En geometría euclidiana , una cometa recta es una cometa (un cuadrilátero cuyos cuatro lados se pueden agrupar en dos pares de lados de igual longitud que son adyacentes entre sí) que se puede inscribir en un círculo. [1] Es decir, es una cometa con un círculo circunscrito (es decir, una cometa cíclica ). Por lo tanto, la cometa recta es un cuadrilátero convexo y tiene dos ángulos rectos opuestos . [2] Si hay exactamente dos ángulos rectos, cada uno debe estar entre lados de diferentes longitudes. Todas las cometas rectas son cuadriláteros bicéntricos (cuadriláteros con un círculo circunscrito y un círculo inscrito), ya que todas las cometas tienen un círculo inscrito . Una de las diagonales (la que es un eje de simetría ) divide a la cometa recta en dos triángulos rectángulos y también es un diámetro del círculo circunscrito.
En un cuadrilátero tangencial (uno con un círculo inscrito), los cuatro segmentos de línea entre el centro del círculo inscrito y los puntos donde es tangente al cuadrilátero dividen el cuadrilátero en cuatro cometas rectas.
Un caso especial de cometas rectas son los cuadrados , donde las diagonales tienen longitudes iguales y el círculo inscrito y el círculo circunscrito son concéntricos .
Una cometa es una cometa recta si y solo si tiene un círculo circunscrito (por definición). Esto es equivalente a que sea una cometa con dos ángulos rectos opuestos.
Dado que una cometa recta se puede dividir en dos triángulos rectángulos, las siguientes fórmulas métricas se deducen fácilmente de las propiedades bien conocidas de los triángulos rectángulos. En una cometa recta ABCD donde los ángulos opuestos B y D son ángulos rectos, los otros dos ángulos se pueden calcular a partir de
donde a = AB = AD y b = BC = CD . El área de una cometa recta es
La diagonal AC que es una línea de simetría tiene la longitud
y, como las diagonales son perpendiculares (por lo que una cometa recta es un cuadrilátero ortodiagonal con área ), la otra diagonal BD tiene la longitud
El radio del círculo circunscrito es (según el teorema de Pitágoras )
y, como todas las cometas son cuadriláteros tangenciales , el radio del círculo inscrito está dado por
donde s es el semiperímetro.
El área se da en términos del radio circunscrito R y el radio interno r como [3]
Si tomamos los segmentos que se extienden desde la intersección de las diagonales hasta los vértices en el sentido de las agujas del reloj como , , , y , entonces,
Este es un resultado directo del teorema de la media geométrica .
El polígono dual de una cometa recta es un trapezoide tangencial isósceles . [1]
A veces, una cometa recta se define como una cometa con al menos un ángulo recto. [4] Si solo hay un ángulo recto, debe estar entre dos lados de igual longitud; en este caso, las fórmulas dadas anteriormente no se aplican.
