En geometría de ocho dimensiones , el 4 21 es un 8-politopo uniforme semirregular , construido dentro de la simetría del grupo E 8 . Fue descubierto por Thorold Gosset , publicado en su artículo de 1900. Lo llamó figura semirregular 8-ica . [1]
Su símbolo de Coxeter es 4 21 , que describe su diagrama bifurcado de Coxeter-Dynkin , con un solo anillo en el extremo de las secuencias de 4 nodos,
.
El 4 21 rectificado se construye mediante puntos en los bordes medios del 4 21 . El 4 21 birectificado se construye mediante puntos en los centros de las caras del triángulo del 4 21 . El 4 21 trirectificado se construye mediante puntos en los centros tetraédricos del 4 21 .
Estos politopos son parte de una familia de 255 = 2 8 − 1 8-politopos uniformes convexos , compuestos de facetas de 7-politopos uniformes y figuras de vértice , definidos por todas las permutaciones de uno o más anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin:.
El politopo 4 21 tiene 17 280 facetas 7-símplex y 2160 facetas 7-ortoplex , y 240 vértices. Su figura de vértice es el politopo 3 21. Como sus vértices representan los vectores raíz del grupo de Lie simple E 8 , a este politopo a veces se lo denomina politopo raíz E 8 .
Los vértices de este politopo también se pueden obtener tomando los 240 octoniones enteros de norma 1. Debido a que los octoniones son un álgebra de división normada no asociativa , estos 240 puntos tienen una operación de multiplicación que los convierte no en un grupo sino en un bucle , de hecho un bucle de Moufang .
Para su visualización, este politopo de ocho dimensiones suele mostrarse en una dirección de proyección ortográfica sesgada especial que encaja sus 240 vértices dentro de un triacontágono regular (llamado polígono de Petrie ). Sus 6720 aristas se dibujan entre los 240 vértices. También se pueden extraer y dibujar elementos superiores específicos (caras, celdas, etc.) en esta proyección.
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones.
Los 240 vértices del politopo 4 21 se pueden construir en dos conjuntos: 112 ( 2 2 × 8 C 2 ) con coordenadas obtenidas de tomando una combinación arbitraria de signos y una permutación arbitraria de coordenadas, y 128 raíces (2 7 ) con coordenadas obtenidas de tomando un número par de signos menos (o, equivalentemente, requiriendo que la suma de las ocho coordenadas sea un múltiplo de 4).
Cada vértice tiene 56 vecinos más próximos; por ejemplo, los vecinos más próximos del vértice son aquellos cuyas coordenadas suman 4, es decir, los 28 obtenidos al permutar las coordenadas de y los 28 obtenidos al permutar las coordenadas de . Estos 56 puntos son los vértices de un politopo de 3 21 en 7 dimensiones.
Cada vértice tiene 126 segundos vecinos más próximos: por ejemplo, los vecinos más próximos del vértice son aquellos cuyas coordenadas suman 0, es decir, los 56 que se obtienen al permutar las coordenadas de y los 70 que se obtienen al permutar las coordenadas de . Estos 126 puntos son los vértices de un politopo de 2 31 en 7 dimensiones.
Cada vértice también tiene 56 terceros vecinos más cercanos, que son los negativos de sus vecinos más cercanos, y un vértice antípoda, para un total de vértices.
Otra construcción consiste en tomar una combinación con signo de 14 palabras de código de Hamming extendido de 8 bits (8,4) que dan 14 × 2 4 = 224 vértices y agregar un eje con signo trivial para los últimos 16 vértices. En este caso, los vértices son la distancia de desde el origen en lugar de .
Código Hamming de 8 bits 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ⇒ ± ± ± ± 0 0 0 0 2 1 1 0 0 1 1 0 0 ⇒ ± ± 0 0 ± ± 0 0 3 0 0 1 1 1 1 0 0 ⇒ 0 0 ± ± ± ± 0 0 4 1 0 1 0 1 0 1 0 ⇒ ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 ±2 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 0 1 1 0 1 0 ⇒ 0 ± 0 ± ± 0 ± 0 0 ±2 0 0 0 0 0 0 6 0 1 1 0 0 1 1 0 ⇒ 0 ± ± 0 0 ± ± 0 0 0 ±2 0 0 0 0 0 7 1 0 0 1 0 1 1 0 ⇒ ± 0 0 ± 0 ± ± 0 0 0 0 ±2 0 0 0 0 8 0 1 1 0 1 0 0 1 ⇒ 0 ± ± 0 ± 0 0 ± 0 0 0 0 ±2 0 0 0 9 1 0 0 1 1 0 0 1 ⇒ ± 0 0 ± ± 0 0 ± 0 0 0 0 0 ±2 0 0 A 1 0 1 0 0 1 0 1 ⇒ ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 0 0 0 0 0 ±2 0 B 0 1 0 1 0 1 0 1 ⇒ 0 ± 0 ± 0 ± 0 ± 0 0 0 0 0 0 0 ±2 C 1 1 0 0 0 0 1 1 ⇒ ± ± 0 0 0 0 ± ± D 0 0 1 1 0 0 1 1 ⇒ 0 0 ± ± 0 0 ± ± E 0 0 0 0 1 1 1 1 ⇒ 0 0 0 0 ± ± ± ± F 1 1 1 1 1 1 1 1 (224 vértices + 16 vértices)
Otra descomposición da los 240 puntos en 9 dimensiones como un 8-símplex expandido .
y dos 8-símplex birectificados opuestos ,
y
.
Esto surge de manera similar a la relación de la red A8 y la red E8 , que comparten 8 espejos de A8: .
Este politopo es la figura del vértice de una teselación uniforme del espacio de 8 dimensiones, representada por el símbolo 5 21 y el diagrama de Coxeter-Dynkin:
La información de las facetas de este politopo se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin :
Al eliminar el nodo de la rama corta queda el 7-símplex :
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes, queda el 7-ortoplex en su forma alternada ( 4 11 ):
Cada faceta 7-símplex toca solo facetas 7-ortoplex, mientras que las facetas alternas de una faceta ortoplex tocan un símplex o otro ortoplex. Hay 17.280 facetas símplex y 2160 facetas ortoplex.
Como cada 7-símplex tiene 7 facetas 6-símplex, cada una de las cuales no incide en ningún otro 6-símplex, el politopo 4 21 tiene 120.960 (7×17.280) caras 6-símplex que son facetas de 7-símplex. Como cada 7-ortoplex tiene 128 (2 7 ) facetas 6-símplex, la mitad de las cuales no inciden en 7-símplex, el politopo 4 21 tiene 138.240 (2 6 ×2160) caras 6-símplex que no son facetas de 7-símplex. El politopo 4 21 tiene, por tanto, dos tipos de caras 6-símplex, no intercambiadas por las simetrías de este politopo. El número total de caras 6-símplex es 259200 (120.960+138.240).
La figura del vértice de un politopo de un solo anillo se obtiene eliminando el nodo anillado y anillando su(s) vecino(s). Esto forma el politopo 3 21 .
Visto en una matriz de configuración , los recuentos de elementos se pueden derivar mediante la eliminación del espejo y las proporciones de los órdenes del grupo de Coxeter . [4]
Estos gráficos representan proyecciones ortográficas en los planos de Coxeter E 8 , E 7 , E 6 y B 8 , D 8 , D 7 , D 6 , D 5 , D 4 , D 3 , A 7 , A 5 . Los colores de los vértices se superponen por multiplicidad en la proyección: coloreados por orden creciente de multiplicidades como rojo, naranja, amarillo, verde.
El politopo 4 21 es el último de una familia llamada politopos k 21. El primer politopo de esta familia es el prisma triangular semirregular que se construye a partir de tres cuadrados (2-ortoplexes) y dos triángulos (2-símplexes).
El 4 21 está relacionado con la celda 600 por un plegado geométrico de los diagramas de Coxeter-Dynkin . Esto se puede ver en las proyecciones del plano de Coxeter E8/H4 . Los 240 vértices del politopo 4 21 se proyectan en el espacio 4 como dos copias de los 120 vértices de la celda 600, una copia más pequeña (escalada por la proporción áurea ) que la otra con la misma orientación. Visto como una proyección ortográfica 2D en el plano de Coxeter E8/H4, los 120 vértices de la celda 600 se proyectan en los mismos cuatro anillos que se ven en el 4 21. Los otros 4 anillos del grafo 4 21 también coinciden con una copia más pequeña de los cuatro anillos de la celda 600.
En geometría compleja de 4 dimensiones, el politopo complejo regular 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 y el diagrama de Coxeter 
existe con la misma disposición de vértices que el politopo 4 21. Es autodual. Coxeter lo llamó politopo Witting , en honor a Alexander Witting . Coxeter expresa su simetría de grupo Shephard mediante 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 . [7]
El 4 21 es el sexto de una serie dimensional de politopos semirregulares . Cada politopo uniforme progresivo es una figura de vértice construida del politopo anterior. Thorold Gosset identificó esta serie en 1900 como la que contiene todas las facetas de politopos regulares , que contienen todos los símplex y ortoplexes .
El 4 21 rectificado puede verse como una rectificación del politopo 4 21 , creando nuevos vértices en el centro de los bordes del 4 21 .
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones. Se llama así por ser una rectificación de 4 21 . Los vértices se ubican en el punto medio de todos los bordes de 4 21 , y los nuevos bordes los conectan.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al eliminar el nodo de la rama corta se obtiene el 7-símplex rectificado :
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes, queda el 7-ortoplex rectificado en su forma alternada:
Al quitar el nodo en el extremo de la rama de 4 longitudes, queda el 3 21 :
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y agregando un anillo al nodo vecino. Esto forma un prisma de 2 x 21 .
Las coordenadas cartesianas de los 6720 vértices del 4 21 rectificado están dadas por todas las permutaciones de coordenadas de otros tres politopos uniformes:
Estos gráficos representan proyecciones ortográficas en los planos de Coxeter E 8 , E 7 , E 6 y B 8 , D 8 , D 7 , D 6 , D 5 , D 4 , D 3 , A 7 , A 5 . Los colores de los vértices se superponen por multiplicidad en la proyección: coloreados por orden creciente de multiplicidades como rojo, naranja, amarillo, verde.
El politopo birectificado 4 21 puede verse como una segunda rectificación del politopo uniforme 4 21. Los vértices de este politopo están posicionados en los centros de todas las 60480 caras triangulares del politopo 4 21 .
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones. Se llama así por ser una birectificación de 4 21 . Los vértices se ubican en el centro de todas las caras del triángulo de 4 21 .
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al eliminar el nodo de la rama corta, queda el 7-símplex birectificado . Hay 17280 de estas facetas.
Al eliminar el nodo del extremo de la rama de 2 longitudes, queda el 7-ortoplex birectificado en su forma alternada. Hay 2160 de estas facetas.
Al quitar el nodo del extremo de la rama de 4 longitudes, queda el 3 21 rectificado . Hay 240 de estas facetas.
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y añadiendo anillos a los nodos vecinos. Esto forma un duoprisma triangular de 5 demicubes .
Estos gráficos representan proyecciones ortográficas en los planos de Coxeter E 8 , E 7 , E 6 y B 8 , D 8 , D 7 , D 6 , D 5 , D 4 , D 3 , A 7 , A 5 . Los bordes no están dibujados. Los colores de los vértices se obtienen por multiplicidad superpuesta en la proyección: se colorean por orden creciente de multiplicidades como rojo, naranja, amarillo, verde, etc.
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 8 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones. Se llama así por ser una birectificación de 4 21 . Los vértices se ubican en el centro de todas las caras del triángulo de 4 21 .
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al eliminar el nodo de la rama corta se obtiene el 7-símplex trirectificado :
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes, queda el 7-ortoplex trirectificado en su forma alternada:
Al quitar el nodo en el extremo de la rama de 4 longitudes, queda el 3 21 birectificado :
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando los nodos vecinos. Esto forma un tetraedro : un duoprisma rectificado de 5 celdas .
Estos gráficos representan proyecciones ortográficas en los planos de Coxeter E 7 , E 6 , B 8 , D 8 , D 7 , D 6 , D 5 , D 4 , D 3 , A 7 y A 5 . Los colores de los vértices se obtienen por multiplicidad superpuesta en la proyección: coloreados por orden creciente de multiplicidades como rojo, naranja, amarillo, verde.
(E 8 y B 8 eran demasiado grandes para mostrarlos)
