Gran dirrombicosidodecaedro

Poliedro estrellado uniforme con 124 caras

Modelo 3D de un gran dirrombicosidodecaedro.

En geometría , el gran dirrombicosidodecaedro (o gran disicosidodecaedro romo ) es un poliedro uniforme no convexo , cuyo índice es U _75. Tiene 124 caras (40 triángulos , 60 cuadrados y 24 pentagramas ), 240 aristas y 60 vértices . ^[1]

Se trata del único poliedro uniforme no degenerado con más de seis caras que se encuentran en un vértice. Cada vértice tiene 4 cuadrados que pasan por el eje central del vértice (y, por tanto, por el centro de la figura), alternando con dos triángulos y dos pentagramas. Otra característica inusual es que todas las caras se presentan en pares coplanares.

Este es también el único poliedro uniforme que no se puede hacer mediante la construcción de Wythoff a partir de un triángulo esférico. Tiene un símbolo especial de Wythoff | 3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 3 5 ⁄ 2 , que lo relaciona con un cuadrilátero esférico . Este símbolo sugiere que es una especie de poliedro romo , excepto que en lugar de que las caras no romos estén rodeadas por triángulos romos como en la mayoría de los poliedros romos, están rodeadas por cuadrados romos.

Se le ha apodado "el monstruo de Miller" (en honor a JCP Miller , quien junto con HSM Coxeter y MS Longuet-Higgins enumeró los poliedros uniformes en 1954).

Poliedros relacionados

Si se relaja la definición de poliedro uniforme para permitir cualquier número par de caras adyacentes a una arista, entonces esta definición da lugar a otro poliedro: el gran dirrombidodecaedro desprovisto de protuberancias que tiene los mismos vértices y aristas pero con una disposición diferente de caras triangulares.

Los vértices y aristas también se comparten con los compuestos uniformes de 20 octaedros o 20 tetrahemihexaedros . 180 de las 240 aristas se comparten con el gran dodecicosidodecaedro romo .

Este poliedro está relacionado con el gran rombicosidodecaedro no convexo (cuasirrombicosidodecaedro) por una cubierta ramificada: hay una función desde el gran dirrombicosidodecaedro hasta el cuasirrombicosidodecaedro que es 2 a 1 en todas partes, excepto en los vértices. ^[2]

Coordenadas cartesianas

Que el punto sea dado por ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\begin{pmatrix}\phi ^{-{\frac {1}{2}}}\\0\\\phi ^{-1}\end{pmatrix}}}$,

¿Dónde está la proporción áurea ? Sea la matriz dada por ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1/2&-\phi /2&1/(2\phi )\\\phi /2&1/(2\phi )&-1/2\\1/(2\phi )&1/2&\phi /2\end{pmatrix}}}$.

${\displaystyle M}$es la rotación alrededor del eje en un ángulo de , en sentido antihorario. Sean las transformaciones lineales las transformaciones que envían un punto a las permutaciones pares de con un número par de signos menos. Las transformaciones constituyen el grupo de simetrías rotacionales de un tetraedro regular . Las transformaciones , constituyen el grupo de simetrías rotacionales de un icosaedro regular . Entonces los 60 puntos son los vértices de un gran dirrombicosidodecaedro. La longitud de la arista es igual a , el circunradio es igual a , y el radio medio es igual a . ${\displaystyle (1,0,\phi )}$ ${\displaystyle 2\pi /5}$ ${\displaystyle T_{0},\ldots ,T_{11}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (\pm x,\pm y,\pm z)}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}M^{j}}$ ${\displaystyle (i=0,\ldots ,11}$ ${\displaystyle j=0,\ldots ,4)}$ ${\displaystyle T_{i}M^{j}p}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

Para un gran dirrombicosidodecaedro cuya longitud de arista es 1, el radio circunscrito es

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$.

Su radio medio es

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$.

Galería

Referencias

• Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954), "Poliedros uniformes", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences , 246 (916): 401–450, Bibcode :1954RSPTA.246..401C, doi :10.1098/rsta.1954.0003, ISSN  0080-4614, JSTOR  91532, MR  0062446, S2CID  202575183
• Wenninger, Magnus (1974). Modelos de poliedros . Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.OCLC 1738087  .
• Har'El, Z. Solución uniforme para polihedros uniformes., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har'El, software Kaleido, Imágenes, imágenes duales
• Mäder, RE Poliedros uniformes. Mathematica J. 3, 48-57, 1993.
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes 3D".

1. Maeder, Roman. "75: gran dirrombicosidodecaedro". MathConsult .
2. "Gran dirrómbicosidodecaedro". Archivado desde el original el 18 de octubre de 2018. Consultado el 24 de julio de 2022 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Gran dirrombicosidodecaedro". MathWorld .
• http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/75.html
• http://www.software3d.com/MillersMonster.php