En geometría , un poliedro estrella uniforme es un poliedro uniforme que se interseca a sí mismo . A veces también se les llama poliedros no convexos para implicar que se cruzan entre sí. Cada poliedro puede contener caras de polígonos en estrella , figuras de vértices de polígonos en estrella o ambas.
El conjunto completo de 57 poliedros estelares uniformes no prismáticos incluye los 4 regulares, llamados poliedros de Kepler-Poinsot , 14 cuasiregulares y 39 semirregulares.
También hay dos conjuntos infinitos de prismas estelares uniformes y antiprismas estelares uniformes .
Así como los polígonos estrella (no degenerados) (que tienen una densidad de polígono mayor que 1) corresponden a polígonos circulares con mosaicos superpuestos , los poliedros estrella que no pasan por el centro tienen una densidad de politopo mayor que 1 y corresponden a poliedros esféricos con mosaicos superpuestos; Hay 47 poliedros estelares uniformes no prismáticos. Los 10 poliedros estelares uniformes no prismáticos restantes, los que pasan por el centro, son los hemipoliedros así como el monstruo de Miller , y no tienen densidades bien definidas.
Las formas no convexas se construyen a partir de triángulos de Schwarz .
Todos los poliedros uniformes se enumeran a continuación por sus grupos de simetría y subgrupos por la disposición de sus vértices.
Los poliedros regulares están etiquetados con su símbolo de Schläfli . Otros poliedros uniformes no regulares se enumeran con su configuración de vértice .
Una figura adicional, el pseudo gran rombicuboctaedro , no suele incluirse como un politopo estelar verdaderamente uniforme, a pesar de estar formado por caras regulares y tener los mismos vértices.
Nota: Para las formas no convexas siguientes, se utiliza un descriptor adicional no uniforme cuando la disposición del vértice del casco convexo tiene la misma topología que una de estas, pero tiene caras no regulares. Por ejemplo, una forma cantelada no uniforme puede tener rectángulos creados en lugar de los bordes en lugar de cuadrados .
Ver Poliedro uniforme prismático .
Hay una forma no convexa, el tetrahemihexaedro que tiene simetría tetraédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (3 3 2)).
Hay dos triángulos de Schwarz que generan poliedros uniformes no convexos únicos: un triángulo rectángulo ( 3 ⁄ 2 3 2) y un triángulo general ( 3 ⁄ 2 3 3). El triángulo general ( 3 ⁄ 2 3 3) genera el octahemioctaedro que se da más adelante con su simetría octaédrica completa .
Hay 8 formas convexas y 10 formas no convexas con simetría octaédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (4 3 2)).
Hay cuatro triángulos de Schwarz que generan formas no convexas, dos triángulos rectángulos ( 3 ⁄ 2 4 2) y ( 4 ⁄ 3 3 2 ), y dos triángulos generales: ( 4 ⁄ 3 4 3 ), ( 3 ⁄ 2 4 4 ) .
Hay 8 formas convexas y 46 formas no convexas con simetría icosaédrica (con dominio fundamental del triángulo de Möbius (5 3 2)). (o 47 formas no convexas si se incluye la figura de Skilling). Algunas de las formas chatas no convexas tienen simetría de vértice reflectante.
Coxeter identificó varios poliedros estelares degenerados mediante el método de construcción de Wythoff, que contienen bordes o vértices superpuestos. Estas formas degeneradas incluyen:
Otro poliedro degenerado no convexo es el gran dirhombidodecaedro disnub , también conocido como figura de Skilling , que tiene un vértice uniforme, pero tiene pares de aristas que coinciden en el espacio de modo que cuatro caras se encuentran en algunas aristas. Se cuenta como un poliedro uniforme degenerado en lugar de un poliedro uniforme debido a sus dobles aristas. Tiene simetría I h .
