En geometría , un politopo uniforme de dimensión tres o superior es un politopo transitivo de vértice delimitado por facetas uniformes . Los politopos uniformes en dos dimensiones son los polígonos regulares (la definición es diferente en 2 dimensiones para excluir los polígonos de lados pares transitivos por vértices que alternan dos longitudes diferentes de aristas).
Ésta es una generalización de la categoría más antigua de politopos semirregulares , pero también incluye los politopos regulares . Además, se permiten caras regulares de estrella y figuras de vértices ( polígonos de estrella ), lo que amplía enormemente las posibles soluciones. Una definición estricta requiere que los politopos uniformes sean finitos, mientras que una definición más amplia permite que los panales uniformes ( mosaicos bidimensionales y panales de dimensiones superiores ) del espacio euclidiano e hiperbólico también se consideren politopos.
Casi todos los politopos uniformes pueden generarse mediante una construcción de Wythoff y representarse mediante un diagrama de Coxeter . Las excepciones notables incluyen el gran dirhombicosidodecaedro en tres dimensiones y el gran antiprisma en cuatro dimensiones. La terminología para los politopos uniformes convexos utilizados en poliedros uniformes , 4 politopos uniformes , 5 politopos uniformes , 6 politopos uniformes , mosaicos uniformes y artículos de panal uniformes convexos fueron acuñados por Norman Johnson . [ cita necesaria ]
De manera equivalente, los politopos wythoffianos se pueden generar aplicando operaciones básicas a los politopos regulares en esa dimensión. Este enfoque fue utilizado por primera vez por Johannes Kepler y es la base de la notación poliédrica de Conway .
Los n-politopos regulares tienen n órdenes de rectificación . La rectificación cero es la forma original. La ( n −1)-ésima rectificación es la dual . Una rectificación reduce las aristas a vértices, una birectificación reduce las caras a vértices, una trirectificación reduce las celdas a vértices, una cuadirectificación reduce 4 caras a vértices, una quintirectificación reduce 5 caras a vértices, y así sucesivamente.
Se puede utilizar un símbolo de Schläfli extendido para representar formas rectificadas, con un solo subíndice:
Operaciones de truncamiento que se pueden aplicar a n -politopos regulares en cualquier combinación. El diagrama de Coxeter resultante tiene dos nodos anillados y la operación recibe el nombre de la distancia entre ellos. El truncamiento corta los vértices, la cantelación corta los bordes, la runcinación corta las caras, la estericación corta las células. Cada operación superior también corta las inferiores, por lo que una cantelación también trunca los vértices.
Además, se pueden realizar combinaciones de truncamientos que también generan nuevos politopos uniformes. Por ejemplo, un runcitruncamiento es un runcination y un truncamiento aplicados juntos.
Si todos los truncamientos se aplican a la vez, la operación puede denominarse de manera más general omnitruncamiento .
Una operación especial, llamada alternancia , elimina vértices alternos de un politopo que sólo tiene caras pares. Un politopo omnitruncado alterno se llama chato .
Los politopos resultantes siempre se pueden construir y generalmente no son reflectantes y, en general, tampoco tienen soluciones de politopos uniformes .
Al conjunto de politopos formados por la alternancia de los hipercubos se les conoce como demicubos . En tres dimensiones, esto produce un tetraedro ; en cuatro dimensiones, esto produce un demitesseract de 16 celdas .
Se pueden construir politopos uniformes a partir de su figura de vértice , la disposición de aristas, caras, celdas, etc. alrededor de cada vértice. Los politopos uniformes representados por un diagrama de Coxeter , que marca espejos activos mediante anillos, tienen simetría reflexiva y pueden construirse simplemente mediante reflexiones recursivas de la figura del vértice.
Un número menor de politopos uniformes no reflexivos tienen una única figura de vértice pero no se repiten mediante reflexiones simples. La mayoría de estos se pueden representar con operaciones como alternancia de otros politopos uniformes.
Las figuras de vértice para diagramas de Coxeter de anillo único se pueden construir a partir del diagrama eliminando el nodo anillado y haciendo sonar los nodos vecinos. Estas figuras de vértice son en sí mismas transitivas por vértice.
Los politopos de anillos múltiples se pueden construir mediante un proceso de construcción un poco más complicado y su topología no es un politopo uniforme. Por ejemplo, la figura del vértice de un politopo regular truncado (con 2 anillos) es una pirámide. Un politopo omnitruncado (todos los nodos anillados) siempre tendrá un símplex irregular como figura de vértice.
Los politopos uniformes tienen aristas de igual longitud y todos los vértices están a la misma distancia del centro, llamado circunradio .
Los politopos uniformes cuyo circunradio es igual a la longitud del borde se pueden utilizar como figuras de vértice para panales uniformes . Por ejemplo, el hexágono regular se divide en 6 triángulos equiláteros y es la figura del vértice del mosaico triangular regular . También el cuboctaedro se divide en 8 tetraedros regulares y 6 pirámides cuadradas (medio octaedro ), y es la figura de vértice del panal cúbico alternado .
Es útil clasificar los politopos uniformes por dimensión. Esto equivale al número de nodos en el diagrama de Coxeter, o al número de hiperplanos en la construcción Wythoffiana. Debido a que los politopos ( n +1)-dimensionales son mosaicos de n -espacio esférico dimensional, los mosaicos de n -dimensionales espacios euclidiano e hiperbólico también se consideran ( n +1)-dimensionales. Por tanto, los mosaicos del espacio bidimensional se agrupan con los sólidos tridimensionales.
El único politopo unidimensional es el segmento de recta. Corresponde a la familia Coxeter A 1 .
En dos dimensiones, existe una familia infinita de politopos uniformes convexos, los polígonos regulares , siendo el más simple el triángulo equilátero . Los polígonos regulares truncados se convierten en polígonos bicolores geométricamente cuasiregulares del doble de lados, t{p}={2p}. Los primeros polígonos regulares (y formas cuasiregulares) se muestran a continuación:
También hay un conjunto infinito de polígonos estrella (uno por cada número racional mayor que 2), pero no son convexos. El ejemplo más sencillo es el pentagrama , que corresponde al número racional 5/2. Los polígonos de estrellas regulares, {p/q}, se pueden truncar en polígonos de estrellas semirregulares, t{p/q}=t{2p/q}, pero se convierten en coberturas dobles si q es par. También se puede realizar un truncamiento con un polígono de orientación inversa t{p/(pq)}={2p/(pq)}, por ejemplo t{5/3}={10/3}.
Polígonos regulares, representados por el símbolo de Schläfli {p} para un p-gon. Los polígonos regulares son autoduales, por lo que la rectificación produce el mismo polígono. La operación de truncamiento uniforme duplica los lados a {2p}. La operación de desaire, alternando el truncamiento, restaura el polígono original {p}. Por tanto, todos los polígonos uniformes también son regulares. Se pueden realizar las siguientes operaciones en polígonos regulares para derivar polígonos uniformes, que también son polígonos regulares:
En tres dimensiones, la situación se vuelve más interesante. Hay cinco poliedros regulares convexos, conocidos como sólidos platónicos :
Además de estos, también existen 13 poliedros semirregulares, o sólidos de Arquímedes , que se pueden obtener mediante construcciones de Wythoff , o realizando operaciones como el truncamiento de los sólidos platónicos, como se demuestra en la siguiente tabla:
También existe el conjunto infinito de prismas , uno por cada polígono regular, y un conjunto correspondiente de antiprismas .
Los poliedros estelares uniformes incluyen otros 4 poliedros estelares regulares, los poliedros de Kepler-Poinsot y 53 poliedros estelares semirregulares. También hay dos conjuntos infinitos, los prismas estelares (uno por cada polígono estelar) y los antiprismas estelares (uno por cada número racional mayor que 3/2).
Los poliedros y mosaicos uniformes de Wythoff se pueden definir mediante su símbolo de Wythoff , que especifica la región fundamental del objeto. Una extensión de la notación Schläfli , también utilizada por Coxeter , se aplica a todas las dimensiones; consta de la letra 't', seguida de una serie de números subíndices correspondientes a los nodos anillados del diagrama de Coxeter , y seguido del símbolo Schläfli del politopo de semillas regular. Por ejemplo, el octaedro truncado se representa mediante la notación: t 0,1 {3,4}.
En cuatro dimensiones, hay 6 4 politopos regulares convexos , 17 prismas en los sólidos platónico y de Arquímedes (excluido el cubo-prisma, que ya ha sido contado como teseracto ), y dos conjuntos infinitos: los prismas en los antiprismas convexos, y los duoprismas . También hay 41 politopos semirregulares convexos de 4, incluido el gran antiprisma no wythoffiano y el chato de 24 celdas . Ambos politopos especiales de 4 están compuestos por subgrupos de los vértices de las 600 celdas .
No se han enumerado todos los politopos estelares uniformes de cuatro dimensiones. Los que tienen incluyen los 4 politopos de 10 estrellas regulares (Schläfli-Hess) y 57 prismas en los poliedros estelares uniformes, así como tres familias infinitas: los prismas en los antiprismas estelares, los duoprismas formados al multiplicar dos polígonos estelares, y los duoprismas se forman multiplicando un polígono ordinario por un polígono estrella. Hay un número desconocido de 4 politopos que no encajan en las categorías anteriores; Hasta ahora se han descubierto más de mil.
Cada politopo regular puede verse como imágenes de una región fundamental en un pequeño número de espejos. En un politopo de 4 dimensiones (o panal cúbico de 3 dimensiones), la región fundamental está delimitada por cuatro espejos. Un espejo en el espacio 4 es un hiperplano tridimensional , pero para nuestros propósitos es más conveniente considerar solo su intersección bidimensional con la superficie tridimensional de la hiperesfera ; así los espejos forman un tetraedro irregular .
Cada uno de los dieciséis 4 politopos regulares es generado por uno de los cuatro grupos de simetría, de la siguiente manera:
(Los grupos se nombran en notación Coxeter ).
Ocho de los panales uniformes convexos en el espacio tridimensional euclidiano se generan de manera análoga a partir del panal cúbico {4,3,4}, aplicando las mismas operaciones utilizadas para generar los 4 politopos uniformes de Wythoff.
Para una simetría simplex dada, un punto generador se puede colocar en cualquiera de los cuatro vértices, 6 aristas, 4 caras o el volumen interior. Sobre cada uno de estos 15 elementos hay un punto cuyas imágenes, reflejadas en los cuatro espejos, son los vértices de un 4 politopo uniforme.
Los símbolos de Schläfli extendidos están formados por una t seguida de la inclusión de uno a cuatro subíndices 0,1,2,3. Si hay un subíndice, el punto generador está en una esquina de la región fundamental, es decir, un punto donde se encuentran tres espejos. Estas esquinas se anotan como
(Para los dos 4 politopos autoduales, "dual" significa un 4 politopo similar en posición dual). Dos o más subíndices significan que el punto generador está entre las esquinas indicadas.
A continuación se resumen las 15 formas constructivas por familia. Las familias autoduales se enumeran en una columna y otras en dos columnas con entradas compartidas en los diagramas simétricos de Coxeter . La última décima fila enumera las construcciones chatas de 24 celdas. Esto incluye todos los 4 politopos uniformes no prismáticos, excepto el gran antiprisma no wythoffiano , que no tiene familia Coxeter.
La siguiente tabla define los 15 formularios. Cada formulario de truncamiento [ revisar ortografía ] puede tener de uno a cuatro tipos de celdas, ubicadas en las posiciones 0,1,2,3 como se definió anteriormente. Las celdas están etiquetadas mediante notación de truncamiento poliédrico.
Existen medias construcciones con agujeros en lugar de nudos anillados. Las ramas vecinas a los agujeros y a los nodos inactivos deben estar en orden par. La mitad de la construcción tiene los vértices de una construcción con anillos idénticos.
En cinco dimensiones y superiores, hay 3 politopos regulares, el hipercubo , el simplex y el politopo cruzado . Son generalizaciones del cubo tridimensional, tetraedro y octaedro, respectivamente. No existen politopos estelares regulares en estas dimensiones. La mayoría de los politopos uniformes de dimensiones superiores se obtienen modificando los politopos regulares o tomando el producto cartesiano de politopos de dimensiones inferiores.
En seis, siete y ocho dimensiones entran en juego los excepcionales grupos de Lie simples , E 6 , E 7 y E 8 . Al colocar anillos en un número distinto de cero de nodos de los diagramas de Coxeter , se pueden obtener 39 nuevos 6 politopos, 127 nuevos 7 politopos y 255 nuevos 8 politopos. Un ejemplo notable es el politopo 4 21 .
Relacionados con el tema de los politopos uniformes finitos están los panales uniformes en espacios euclidianos e hiperbólicos. Los panales uniformes euclidianos son generados por grupos de Coxeter afines y los panales hiperbólicos son generados por los grupos de Coxeter hiperbólicos . Se pueden multiplicar dos grupos de Coxeter afines.
Hay dos clases de grupos de Coxeter hiperbólicos, compactos y paracompactos. Los panales uniformes generados por grupos compactos tienen facetas y figuras de vértices finitas y existen en 2 a 4 dimensiones. Los grupos paracompactos tienen subgrafos afines o hiperbólicos y facetas infinitas o figuras de vértices, y existen en 2 a 10 dimensiones.