El panal cúbico o celulación cúbica es la única teselación regular propiamente dicha que llena el espacio (o panal de abeja ) en el espacio tridimensional euclidiano formado por celdas cúbicas . Tiene 4 cubos alrededor de cada arista y 8 cubos alrededor de cada vértice. Su figura de vértice es un octaedro regular . Es una teselación autodual con el símbolo de Schläfli {4,3,4}. John Horton Conway llamó a este panal cubille .
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no haya espacios vacíos. Es un ejemplo de mosaico matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales de abejas se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales de abejas uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales de abejas uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse a su circunsfera para formar un panal de abejas uniforme en el espacio esférico.
Es parte de una familia multidimensional de panales de hipercubos , con símbolos Schläfli de la forma {4,3,...,3,4}, comenzando con el mosaico cuadrado , {4,4} en el plano.
Es uno de los 28 panales uniformes que utilizan celdas poliédricas uniformes convexas .
Las redes cúbicas simples pueden distorsionarse en simetrías inferiores, representadas por sistemas cristalinos inferiores:
Existe una gran cantidad de coloraciones uniformes , derivadas de diferentes simetrías. Entre ellas se incluyen:
El panal cúbico se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con diversas disposiciones de simetría. La forma de simetría más alta (hexagonal) se proyecta en un mosaico triangular . Una proyección de simetría cuadrada forma un mosaico cuadrado .
Está relacionado con el teseracto regular de 4 politopos , símbolo de Schläfli {4,3,3}, que existe en el espacio 4 y solo tiene 3 cubos alrededor de cada arista. También está relacionado con el panal cúbico de orden 5 , símbolo de Schläfli {4,3,5}, del espacio hiperbólico con 5 cubos alrededor de cada arista.
Se trata de una secuencia de polichoras y panales con figuras de vértices octaédricos .
Se trata de una secuencia de politopos regulares y panales con celdas cúbicas .
El panal cúbico tiene una simetría menor que el panal cúbico runcinado, con dos tamaños de cubos . Se puede construir una construcción de doble simetría colocando un cubo pequeño en cada cubo grande, lo que da como resultado un panal no uniforme con cubos , prismas cuadrados y trapezoprismas rectangulares (un cubo con simetría D 2d ). Su figura de vértice es una pirámide triangular con sus caras laterales aumentadas por tetraedros.
El panal resultante se puede alternar para producir otro panal no uniforme con tetraedros regulares , dos tipos de difenoides tetragonales, pirámides triangulares y esfenoides. Su figura de vértice tiene simetría C 3v y tiene 26 caras triangulares, 39 aristas y 15 vértices.
El [4,3,4],
El grupo de Coxeter genera 15 permutaciones de teselaciones uniformes, 9 de ellas con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado. El panal cúbico expandido (también conocido como panal cúbico runcinado) es geométricamente idéntico al panal cúbico.
El [4,3 1,1 ],
El grupo de Coxeter genera 9 permutaciones de teselaciones uniformes, 4 de ellas con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado.
Este panal es uno de los cinco panales uniformes distintos [2] construidos por el grupo de Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin :
El panal cúbico rectificado o celulación cúbica rectificada es una teselación (o panal ) que llena el espacio de manera uniforme en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por octaedros y cuboctaedros en una proporción de 1:1, con una figura de vértice de prisma cuadrado .
John Horton Conway llama a este panal cuboctaedro , y a su dual octaedro oblato .
El panal cúbico rectificado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con diversas disposiciones de simetría.
Hay cuatro coloraciones uniformes para las celdas de este panal con simetría reflexiva, enumeradas por su grupo de Coxeter , su nombre de construcción de Wythoff y el diagrama de Coxeter a continuación.
Este panal se puede dividir en planos de teselación trihexagonales , utilizando los centros hexagonales de los cuboctaedros, creando dos cúpulas triangulares . Este panal escaliforme está representado por el diagrama de Coxeter.
, y símbolo s 3 {2,6,3}, con simetría de notación de Coxeter [2 + ,6,3].
.Se puede realizar una construcción de doble simetría colocando octaedros sobre cuboctaedros, lo que da como resultado un panal no uniforme con dos tipos de octaedros (octaedros regulares y antiprismas triangulares). La figura del vértice es un bitruco cuadrado . El dual está compuesto por bipirámides cuadradas alargadas .
El panal cúbico truncado o celulación cúbica truncada es una teselación (o panal ) que llena el espacio de manera uniforme en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por cubos truncados y octaedros en una proporción de 1:1, con una figura de vértice de pirámide cuadrada isósceles .
John Horton Conway llama a este panal cubillo truncado y a su doble piramidilla .
El panal cúbico truncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con diversas disposiciones de simetría.
Hay una segunda coloración uniforme por simetría reflexiva de los grupos de Coxeter , la segunda vista con celdas cúbicas truncadas coloreadas alternativamente.
Se puede realizar una construcción de doble simetría colocando octaedros sobre los cubos truncados, lo que da como resultado un panal no uniforme con dos tipos de octaedros (octaedros regulares y antiprismas triangulares) y dos tipos de tetraedros (disfenoides tetragonales y disfenoides digonales). La figura del vértice es una cúpula cuadrada octakis.
El panal cúbico bitruncado es una teselación que llena el espacio (o panal de abeja ) en el espacio euclidiano 3-espacial formado por octaedros truncados (o, equivalentemente, cubos bitruncados ). Tiene cuatro octaedros truncados alrededor de cada vértice, en una figura de vértice disfenoide tetragonal . Al estar compuesto enteramente por octaedros truncados , es transitivo por celdas . También es transitivo por aristas , con 2 hexágonos y un cuadrado en cada arista, y transitivo por vértices . Es uno de los 28 panales uniformes .
John Horton Conway llama a este panal octaedro truncado en su lista de teselaciones arquitectónicas y catóptricas , y su dual se denomina tetraedro achatado , también llamado panal tetraédrico diesfenoidal . Aunque un tetraedro regular no puede teselar el espacio solo, este dual tiene celdas de tetraedro diesfenoidal idénticas con caras de triángulos isósceles .
El panal cúbico bitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con varias disposiciones de simetría. La forma de simetría más alta (hexagonal) se proyecta en un mosaico rombitrihexagonal no uniforme . Una proyección de simetría cuadrada forma dos mosaicos cuadrados truncados superpuestos , que se combinan entre sí como un mosaico cuadrado achaflanado .
La figura del vértice de este panal es un tetraedro diesfenoide , y también es el tetraedro de Goursat ( dominio fundamental ) para el grupo de Coxeter . Este panal tiene cuatro construcciones uniformes, con celdas octaédricas truncadas que tienen diferentes grupos de Coxeter y construcciones de Wythoff . Estas simetrías uniformes se pueden representar coloreando de manera diferente las celdas en cada construcción.
Las variantes no uniformes con simetría [4,3,4] y dos tipos de octaedros truncados se pueden duplicar colocando los dos tipos de octaedros truncados para producir un panal no uniforme con octaedros truncados y prismas hexagonales (como trapezoprismas ditrigonales). Su figura de vértice es una bipirámide triangular C 2v -simétrica .
Este panal puede alternarse para producir otro panal no uniforme con icosaedros piritoédricos , octaedros (como antiprismas triangulares) y tetraedros (como esfenoides). Su figura de vértice tiene simetría C 2v y consta de 2 pentágonos , 4 rectángulos , 4 triángulos isósceles (divididos en dos conjuntos de 2) y 4 triángulos escalenos .
El panal cúbico bitruncado alternado o panal cúbico bisnub no es uniforme, y la construcción de mayor simetría refleja una alternancia del panal cúbico bitruncado uniforme. Una construcción de menor simetría implica icosaedros regulares emparejados con icosaedros áureos (con 8 triángulos equiláteros emparejados con 12 triángulos áureos). Hay tres construcciones a partir de tres diagramas de Coxeter relacionados :,
, y
Estos tienen simetría [4,3 + ,4], [4,(3 1,1 ) + ] y [3 [4] ] + respectivamente. La primera y la última simetría se pueden duplicar como [[4,3 + ,4]] y [[3 [4] ]] + .
Este panal está representado por los átomos de boro del cristal α-romboédrico . Los centros de los icosaedros se encuentran en las posiciones fcc de la red. [3]
El panal cúbico cantelado o celulación cúbica cantelada es una teselación (o panal ) que llena el espacio de manera uniforme en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por rombicuboctaedros , cuboctaedros y cubos en una proporción de 1:1:3, con una figura de vértice en cuña .
John Horton Conway llama a este panal un 2-RCO-trilo , y a su doble octaedro oblato de cuarto de pulgada .
El panal cúbico cantelado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con diversas disposiciones de simetría.
Hay una segunda coloración uniforme por simetría reflexiva de los grupos de Coxeter , la segunda vista con células rombicuboctaédricas coloreadas alternativamente.
Se puede realizar una construcción de doble simetría colocando cuboctaedros sobre los rombicuboctaedros, lo que da como resultado el panal cúbico rectificado, al tomar los huecos de los antiprismas triangulares como octaedros regulares , pares de antiprismas cuadrados y difenoides tetragonales de altura cero como componentes del cuboctaedro . Otras variantes dan como resultado cuboctaedros , antiprismas cuadrados , octaedros (como antípodios triangulares) y tetraedros (como difenoides tetragonales), con una figura de vértice topológicamente equivalente a un cubo con un prisma triangular unido a una de sus caras cuadradas.
El dual del panal cúbico cantelado se llama octaedro oblato de cuarto , una teselación catóptrica con diagrama de Coxeter. 
, que contiene caras de dos de los cuatro hiperplanos del dominio fundamental cúbico [4,3,4].
Tiene celdas bipiramidales triangulares irregulares que pueden verse como 1/12 de un cubo, formado por el centro del cubo, 2 centros de caras y 2 vértices.
El panal cúbico cantitruncado o celulación cúbica cantitruncada es una teselación (o panal ) que llena el espacio de manera uniforme en el espacio tridimensional euclidiano, formada por cuboctaedros truncados , octaedros truncados y cubos en una proporción de 1:1:3, con una figura de vértice esfenoidal reflejada .
John Horton Conway llama a este panal n-tCO-trilo , y a su doble pirámide triangular .
Alrededor de cada vértice existen cuatro celdas:
El panal cúbico cantitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con diversas disposiciones de simetría.
Las células se pueden representar en dos simetrías diferentes. La forma del diagrama de Coxeter lineal se puede dibujar con un color para cada tipo de célula. La forma del diagrama de bifurcación se puede dibujar con dos tipos (colores) de células cuboctaédricas truncadas alternadas.
El dual del panal cúbico cantitruncado se llama piramidilla triangular , con diagrama de Coxeter ,Estas celdas en forma de panal representan los dominios fundamentales de la simetría.
Una celda puede ser como 1/24 de un cubo traslacional con vértices posicionados: tomando dos esquinas, el centro de una cara y el centro del cubo. Los colores y las etiquetas de los bordes especifican cuántas celdas existen alrededor del borde.
Está relacionado con un apeiroedro oblicuo con configuración de vértices 4.4.6.6, con los octógonos y algunos de los cuadrados eliminados. Puede verse como construido mediante el aumento de celdas cuboctaédricas truncadas, o mediante el aumento de octaedros y cubos truncados alternados.
Se puede hacer una construcción de doble simetría colocando octaedros truncados sobre cuboctaedros truncados, lo que da como resultado un panal no uniforme con octaedros truncados , prismas hexagonales (como trapezoprismas ditrigonales), cubos (como prismas cuadrados), prismas triangulares (como cuñas C 2v -simétricas) y tetraedros (como disfenoides tetragonales). Su figura de vértice es topológicamente equivalente al octaedro .
El panal cúbico cantitruncado alternado o panal cúbico rectificado romo contiene tres tipos de celdas: cubos romos , icosaedros (con simetría T h ), tetraedros (como disfenoides tetragonales) y nuevas celdas tetraédricas creadas en los huecos.
Aunque no es uniforme, desde el punto de vista constructivo se puede expresar como diagramas de Coxeter o.
A pesar de no ser uniforme, existe una versión casi fallida con dos longitudes de arista que se muestran a continuación, una de las cuales es aproximadamente un 4,3 % mayor que la otra. Los cubos romos en este caso son uniformes, pero el resto de las celdas no lo son.
El panal cúbico cántico romo se construye rozando los octaedros truncados de forma que sólo queden rectángulos de los cubos (prismas cuadrados). No es uniforme, pero se puede representar como diagrama de Coxeter. Tiene rombicuboctaedros (con simetría T h ), icosaedros (con simetría T h ) y prismas triangulares (como cuñas de simetría C 2v ) que llenan los huecos. [4]
Se puede realizar una construcción de doble simetría colocando icosaedros sobre los rombicuboctaedros, lo que da como resultado un panal no uniforme con icosaedros , octaedros (como antiprismas triangulares), prismas triangulares (como cuñas C 2v -simétricas) y pirámides cuadradas .
El panal cúbico runcitruncado o celulación cúbica runcitruncada es una teselación (o panal ) que llena el espacio de manera uniforme en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por rombicuboctaedros , cubos truncados , prismas octogonales y cubos en una proporción de 1:1:3:3, con una figura de vértice de pirámide trapezoidal isósceles .
Su nombre se deriva de su diagrama de Coxeter ,con tres nodos anillados que representan 3 espejos activos en la construcción de Wythoff a partir de su relación con el panal cúbico regular .
John Horton Conway llama a este panal 1-RCO-trille , y a su doble pirámide de cuarto cuadrado .
El panal cúbico runcitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con diversas disposiciones de simetría.
Existen dos apeiroedros oblicuo uniformes relacionados con la misma disposición de vértices , que se consideran celdas límite de un subconjunto de celdas. Uno tiene triángulos y cuadrados, y el otro, triángulos, cuadrados y octógonos.
El dual del panal cúbico runcitruncado se llama piramidilla de cuarto cuadrado , con diagrama de Coxeter Las caras existen en 3 de los 4 hiperplanos del grupo de Coxeter [4,3,4].
Las celdas son pirámides irregulares y pueden verse como 1/24 de un cubo, utilizando una esquina, un punto de borde medio, dos centros de caras y el centro del cubo.
Se puede realizar una construcción de doble simetría colocando rombicuboctaedros sobre los cubos truncados, lo que da como resultado un panal no uniforme con rombicuboctaedros , octaedros (como antiprismas triangulares), cubos (como prismas cuadrados), dos tipos de prismas triangulares (ambos cuñas C 2v -simétricas) y tetraedros (como difenoides diagonales). Su figura de vértice es topológicamente equivalente al prisma triangular aumentado .
El panal cúbico omnitruncado o celulación cúbica omnitruncada es una teselación (o panal ) que llena el espacio de manera uniforme en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por cuboctaedros truncados y prismas octogonales en una proporción de 1:3, con una figura de vértice difenoidal fílica .
John Horton Conway llama a este panal b-tCO-trille , y a su octava pirámide dual .
El panal cúbico omnitruncado se puede proyectar ortogonalmente en el plano euclidiano con diversas disposiciones de simetría.
Las células se pueden representar con dos simetrías diferentes. La forma del diagrama de Coxeter tiene dos colores de cuboctaedros truncados y prismas octogonales . La simetría se puede duplicar relacionando la primera y la última rama del diagrama de Coxeter, que se puede representar con un color para todas las células de prismas octogonales y cuboctaédricos truncados.
Two related uniform skew apeirohedron exist with the same vertex arrangement. The first has octagons removed, and vertex configuration 4.4.4.6. It can be seen as truncated cuboctahedra and octagonal prisms augmented together. The second can be seen as augmented octagonal prisms, vertex configuration 4.8.4.8.
Nonuniform variants with [4,3,4] symmetry and two types of truncated cuboctahedra can be doubled by placing the two types of truncated cuboctahedra on each other to produce a nonuniform honeycomb with truncated cuboctahedra, octagonal prisms, hexagonal prisms (as ditrigonal trapezoprisms), and two kinds of cubes (as rectangular trapezoprisms and their C2v-symmetric variants). Its vertex figure is an irregular triangular bipyramid.
This honeycomb can then be alternated to produce another nonuniform honeycomb with snub cubes, square antiprisms, octahedra (as triangular antiprisms), and three kinds of tetrahedra (as tetragonal disphenoids, phyllic disphenoids, and irregular tetrahedra).
An alternated omnitruncated cubic honeycomb or omnisnub cubic honeycomb can be constructed by alternation of the omnitruncated cubic honeycomb, although it can not be made uniform, but it can be given Coxeter diagram: and has symmetry [[4,3,4]]+. It makes snub cubes from the truncated cuboctahedra, square antiprisms from the octagonal prisms, and creates new tetrahedral cells from the gaps.
A dual alternated omnitruncated cubic honeycomb is a space-filling honeycomb constructed as the dual of the alternated omnitruncated cubic honeycomb.
24 cells fit around a vertex, making a chiral octahedral symmetry that can be stacked in all 3-dimensions:
Individual cells have 2-fold rotational symmetry. In 2D orthogonal projection, this looks like a mirror symmetry.
The runcic cantitruncated cubic honeycomb or runcic cantitruncated cubic cellulation is constructed by removing alternating long rectangles from the octagons and is not uniform, but it can be represented as Coxeter diagram . It has rhombicuboctahedra (with Th symmetry), snub cubes, two kinds of cubes: square prisms and rectangular trapezoprisms (topologically equivalent to a cube but with D2d symmetry), and triangular prisms (as C2v-symmetry wedges) filling the gaps.
The biorthosnub cubic honeycomb is constructed by removing alternating long rectangles from the octagons orthogonally and is not uniform, but it can be represented as Coxeter diagram . It has rhombicuboctahedra (with Th symmetry) and two kinds of cubes: square prisms and rectangular trapezoprisms (topologically equivalent to a cube but with D2d symmetry).
The truncated square prismatic honeycomb or tomo-square prismatic cellulation is a space-filling tessellation (or honeycomb) in Euclidean 3-space. It is composed of octagonal prisms and cubes in a ratio of 1:1.
It is constructed from a truncated square tiling extruded into prisms.
It is one of 28 convex uniform honeycombs.
The snub square prismatic honeycomb or simo-square prismatic cellulation is a space-filling tessellation (or honeycomb) in Euclidean 3-space. It is composed of cubes and triangular prisms in a ratio of 1:2.
It is constructed from a snub square tiling extruded into prisms.
It is one of 28 convex uniform honeycombs.
A snub square antiprismatic honeycomb can be constructed by alternation of the truncated square prismatic honeycomb, although it can not be made uniform, but it can be given Coxeter diagram: 
and has symmetry [4,4,2,∞]+. It makes square antiprisms from the octagonal prisms, tetrahedra (as tetragonal disphenoids) from the cubes, and two tetrahedra from the triangular bipyramids.
