En geometría hiperbólica , un panal uniforme en el espacio hiperbólico es una teselación uniforme de celdas poliédricas uniformes . En el espacio hiperbólico tridimensional hay nueve familias de grupos de Coxeter de panales uniformes convexos compactos , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter para cada familia.
Los panales se dividen entre formas compactas y paracompactas definidas por los grupos de Coxeter , la primera categoría incluye solo celdas finitas y figuras de vértice (subgrupos finitos), y la segunda incluye subgrupos afines.
Los nueve grupos compactos de Coxeter se enumeran aquí con sus diagramas de Coxeter , [1] en orden de los volúmenes relativos de sus dominios símplex fundamentales . [2]
Estas 9 familias generan un total de 76 panales uniformes únicos. No se ha demostrado la lista completa de panales uniformes hiperbólicos y existe un número desconocido de formas no wythoffianas. A continuación se citan dos ejemplos conocidos con la familia {3,5,3}. Solo dos familias están relacionadas como una reducción a la mitad por eliminación de espejo: [5,3 1,1 ] ↔ [5,3,4,1 + ].
Sólo hay dos subgrupos radicales con dominios no simpliciales que se pueden generar eliminando un conjunto de dos o más espejos separados por todos los demás espejos mediante ramas de orden par. Uno es [(4,3,4,3 * )], representado por diagramas de Coxeter.
un subgrupo de índice 6 con un dominio fundamental de trapezoedro trigonal ↔
, que se puede ampliar restaurando un espejo como
El otro es [4,(3,5) * ], índice 120 con un dominio fundamental dodecaédrico .
También hay 23 grupos de Coxeter paracompactos de rango 4 que producen panales uniformes paracompactos con facetas o figuras de vértices infinitas o ilimitadas , incluidos vértices ideales en el infinito.
Existen otros grupos de Coxeter paracompactos como dominios fundamentales de politopos de Vinberg , incluidos estos dominios fundamentales de bipirámide triangular (tetraedros dobles) como grafos de rango 5 que incluyen espejos paralelos. Los panales uniformes existen como todas las permutaciones de anillos en estos grafos, con la restricción de que al menos un nodo debe estar anillado a lo largo de ramas de orden infinito.
Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter : [3,5,3] o
Una forma no wythoffiana relacionada se construye a partir de la figura de vértice {3,5,3} con 4 vértices (dispuestos tetraédricamente) eliminados, creando antiprismas pentagonales y dodecaedros que llenan los espacios, llamado dodecaedro disminuido tetraédricamente . [3] Otra se construye con 2 vértices antípodas eliminados. [4]
Las formas bitruncadas y runcinadas (5 y 6) contienen las caras de dos poliedros oblicuos regulares : {4,10|3} y {10,4|3}.
Hay 15 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter : [5,3,4] o
.
Esta familia está relacionada con el grupo [5,3 1,1 ] por una semisimetría [5,3,4,1 + ], o
↔
, cuando el último espejo después de la rama de orden 4 está inactivo, o como una alternancia si el tercer espejo está inactivo
↔
.
Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter : [5,3,5] o
Las formas bitruncadas y runcinadas (29 y 30) contienen las caras de dos poliedros oblicuos regulares : {4,6|5} y {6,4|5}.
Hay 11 formas (y solo 4 no compartidas con la familia [5,3,4]), generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter : [5,3 1,1 ] o
Si los estados del anillo de ramificación coinciden, una simetría extendida puede duplicarse en la familia [5,3,4],
↔.
Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter :
Las formas bitruncadas y runcinadas (41 y 42) contienen las caras de dos poliedros oblicuos regulares : {8,6|3} y {6,8|3}.
Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter :
Las formas bitruncadas y runcinadas (50 y 51) contienen las caras de dos poliedros oblicuos regulares : {10,6|3} y {6,10|3}.
Hay 6 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter :Hay 4 simetrías extendidas posibles basadas en la simetría de los anillos:,
,, y.
Esta familia de simetría también está relacionada con un subgrupo radical, índice 6,↔, construido por [(4,3,4,3 * )], y representa un dominio fundamental del trapezoedro trigonal .
Las formas truncadas (57 y 58) contienen las caras de dos poliedros oblicuos regulares : {6,6|4} y {8,8|3}.
Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter :
Las formas truncadas (65 y 66) contienen las caras de dos poliedros oblicuos regulares : {10,6|3} y {6,10|3}.
Hay 6 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter :Hay 4 simetrías extendidas posibles basadas en la simetría de los anillos:,,, y.
Las formas truncadas (72 y 73) contienen las caras de dos poliedros oblicuos regulares : {6,6|5} y {10,10|3}.
Se conocen una infinidad de panales hiperbólicos compactos uniformes no wythoffianos, y puede que haya más por descubrir. Se han enumerado dos de ellos como disminuciones del panal icosaédrico {3,5,3}. [6]
En 1997, Wendy Krieger descubrió una serie infinita de panales hiperbólicos uniformes con figuras de vértice pseudoicosaédricas , formadas a partir de 8 cubos y 12 prismas p -gonales en un vértice para cualquier entero p . En el caso p = 4, todas las celdas son cubos y el resultado es el panal cúbico de orden 5. El caso p = 2 degenera en el panal cúbico euclidiano . [6]
Se conocen otros cuatro relacionados con familias no compactas . La teselación
consiste en cubos truncados y mosaicos triangulares de orden infinito-8 . Sin embargo, estos últimos intersecan la esfera en el infinito ortogonalmente, teniendo exactamente la misma curvatura que el espacio hiperbólico, y pueden ser reemplazados por imágenes especulares del resto de la teselación, lo que da como resultado un panal compacto y uniforme que consiste solo en los cubos truncados. (Por lo tanto, son análogos a las semicaras de los hemipoliedros esféricos ). [6] [7] Se puede hacer algo similar con la teselación.
que consta de pequeños rombicuboctaedros , teselación triangular de orden infinito 8 , y mosaicos cuadrados de orden 8 infinitos Los mosaicos cuadrados de orden 8 ya intersecan la esfera en el infinito ortogonalmente, y si los mosaicos triangulares de orden 8 se amplían con un conjunto de prismas triangulares , la superficie que pasa por sus puntos centrales también interseca la esfera en el infinito ortogonalmente. Después de reemplazar con imágenes especulares, el resultado es un panal compacto que contiene los pequeños rombicuboctaedros y los prismas triangulares. [8] Se descubrieron dos construcciones más de este tipo en 2023. La primera surge del hecho de que
ytienen el mismo radio circunscrito; el anterior tiene octaedros truncados y ordena 6 mosaicos cuadrados , mientras que el último tiene cuboctaedros y ordena 6 mosaicos cuadrados. Se obtiene un panal uniforme compacto descartando las teselaciones cuadradas de orden 6 que tienen en común, utilizando solo los octaedros y cuboctaedros truncados. El segundo surge de una construcción similar que involucra
(que tiene pequeños rombicosidodecaedros , octaedros , y teselas pentagonales de orden 4 ) y
(que es el prisma de la teselación pentagonal de orden 4, que tiene prismas pentagonales y teselas pentagonales de orden 4). Estos dos tienen igualmente el mismo radio circunscrito, y se obtiene un panal compacto y uniforme utilizando sólo las celdas finitas de ambos, descartando las teselaciones pentagonales de orden 4 que tienen en común. [9]
En 2021 se descubrió otro no wythoffiano. Tiene como figura de vértice un cubo romo con 8 vértices eliminados y contiene dos octaedros y ocho cubos romos en cada vértice. [6] Posteriormente, Krieger encontró un no wythoffiano con un cubo romo como figura de vértice, que contiene 32 tetraedros y 6 octaedros en cada vértice, y que las versiones truncadas y rectificadas de este panal siguen siendo uniformes. En 2022, Richard Klitzing generalizó esta construcción para utilizar cualquier cubo romo.
como figura de vértice: el resultado es compacto para p=4 o 5 (con un cubo romo o una figura de vértice dodecaédrica romo respectivamente), paracompacto para p=6 (con un mosaico trihexagonal romo como figura de vértice) e hipercompacto para p>6. Nuevamente, las versiones truncadas y rectificadas de estos panales siguen siendo uniformes. [6]
Existen también otras formas basadas en dominios paralelepipédicos . Dos formas conocidas generalizan el panal cúbico-octaédrico , con pequeñas figuras de vértices rombicuboctaédricos distorsionados. Una forma tiene pequeños rombicuboctaedros, cuboctaedros y cubos; otra tiene pequeños rombicosidodecaedros, icosidodecaedros y cubos. (La versión con poliedros de simetría tetraédrica es el panal cúbico-octaédrico, que utiliza cuboctaedros, octaedros y cubos). [9]
Esta es la enumeración completa de los 76 panales uniformes de Wythoff. Las alternancias se enumeran para completar, pero la mayoría no son uniformes.
