En geometría , una diagonal es un segmento de recta que une dos vértices de un polígono o poliedro , cuando esos vértices no están en la misma arista . Informalmente, cualquier línea inclinada se llama diagonal. La palabra diagonal deriva del griego antiguo διαγώνιος diagonios , [1] "de esquina a esquina" (de διά- dia- , "a través", "a través" y γωνία gonia , "esquina", relacionado con gony "rodilla"); fue utilizado tanto por Estrabón [2] como por Euclides [3] para referirse a una línea que conecta dos vértices de un rombo o cuboide , [4] y luego adoptado en latín como diagonus ("línea inclinada").
Aplicada a un polígono , una diagonal es un segmento de línea que une dos vértices cualesquiera no consecutivos. Por tanto, un cuadrilátero tiene dos diagonales, que unen pares de vértices opuestos. Para cualquier polígono convexo , todas las diagonales están dentro del polígono, pero para los polígonos reentrantes , algunas diagonales están fuera del polígono.
Cualquier polígono de n lados ( n ≥ 3), convexo o cóncavo , tiene diagonales totales , ya que cada vértice tiene diagonales a todos los demás vértices excepto a sí mismo y a los dos vértices adyacentes, o n − 3 diagonales, y cada diagonal es compartida por dos vértices. .
En general, un polígono regular de n lados tiene diagonales distintas de longitud, que siguen el patrón 1,1,2,2,3,3... comenzando desde un cuadrado.
En un polígono convexo , si no hay tres diagonales concurrentes en un solo punto del interior, el número de regiones en las que las diagonales dividen el interior viene dado por
Para n -gons con n =3, 4, ... el número de regiones es [5]
Esta es la secuencia OEIS A006522. [6]
Si no hay tres diagonales de un polígono convexo concurrentes en un punto interior, el número de intersecciones interiores de diagonales viene dado por . [7] [8] Esto es válido, por ejemplo, para cualquier polígono regular con un número impar de lados. La fórmula se deriva del hecho de que cada intersección está determinada únicamente por los cuatro puntos finales de las dos diagonales que se cruzan: el número de intersecciones es, por tanto, el número de combinaciones de los n vértices, cuatro a la vez.
Aunque el número de diagonales distintas en un polígono aumenta a medida que aumenta su número de lados, se puede calcular la longitud de cualquier diagonal.
En un n-gón regular con longitud de lado a , la longitud de la x-ésima diagonal distinta más corta es:
Esta fórmula muestra que a medida que el número de lados se acerca al infinito, la x-ésima diagonal más corta se acerca a la longitud (x+1)a . Además, la fórmula para la diagonal más corta se simplifica en el caso de x = 1:
Si el número de lados es par, la diagonal más larga será equivalente al diámetro del círculo circunstante del polígono porque todas las diagonales largas se cruzan entre sí en el centro del polígono.
Los casos especiales incluyen:
Un cuadrado tiene dos diagonales de igual longitud, que se cortan en el centro del cuadrado. La razón entre una diagonal y un lado es
Un pentágono regular tiene cinco diagonales, todas de la misma longitud. La proporción entre una diagonal y un lado es la proporción áurea .
Un hexágono regular tiene nueve diagonales: las seis más cortas son iguales en longitud; los tres más largos son iguales en longitud y se cruzan en el centro del hexágono. La razón entre una diagonal larga y un lado es 2 y la razón entre una diagonal corta y un lado es .
Un heptágono regular tiene 14 diagonales. Los siete más cortos son iguales entre sí y los siete más largos son iguales entre sí. El recíproco del lado es igual a la suma de los recíprocos de una diagonal corta y una larga.
Un poliedro (un objeto sólido en un espacio tridimensional , delimitado por caras bidimensionales ) puede tener dos tipos diferentes de diagonales: diagonales de caras en las distintas caras, que conectan vértices no adyacentes en una misma cara; y diagonales espaciales, enteramente en el interior del poliedro (excepto los puntos finales de los vértices).
Las longitudes de las diagonales de un hipercubo de n dimensiones se pueden calcular mediante inducción matemática . La diagonal más larga de un n-cubo es . Además, existen las de la xésima diagonal más corta. Como ejemplo, un cubo de 5 tendría las diagonales:
Su número total de diagonales es 416. En general, un n-cubo tiene un total de diagonales. Esto se desprende de la forma más general de que describe el número total de diagonales de caras y espacios en politopos convexos. [9] Aquí, v representa el número de vértices y e representa el número de aristas.
Por analogía, el subconjunto del producto cartesiano X × X de cualquier conjunto X consigo mismo, que consta de todos los pares (x,x), se llama diagonal y es la gráfica de la relación de igualdad en X o, de manera equivalente, la gráfica de la función de identidad de X a X . Esto juega un papel importante en la geometría; por ejemplo, los puntos fijos de una aplicación F de X a sí mismo se pueden obtener cortando la gráfica de F con la diagonal.
En los estudios geométricos, la idea de intersectar la diagonal consigo misma es común, no directamente, sino perturbándola dentro de una clase de equivalencia . Esto se relaciona en un nivel profundo con la característica de Euler y los ceros de los campos vectoriales . Por ejemplo, el círculo S 1 tiene números de Betti 1, 1, 0, 0, 0 y, por lo tanto, característica de Euler 0. Una forma geométrica de expresar esto es mirar la diagonal de los dos toros S 1 xS 1 y observar que puede alejarse de sí mismo mediante el pequeño movimiento (θ, θ) a (θ, θ + ε). En general, el número de intersección de la gráfica de una función con la diagonal se puede calcular mediante homología mediante el teorema del punto fijo de Lefschetz ; la autointersección de la diagonal es el caso especial de la función de identidad.
