Pirámide triangular alargada

Poliedro construido con tetraedros y un prisma triangular.

Johnson sólido J ₇ .

En geometría , la pirámide triangular alargada es uno de los sólidos de Johnson ( J ₇ ). Como sugiere el nombre, se puede construir alargando un tetraedro uniendo un prisma triangular a su base. Como cualquier pirámide alargada , el sólido resultante es topológicamente (pero no geométricamente) autodual .

Construcción

La pirámide triangular alargada se construye a partir de un prisma triangular uniendo un tetraedro regular a una de sus bases, un proceso conocido como alargamiento . ^[1] El tetraedro cubre un triángulo equilátero , reemplazándolo por otros tres triángulos equiláteros, de modo que el poliedro resultante tiene como caras cuatro triángulos equiláteros y tres cuadrados . ^[2] Un poliedro convexo en el que todas las caras son polígonos regulares se llama sólido de Johnson , y entre ellos se encuentra la pirámide triangular alargada, enumerada como el séptimo sólido de Johnson . ^[3] ${\displaystyle J_{7}}$

Propiedades

Una pirámide triangular alargada con una longitud de arista tiene una altura sumando la altura de un tetraedro regular y un prisma triangular: ^[4] Su área de superficie se puede calcular sumando el área de los ocho triángulos equiláteros y los tres cuadrados: ^[2] y su volumen se puede calcular dividiéndolo en un tetraedro regular y un prisma, sumando su volumen: ^[2] : ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \left(1+{\frac {\sqrt {6}}{3}}\right)a\approx 1.816a.}$$ $${\displaystyle \left(3+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 4.732a^{2},}$$ $${\displaystyle \left({\frac {1}{12}}\left({\sqrt {2}}+3{\sqrt {3}}\right)\right)a^{3}\approx 0.551a^{3}.}$$

Tiene el grupo de simetría tridimensional , el grupo cíclico de orden 6. Su ángulo diédrico se puede calcular sumando el ángulo del tetraedro y el prisma triangular: ^[5] ${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$

• el ángulo diédrico de un tetraedro entre dos caras triangulares adyacentes es ; ${\textstyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 70.5^{\circ }}$
• el ángulo diédrico del prisma triangular entre el cuadrado y sus bases es , y el ángulo diédrico entre el cuadrado y el triángulo, en el borde donde se unen el tetraedro y el prisma triangular, es ; ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}=90^{\circ }}$ ${\textstyle \arccos \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 160.5^{\circ }}$
• El ángulo diédrico del prisma triangular entre dos caras cuadradas adyacentes es el ángulo interno de un triángulo equilátero . ${\textstyle {\frac {\pi }{3}}=60^{\circ }}$

Poliedro dual

Topológicamente, la pirámide triangular alargada es su propio dual. Geométricamente, el dual tiene siete caras irregulares: un triángulo equilátero, tres triángulos isósceles y tres trapecios isósceles.

Poliedros y panales relacionados

La pirámide triangular alargada puede formar un mosaico del espacio con pirámides cuadradas y/u octaedros . ^[6]

Referencias

1. Rajwade, AR (2001). Poliedros convexos con condiciones de regularidad y tercer problema de Hilbert. Textos y Lecturas en Matemáticas. Agencia de libros Hindustan. pag. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
2. Berman, Martín (1971). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista del Instituto Franklin . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. SEÑOR  0290245.
3. Uehara, Ryuhei (2020). Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional. Saltador. pag. 62.doi :10.1007/978-981-15-4470-5 . ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
4. Sapiña, R. "Área y volumen del sólido de Johnson J 8 {\displaystyle J_ {8}}". Problemas y Ecuaciones (en español). ISSN  2659-9899 . Consultado el 9 de septiembre de 2020 .
5. Johnson, Norman W. (1966). "Poliedros convexos de caras regulares". Revista Canadiense de Matemáticas . 18 : 169-200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . SEÑOR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
6. "Panal J7".

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Johnson solid" ("Pirámide triangular alargada") en MathWorld .