de Penrose. ^[39] Más tarde escribió una monografía analizando los billares exteriores en busca de formas de cometas de manera más general. Para este problema, cualquier transformación afín de una cometa conserva las propiedades dinámicas de los billares externos sobre ella, y es posible transformar cualquier cometa en una forma donde tres vértices estén en los puntos y , con el cuarto en el intervalo unitario abierto. . El comportamiento de los billares exteriores en cualquier cometa depende en gran medida del parámetro y, en particular, de si es racional . Para el caso de la cometa Penrose, un número irracional, donde es la proporción áurea . ^[40] ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle (0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (\alpha ,0)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1/\varphi ^{3}}$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

Referencias

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Cometa", MathWorld
• fórmulas de área con animación interactiva en Mathopenref.com