cuadrilátero equidiagonal

Un cuadrilátero equidiagonal, que muestra sus diagonales iguales, el rombo de Varignon y las bimedianas perpendiculares.

En geometría euclidiana , un cuadrilátero equidiagonal es un cuadrilátero convexo cuyas dos diagonales tienen igual longitud. Los cuadriláteros equidiagonales eran importantes en las matemáticas indias antiguas , donde los cuadriláteros se clasificaban primero según fueran equidiagonales y luego en tipos más especializados. ^[1]

Casos especiales

Ejemplos de cuadriláteros equidiagonales incluyen los trapecios , rectángulos y cuadrados isósceles .

Una cometa equidiagonal que maximiza la relación entre el perímetro y el diámetro, inscrita en un triángulo de Reuleaux.

Entre todos los cuadriláteros, la forma que tiene la mayor relación entre su perímetro y su diámetro es una cometa equidiagonal con ángulos π/3, 5π/12, 5π/6 y 5π/12. ^[2]

Caracterizaciones

Un cuadrilátero convexo es equidiagonal si y sólo si su paralelogramo de Varignon , el paralelogramo formado por los puntos medios de sus lados, es un rombo . Una condición equivalente es que las bimedianas del cuadrilátero (las diagonales del paralelogramo de Varignon) sean perpendiculares . ^[3]

Un cuadrilátero convexo con longitudes diagonales y longitudes bimedianas y es equidiagonal si y sólo si ^{[4] : ​​Proposición 1} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}$

Área

El área K de un cuadrilátero equidiagonal se puede calcular fácilmente si se conocen las longitudes de las bimedianas m y n . Un cuadrilátero es equidiagonal si y sólo si ^{[5] : p.19,   [4] : Cor.4}

${\displaystyle \displaystyle K=mn.}$

Esto es una consecuencia directa del hecho de que el área de un cuadrilátero convexo es el doble del área de su paralelogramo de Varignon y que las diagonales de este paralelogramo son las bimedianas del cuadrilátero. Usando las fórmulas para las longitudes de las bimedianas , el área también se puede expresar en términos de los lados a, b, c, d del cuadrilátero equidiagonal y la distancia x entre los puntos medios de las diagonales como ^{[5] : p.19}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}$

Se pueden obtener otras fórmulas de área estableciendo p = q en las fórmulas para el área de un cuadrilátero convexo .

Relación con otros tipos de cuadriláteros

Un paralelogramo es equidiagonal si y sólo si es un rectángulo, ^[6] y un trapezoide es equidiagonal si y sólo si es un trapezoide isósceles . Los cuadriláteros equidiagonales cíclicos son exactamente los trapecios isósceles.

Existe una dualidad entre cuadriláteros equidiagonales y cuadriláteros ortodiagonales : un cuadrilátero es equidiagonal si y sólo si su paralelogramo de Varignon es ortodiagonal (un rombo), y el cuadrilátero es ortodiagonal si y sólo si su paralelogramo de Varignon es equidiagonal (un rectángulo). ^[3] De manera equivalente, un cuadrilátero tiene diagonales iguales si y solo si tiene bimedianas perpendiculares, y tiene diagonales perpendiculares si y solo si tiene bimedianas iguales. ^[7] Silvester (2006) ofrece más conexiones entre cuadriláteros equidiagonales y ortodiagonales, a través de una generalización del teorema de van Aubel . ^[8]

Los cuadriláteros que son tanto ortodiagonales como equidiagonales, y en los que las diagonales son al menos tan largas como todos los lados del cuadrilátero, tienen el área máxima para su diámetro entre todos los cuadriláteros, resolviendo el caso n  = 4 del problema del polígono pequeño más grande . El cuadrado es uno de esos cuadriláteros, pero hay infinitos otros. Los cuadriláteros equidiagonales y ortodiagonales se denominan cuadriláteros medios cuadrados ^{[4] : ​​p. 137} porque son los únicos para los cuales el paralelogramo de Varignon (con vértices en los puntos medios de los lados del cuadrilátero) es un cuadrado. Tal cuadrilátero, con lados sucesivos a, b, c, d , tiene área ^{[4] : ​​Thm.16}

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}\left(a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}\right).}$

Un paralelogramo medio cuadrado es exactamente un cuadrado.

• 
  ejemplo de un cuadrilátero medio cuadrado
• 
  un trapecio medio cuadrado
• 
  una cometa midsquare
• 
  un "paralelogramo medio cuadrado", un cuadrado

Referencias

1. Colebrooke, Henry-Thomas (1817), Álgebra, con aritmética y medición, del sánscrito de Brahmegupta y Bhascara, John Murray, p. 58.
2. Ball, DG (1973), "Una generalización de π", Mathematical Gazette , 57 (402): 298–303, doi :10.2307/3616052, Griffiths, David; Culpin, David (1975), "Polígonos pi-óptimos", Mathematical Gazette , 59 (409): 165–175, doi :10.2307/3617699.
3. de Villiers, Michael (2009), Algunas aventuras en geometría euclidiana, aprendizaje dinámico de matemáticas, p. 58, ISBN 9780557102952.
4. Josefsson, Martin (2014), "Propiedades de los cuadriláteros equidiagonales", Forum Geometriorum , 14 : 129-144.
5. Josefsson, Martin (2013), "Cinco pruebas de una caracterización de área de rectángulos" (PDF) , Forum Geometriorum , 13 : 17-21.
6. Gerdes, Paulus (1988), "Sobre la cultura, el pensamiento geométrico y la educación matemática", Estudios Educativos en Matemáticas , 19 (2): 137–162, doi :10.1007/bf00751229, JSTOR  3482571.
7. Josefsson, Martin (2012), "Caracterizaciones de cuadriláteros ortodiagonales" (PDF) , Forum Geometriorum , 12 : 13-25. Véase en particular el Teorema 7 en la p. 19.
8. Silvester, John R. (2006), "Extensiones de un teorema de Van Aubel", The Mathematical Gazette , 90 (517): 2–12, JSTOR  3621406.