En geometría , el disicositetracoron chato de 24 celdas es un politopo uniforme convexo de 4 elementos compuesto por 120 celdas tetraédricas regulares y 24 celdas icosaédricas . Cinco tetraedros y tres icosaedros se encuentran en cada vértice. En total tiene 480 caras triangulares, 432 aristas y 96 vértices. Se puede construir a partir de las 600 celdas disminuyendo un subconjunto seleccionado de pirámides icosaédricas y dejando solo sus bases icosaédricas, eliminando así 480 tetraedros y reemplazándolos con 24 icosaedros.
Topológicamente, bajo su simetría más alta, [3 + ,4,3], como una alternancia de un truncado de 24 celdas , contiene 24 piritoedros (un icosaedro con simetría T h ), 24 tetraedros regulares y 96 pirámides triangulares.
Es uno de los tres 4-politopos semirregulares formados por dos o más celdas que son sólidos platónicos , descubiertos por Thorold Gosset en su artículo de 1900. [2] Lo llamó tetricosaédrico por estar formado por celdas tetraédricas e icosaédricas . (Los otros dos son el rectificado de 5 celdas y el rectificado de 600 celdas ).
Los vértices de un triángulo romo de 24 celdas centrado en el origen del espacio 4, con aristas de longitud 2, se obtienen tomando permutaciones pares de
donde φ = 1 + √5/2≈ 1,618 es la proporción áurea .
Las coordenadas del radio unitario del snub de 24 celdas, con aristas de longitud φ −1 ≈ 0,618, son las permutaciones pares de
Estos 96 vértices se pueden encontrar dividiendo cada uno de los 96 bordes de un sistema de 24 celdas en la proporción áurea de una manera consistente, dimensionalmente análoga a la forma en que se pueden producir los 12 vértices de un icosaedro u "octaedro chato" dividiendo los 12 bordes de un octaedro en la proporción áurea. Esto se puede hacer colocando primero vectores a lo largo de los bordes del sistema de 24 celdas de manera que cada cara bidimensional esté limitada por un ciclo, y luego dividiendo de manera similar cada borde en la proporción áurea a lo largo de la dirección de su vector. [4] Esto es equivalente a la construcción de truncamiento chato del sistema de 24 celdas que se describe a continuación.
Los 96 vértices de una celda chata de 24, junto con los 24 vértices de una celda de 24, forman los 120 vértices de una celda de 600 .
El snub de 24 celdas se deriva del de 24 celdas mediante una forma especial de truncamiento .
Los truncamientos eliminan vértices cortando las aristas incidentes al vértice; las formas de truncamiento difieren según el lugar de la arista en la que se realiza el corte. Los truncamientos comunes del poliedro de 24 celdas incluyen el poliedro de 24 celdas rectificado (que corta cada arista en su punto medio, produciendo un politopo delimitado por 24 cubos y 24 cuboctaedros ) y el poliedro de 24 celdas truncado (que corta cada arista un tercio de su longitud desde el vértice, produciendo un politopo delimitado por 24 cubos y 24 octaedros truncados ). En estos truncamientos se produce un cubo en lugar del vértice eliminado, porque la figura del vértice del poliedro de 24 celdas es un cubo y los cortes son equidistantes del vértice.
El truncamiento de las 24 celdas [4] corta cada arista en dos secciones áureas (de modo que la sección más grande está en la proporción áurea ~1,618 con respecto a la sección más pequeña, y la arista original está en la proporción áurea con respecto a la sección más grande). El corte debe realizarse en direcciones alternas en aristas alternas incidentes a cada vértice, para tener un resultado coherente. Las aristas incidentes a un vértice en las 24 celdas son los 8 radios de su figura de vértice cúbica. La única forma de elegir radios alternos de un cubo es elegir los cuatro radios de un tetraedro (inscrito en el cubo) que se cortarán en la sección más pequeña de su longitud desde el vértice, y los cuatro radios opuestos (del otro tetraedro que se puede inscribir en el cubo) que se cortarán en la sección más grande de su longitud desde el vértice. Por supuesto, hay dos formas de hacer esto; ambas producen un grupo de cinco tetraedros regulares en lugar del vértice eliminado, en lugar de un cubo.
Esta construcción tiene una analogía en 3 dimensiones: la construcción del icosaedro (el " octaedro chato ") a partir del octaedro, por el mismo método. [5] Así es como los icosaedros de la celda chata de 24 se producen a partir de los octaedros de la celda de 24 durante el truncamiento.
La celda de 24 celdas truncadas se relaciona con la celda de 24 celdas truncadas mediante una operación de alternancia . Se eliminan la mitad de los vértices, las 24 celdas octaédricas truncadas se convierten en 24 celdas icosaédricas , los 24 cubos se convierten en 24 celdas tetraédricas y los 96 huecos de vértices eliminados crean 96 nuevas celdas tetraédricas.
El snub de 24 celdas también se puede construir mediante una disminución particular del 600-cell : quitando 24 vértices del 600-cell correspondientes a los de un 24-cell inscrito y luego tomando la envoltura convexa de los vértices restantes. Esto es equivalente a quitar 24 pirámides icosaédricas del 600-cell.
Por el contrario, la celda de 600 se puede construir a partir de la celda chata de 24 aumentándola con 24 pirámides icosaédricas.
Otro método de construcción utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo de Weyl de orden 120. [6] A continuación se describen 24 celdas como pesos de órbitas de cuaterniones de D4 bajo el grupo de Weyl W(D4):
Con cuaterniones donde es el conjugado de y y , entonces el grupo de Coxeter es el grupo de simetría de las 600 celdas y las 120 celdas de orden 14400.
Dado que y como un intercambio de dentro de , podemos construir el snub de 24 celdas como
Las células icosaédricas encajan cara a cara dejando huecos entre ellas que son llenados por grupos de cinco células tetraédricas. [7]
Cada celda icosaédrica está unida a otras 8 celdas icosaédricas en 8 caras triangulares en las posiciones correspondientes a un octaedro inscripto. Las caras triangulares restantes están unidas a celdas tetraédricas, que se presentan en pares que comparten una arista en la celda icosaédrica.
Las células tetraédricas pueden dividirse en dos grupos, de 96 células amarillas y 24 células rojas respectivamente (como se colorea en la ilustración de la red). Cada célula tetraédrica amarilla está unida a través de sus caras triangulares a 3 células icosaédricas azules y una célula tetraédrica roja, mientras que cada célula tetraédrica roja está unida a 4 tetraedros amarillos. Por lo tanto, las células tetraédricas se presentan en grupos de cinco (cuatro células amarillas unidas por sus caras alrededor de una central roja, cada par rojo/amarillo se encuentra en un hiperplano diferente). El tetraedro central rojo de los cinco comparte cada uno de sus seis bordes con una célula icosaédrica diferente, y con el par de células tetraédricas amarillas que comparte ese borde en la célula icosaédrica.
El snub de 24 celdas tiene tres coloraciones transitivas de vértice basadas en una construcción de Wythoff en un grupo de Coxeter del cual se alterna : F 4 define 24 icosaedros intercambiables, mientras que el grupo B 4 define dos grupos de icosaedros en un conteo de 8:16, y finalmente el grupo D 4 tiene 3 grupos de icosaedros con conteos de 8:8:8. [8]
El politopo de 24 celdas con doble snub tiene 144 celdas irregulares idénticas. Cada celda tiene caras de dos tipos: 3 cometas y 6 triángulos isósceles. El politopo tiene un total de 432 caras (144 cometas y 288 triángulos isósceles) y 480 aristas. [9]
La celda de 24 celdas con snub puede obtenerse como una disminución de la celda de 600 en 24 de sus vértices, de hecho, los de una celda de 24 celdas inscrita en un vértice . También existe una disminución bi- de este tipo , cuando los vértices de una segunda celda de 24 celdas inscrita en un vértice también se verían disminuidos. En consecuencia, esta se conoce como la celda de 600 con disminución bi-24 .
El snub de 24 celdas también se denomina snub semitruncado porque no es un snub verdadero (alternancia de un snub omnitruncado de 24 celdas). El snub completo de 24 celdas también se puede construir, aunque no es uniforme, ya que está compuesto de tetraedros irregulares en los vértices alternados.
El panal de abeja de 24 celdas chato es la faceta más grande del panal de abeja de 4 dimensiones, el panal de abeja de 24 celdas chato .
El snub de 24 celdas es parte de la familia de simetría F 4 de 4-politopos uniformes.
![{\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2020e8f2ccdbd85dea0af38e6a0127d5446e42)
![{\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a23b7f4033871816e91c387a44cf392cac24bd)
![{\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13545fc184e7fc37a87f7446d0b9e70bc07cf3b7)
