En geometría , un prisma triangular o prisma trigonal [1] es un prisma con dos bases triangulares. Si las aristas se emparejan con el vértice de cada triángulo y son perpendiculares a la base, se trata de un prisma triangular rectángulo . Un prisma triangular rectángulo puede ser tanto semirregular como uniforme .
El prisma triangular se puede utilizar para construir otro poliedro. Algunos ejemplos son los sólidos de Johnson , el prisma triangular rectángulo truncado y el poliedro de Schönhardt .
Un prisma triangular tiene 6 vértices, 9 aristas y 5 caras. Cada prisma tiene 2 caras congruentes conocidas como sus bases , y las bases de un prisma triangular son triángulos . El triángulo tiene 3 vértices, cada uno de los cuales se empareja con el vértice de otro triángulo, formando otras 3 aristas. Estas aristas forman 3 paralelogramos como otras caras. [2] Si las aristas del prisma son perpendiculares a la base, las caras laterales son rectángulos y el prisma se llama prisma triangular rectángulo . [3] Este prisma también puede considerarse un caso especial de cuña . [4]
Si la base es equilátera y las caras laterales son cuadradas , entonces el prisma triangular rectángulo es semirregular . Un prisma semirregular significa que el número de aristas de su base poligonal es igual al número de sus caras cuadradas. [5] De manera más general, el prisma triangular es uniforme . Esto significa que un prisma triangular tiene caras regulares y tiene una simetría isogonal en los vértices. [6] El grupo de simetría tridimensional de un prisma triangular rectángulo es el grupo diedro D 3 h de orden 12: la apariencia no cambia si el prisma triangular se gira un ángulo y dos tercios completo alrededor de su eje de simetría que pasa por la base del centro y se refleja a través de un plano horizontal. El poliedro dual de un prisma triangular es una bipirámide triangular . La bipirámide triangular tiene la misma simetría que el prisma triangular. [1] El ángulo diedro entre dos caras cuadradas adyacentes es el ángulo interno de un triángulo equilátero π /3 = 60° , y el de un cuadrado y un triángulo es π /2 = 90° . [7]
El volumen de cualquier prisma es el producto del área de la base por la distancia entre las dos bases. [8] En el caso de un prisma triangular, su base es un triángulo, por lo que su volumen se puede calcular multiplicando el área de un triángulo por la longitud del prisma: donde b es la longitud de un lado del triángulo, h es la longitud de una altura dibujada a ese lado y l es la distancia entre las caras triangulares. [9] En el caso de un prisma triangular rectángulo, donde todas sus aristas tienen la misma longitud l , su volumen se puede calcular como el producto del área del triángulo equilátero por la longitud l : [10]
El prisma triangular se puede representar como el gráfico de prisma Π 3 . De manera más general, el gráfico de prisma Π n representa el prisma de n lados. [11]
Más allá de la bipirámide triangular como su poliedro dual, muchos otros poliedros están relacionados con el prisma triangular. Un sólido de Johnson es un poliedro convexo con caras regulares, y esta definición a veces se omite en poliedros uniformes como los sólidos de Arquímedes , los sólidos de Catalan , los prismas y los antiprismas . [12] Hay 6 sólidos de Johnson con su construcción que involucra al prisma triangular: pirámide triangular alargada , bipirámide triangular alargada , girobifastigio , prisma triangular aumentado , prisma triangular biaumentado y prisma triangular triaumentado . La pirámide triangular alargada y la pirámide triangular giroelongada se construyen uniendo un tetraedro a la base de un prisma triangular. El prisma triangular aumentado, el prisma triangular biaumentado y el prisma triangular triaumentado se construyen uniendo pirámides cuadradas equiláteras a la cara cuadrada del prisma. El girobifastigio se construye uniendo dos prismas triangulares a lo largo de una de sus caras cuadradas. [13]
Un prisma triangular truncado es un prisma triangular construido truncando su parte en un ángulo oblicuo. Como resultado, las dos bases no son paralelas y cada altura tiene una longitud de arista diferente. Si las aristas que unen las bases son perpendiculares a una de sus bases, el prisma se llama prisma triangular rectángulo truncado . Dado que A es el área de la base del prisma triangular y las tres alturas h 1 , h 2 y h 3 , su volumen se puede determinar con la siguiente fórmula: [14]
El poliedro de Schönhardt es otro poliedro construido a partir de un prisma triangular con bases de triángulos equiláteros. De esta manera, una de sus bases gira alrededor de la línea central del prisma y rompe las caras cuadradas en polígonos oblicuos . Cada cara cuadrada se puede volver a triangular con dos triángulos para formar un ángulo diedro no convexo. [15] Como resultado, el poliedro de Schönhardt no se puede triangular mediante una partición en tetraedros. También es que el poliedro de Schönhardt no tiene diagonales internas. [16] Recibe su nombre del matemático alemán Erich Schönhardt , quien lo describió en 1928, aunque la estructura relacionada fue exhibida por el artista Karlis Johansons en 1921. [17]
Existen 4 compuestos uniformes de prismas triangulares: compuesto de cuatro prismas triangulares , compuesto de ocho prismas triangulares , compuesto de diez prismas triangulares y compuesto de veinte prismas triangulares . [18]
Hay 9 panales uniformes que incluyen celdas prismáticas triangulares:
El prisma triangular es el primero de una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir de la figura de vértice del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como la que contiene todas las facetas de los politopos regulares , que contienen todos los símplex y ortoplexes ( triángulos equiláteros y cuadrados en el caso del prisma triangular). En la notación de Coxeter , el prisma triangular recibe el símbolo −1 21 .
El prisma triangular existe como células de una serie de 4-politopos uniformes de cuatro dimensiones , entre los que se incluyen:
