Un mosaico o mosaico es el revestimiento de una superficie , a menudo un plano , utilizando una o más formas geométricas , llamadas mosaicos , sin superposiciones ni espacios. En matemáticas , la teselación se puede generalizar a dimensiones superiores y a una variedad de geometrías.
Un mosaico periódico tiene un patrón repetitivo. Algunos tipos especiales incluyen mosaicos regulares con mosaicos poligonales regulares, todos de la misma forma, y mosaicos semirregulares con mosaicos regulares de más de una forma y con cada esquina dispuesta de manera idéntica. Los patrones formados por mosaicos periódicos se pueden clasificar en 17 grupos de papeles pintados . Un mosaico que carece de un patrón repetitivo se denomina "no periódico". Un mosaico aperiódico utiliza un pequeño conjunto de formas de mosaicos que no pueden formar un patrón repetitivo (un conjunto aperiódico de prototiles ). Una teselación del espacio , también conocida como relleno de espacio o panal, se puede definir en la geometría de dimensiones superiores.
Un verdadero mosaico físico es un mosaico hecho de materiales como cuadrados o hexágonos de cerámica cementada . Dichos mosaicos pueden ser patrones decorativos o pueden tener funciones tales como proporcionar revestimientos duraderos y resistentes al agua para pavimentos, pisos o paredes. Históricamente, los teselados se utilizaron en la Antigua Roma y en el arte islámico , como en la arquitectura marroquí y los mosaicos geométricos decorativos del palacio de la Alhambra . En el siglo XX, la obra de MC Escher hizo uso frecuente de teselados, tanto en geometría euclidiana ordinaria como en geometría hiperbólica , para lograr efectos artísticos. A veces se emplean teselados para lograr efectos decorativos en el acolchado . Los teselados forman una clase de patrones en la naturaleza , por ejemplo en las series de celdas hexagonales que se encuentran en los panales .
Los sumerios (alrededor del 4000 a. C.) utilizaron teselados para construir decoraciones de paredes formadas por patrones de tejas de arcilla. [1]
Los mosaicos decorativos hechos de pequeños bloques cuadrados llamados teselas se emplearon ampliamente en la antigüedad clásica , [2] a veces mostrando patrones geométricos. [3] [4]
En 1619, Johannes Kepler realizó uno de los primeros estudios documentados de los teselados. Escribió sobre teselados regulares y semirregulares en sus Harmonices Mundi ; Posiblemente fue el primero en explorar y explicar las estructuras hexagonales de los panales y los copos de nieve . [5] [6] [7]
Unos doscientos años después, en 1891, el cristalógrafo ruso Yevgraf Fyodorov demostró que cada mosaico periódico del plano presenta uno de los diecisiete grupos diferentes de isometrías. [8] [9] El trabajo de Fyodorov marcó el comienzo no oficial del estudio matemático de los teselados. Otros contribuyentes destacados incluyen a Alexei Vasilievich Shubnikov y Nikolai Belov (1964), [10] y Heinrich Heesch y Otto Kienzle (1963). [11]
En latín, tessella es una pequeña pieza cúbica de arcilla , piedra o vidrio que se utiliza para hacer mosaicos. [12] La palabra "tessella" significa "cuadrado pequeño" (de tessera , cuadrado, que a su vez proviene de la palabra griega τέσσερα para cuatro ). Corresponde al término cotidiano mosaico , que se refiere a aplicaciones de teselados, a menudo realizados con arcilla vidriada .
La teselación en dos dimensiones, también llamada mosaico plano, es un tema de geometría que estudia cómo las formas, conocidas como mosaicos , se pueden organizar para llenar un plano sin espacios, de acuerdo con un conjunto de reglas determinado. Estas reglas pueden variar. Las más comunes son que no debe haber espacios entre las losas y que ninguna esquina de una losa puede estar a lo largo del borde de otra. [13] Los mosaicos creados con ladrillos adosados no obedecen a esta regla. Entre los que lo hacen, un teselado regular tiene mosaicos regulares [a] idénticos y esquinas o vértices regulares idénticos, teniendo el mismo ángulo entre los bordes adyacentes para cada mosaico. [14] Sólo hay tres formas que pueden formar este tipo de teselados regulares: el triángulo equilátero , el cuadrado y el hexágono regular . Cualquiera de estas tres formas se puede duplicar infinitamente para llenar un plano sin espacios. [6]
Muchos otros tipos de teselación son posibles bajo diferentes restricciones. Por ejemplo, hay ocho tipos de teselado semirregular, hechos con más de un tipo de polígono regular pero que aún tienen la misma disposición de polígonos en cada esquina. [15] Los teselados irregulares también se pueden hacer a partir de otras formas como pentágonos , poliominós y, de hecho, casi cualquier tipo de forma geométrica. El artista MC Escher es famoso por realizar teselados con azulejos entrelazados irregulares, con formas de animales y otros objetos naturales. [16] Si se eligen colores contrastantes adecuados para las baldosas de diferentes formas, se forman patrones llamativos que se pueden utilizar para decorar superficies físicas como los suelos de las iglesias. [17]
Más formalmente, una teselación o mosaico es una cobertura del plano euclidiano por un número contable de conjuntos cerrados, llamados mosaicos , de manera que los mosaicos se cruzan sólo en sus límites . Estos mosaicos pueden ser polígonos o cualquier otra forma. [b] Muchas teselaciones se forman a partir de un número finito de prototiles en los que todas las teselaciones son congruentes con los prototiles dados. Si una forma geométrica se puede utilizar como prototipo para crear un teselado, se dice que la forma tesela o embaldosa el plano . El criterio de Conway es un conjunto de reglas suficiente, pero no necesario, para decidir si una forma determinada enlosa el plano periódicamente sin reflejos: algunas losetas no cumplen el criterio, pero aun así enlosan el plano. [19] No se ha encontrado una regla general para determinar si una forma dada puede teselar el plano o no, lo que significa que hay muchos problemas sin resolver relacionados con los teselados. [18]
Matemáticamente, las teselaciones se pueden extender a espacios distintos del plano euclidiano. [6] El geómetra suizo Ludwig Schläfli fue pionero en esto al definir poliesquemas , que los matemáticos hoy en día llaman politopos . Estos son los análogos de los polígonos y poliedros en espacios con más dimensiones. Además, definió la notación de símbolos de Schläfli para facilitar la descripción de politopos. Por ejemplo, el símbolo de Schläfli para un triángulo equilátero es {3}, mientras que el de un cuadrado es {4}. [20] La notación Schläfli permite describir mosaicos de forma compacta. Por ejemplo, un mosaico de hexágonos regulares tiene tres polígonos de seis lados en cada vértice, por lo que su símbolo de Schläfli es {6,3}. [21]
También existen otros métodos para describir mosaicos poligonales. Cuando el teselado está formado por polígonos regulares, la notación más común es la configuración de vértice , que es simplemente una lista del número de lados de los polígonos alrededor de un vértice. El mosaico cuadrado tiene una configuración de vértice de 4.4.4.4, o 4 4 . El mosaico de hexágonos regulares se indica como 6.6.6 o 6 3 . [18]
Los matemáticos utilizan algunos términos técnicos cuando hablan de mosaicos. Un borde es la intersección entre dos mosaicos limítrofes; suele ser una línea recta. Un vértice es el punto de intersección de tres o más mosaicos limítrofes. Usando estos términos, un mosaico isogonal o transitivo de vértice es un mosaico donde cada punto de vértice es idéntico; es decir, la disposición de los polígonos alrededor de cada vértice es la misma. [18] La región fundamental es una forma como un rectángulo que se repite para formar el mosaico. [22] Por ejemplo, un mosaico regular del plano con cuadrados tiene un encuentro de cuatro cuadrados en cada vértice . [18]
Los lados de los polígonos no son necesariamente idénticos a los bordes de los mosaicos. Un mosaico de borde a borde es cualquier mosaico poligonal donde los mosaicos adyacentes solo comparten un lado completo, es decir, ningún mosaico comparte un lado parcial o más de un lado con otro mosaico. En un mosaico de borde a borde, los lados de los polígonos y los bordes de los mosaicos son iguales. El conocido mosaico de "pared de ladrillos" no es de borde a borde porque el lado largo de cada ladrillo rectangular se comparte con dos ladrillos limítrofes. [18]
Un mosaico normal es un mosaico en el que cada mosaico es topológicamente equivalente a un disco , la intersección de dos mosaicos cualesquiera es un conjunto conectado o un conjunto vacío , y todos los mosaicos están uniformemente delimitados . Esto significa que se puede utilizar un único radio circunscrito y un único radio de inscripción para todas las baldosas de todo el mosaico; la condición no permite baldosas que sean patológicamente largas o delgadas. [23]
Un mosaico monoédrico es un mosaico en el que todos los mosaicos son congruentes ; Tiene un solo prototipo. Un tipo particularmente interesante de mosaico monoédrico es el mosaico monoédrico en espiral. El primer mosaico monoédrico en espiral fue descubierto por Heinz Voderberg en 1936; el mosaico de Voderberg tiene un mosaico unitario que es un eneágono no convexo . [1] El mosaico de Hirschhorn , publicado por Michael D. Hirschhorn y DC Hunt en 1985, es un mosaico de pentágonos que utiliza pentágonos irregulares: los pentágonos regulares no pueden mosaico el plano euclidiano como el ángulo interno de un pentágono regular,3 π/5, no es divisor de 2 π . [24] [25]
Un mosaico isédrico es una variación especial de un mosaico monoédrico en el que todos los mosaicos pertenecen a la misma clase de transitividad, es decir, todos los mosaicos son transformaciones del mismo prototilo bajo el grupo de simetría del mosaico. [23] Si un prototilo admite un mosaico, pero ningún mosaico es isoédrico, entonces el prototilo se llama anisoédrico y forma mosaicos anisoédricos .
Un mosaico regular es un mosaico altamente simétrico , de borde a borde, formado por polígonos regulares , todos de la misma forma. Sólo existen tres teselados regulares: los formados por triángulos equiláteros , cuadrados o hexágonos regulares . Los tres mosaicos son isogonales y monoédricos. [26]
Una teselación semirregular (o de Arquímedes) utiliza más de un tipo de polígono regular en una disposición isogonal. Hay ocho mosaicos semirregulares (o nueve si el par de mosaicos de la imagen especular cuenta como dos). [27] Estos pueden describirse por su configuración de vértice ; por ejemplo, un mosaico semirregular que utiliza cuadrados y octágonos regulares tiene la configuración de vértice 4,8 2 (cada vértice tiene un cuadrado y dos octágonos). [28] Son posibles muchos mosaicos del plano euclidiano que no son de borde a borde, incluida la familia de mosaicos pitagóricos , teselados que utilizan dos tamaños (parametrizados) de cuadrados, cada cuadrado tocando cuatro cuadrados del otro tamaño. [29] Un mosaico de bordes es aquel en el que cada mosaico se puede reflejar sobre un borde para tomar la posición de un mosaico vecino, como en una matriz de triángulos equiláteros o isósceles. [30]
Los mosaicos con simetría traslacional en dos direcciones independientes se pueden clasificar por grupos de papeles pintados , de los cuales existen 17. [31] Se ha afirmado que los diecisiete grupos están representados en el palacio de la Alhambra de Granada , España . Aunque esto es discutible, [32] la variedad y sofisticación de los azulejos de la Alhambra han interesado a los investigadores modernos. [33] De los tres mosaicos regulares, dos están en el grupo de fondos de pantalla p6m y uno está en p4m . Los mosaicos en 2-D con simetría traslacional en una sola dirección pueden clasificarse según los siete grupos de frisos que describen los posibles patrones de frisos . [34] La notación Orbifold se puede utilizar para describir grupos de papel tapiz del plano euclidiano. [35]
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Los mosaicos de Penrose , que utilizan dos prototipos cuadriláteros diferentes, son el ejemplo más conocido de mosaicos que crean a la fuerza patrones no periódicos. Pertenecen a una clase general de mosaicos aperiódicos , que utilizan mosaicos que no pueden teselar periódicamente. El proceso recursivo de mosaico de sustitución es un método para generar mosaicos aperiódicos. Una clase que se puede generar de esta manera son los rep-tiles ; Estos mosaicos tienen propiedades autorreplicantes inesperadas . [36] Los mosaicos de molinete no son periódicos y utilizan una construcción de mosaicos de repetición; los mosaicos aparecen en infinitas orientaciones. [37] Podría pensarse que un patrón no periódico carecería por completo de simetría, pero no es así. Los mosaicos aperiódicos, aunque carecen de simetría traslacional , tienen simetrías de otros tipos, por repetición infinita de cualquier parche acotado del mosaico y en ciertos grupos finitos de rotaciones o reflejos de esos parches. [38] Una regla de sustitución, como la que se puede utilizar para generar patrones de Penrose utilizando conjuntos de mosaicos llamados rombos, ilustra la simetría de escala. [39] Una palabra de Fibonacci se puede utilizar para construir un mosaico aperiódico y para estudiar cuasicristales , que son estructuras con orden aperiódico. [40]
Los mosaicos Wang son cuadrados coloreados en cada borde y colocados de manera que los bordes contiguos de los mosaicos adyacentes tengan el mismo color; de ahí que a veces se les llame dominó Wang . Un juego adecuado de fichas de dominó Wang puede colocar mosaicos en el avión, pero sólo de forma aperiódica. Esto se sabe porque cualquier máquina de Turing puede representarse como un conjunto de fichas de dominó de Wang que recubren el avión si, y sólo si, la máquina de Turing no se detiene. Dado que el problema de la detención es indecidible, el problema de decidir si un juego de dominó de Wang puede enlosar el avión también es indecidible. [41] [42] [43] [44] [45]
Los azulejos de Truchet son azulejos cuadrados decorados con patrones por lo que no tienen simetría rotacional ; En 1704, Sébastien Truchet utilizó un azulejo cuadrado dividido en dos triángulos de colores contrastantes. Estos pueden colocar el avión en mosaico de forma periódica o aleatoria. [46] [47]
Una baldosa de Einstein es una forma única que obliga a un mosaico aperiódico. El primer mosaico de este tipo, denominado "sombrero", fue descubierto en 2023 por David Smith, un matemático aficionado. [48] [49] El descubrimiento está bajo revisión profesional y, una vez confirmado, se le acreditará como la solución de un problema matemático de larga data . [50]
En ocasiones el color de una baldosa se entiende como parte del mosaico; en otras ocasiones, se pueden aplicar colores arbitrarios más adelante. Cuando se habla de un mosaico que se muestra en colores, para evitar ambigüedades, es necesario especificar si los colores son parte del mosaico o solo parte de su ilustración. Esto afecta a si los azulejos con la misma forma, pero de diferentes colores, se consideran idénticos, lo que a su vez afecta a cuestiones de simetría. El teorema de los cuatro colores establece que para cada mosaico de un plano euclidiano normal , con un conjunto de cuatro colores disponibles, cada mosaico se puede colorear en un color de modo que ningún mosaico del mismo color se encuentre en una curva de longitud positiva. La coloración garantizada por el teorema de los cuatro colores no respeta generalmente las simetrías del teselado. Para producir una coloración que lo haga, es necesario tratar los colores como parte del mosaico. En este caso, pueden ser necesarios hasta siete colores, como se muestra en la imagen de la derecha. [51]
Además de los distintos mosaicos realizados por polígonos regulares , también se han estudiado los mosaicos realizados por otros polígonos.
Cualquier triángulo o cuadrilátero (incluso los no convexos ) se puede utilizar como prototipo para formar un mosaico monoédrico, a menudo en más de una forma. Las copias de un cuadrilátero arbitrario pueden formar un mosaico con simetría traslacional y simetría rotacional doble con centros en los puntos medios de todos los lados. Para un cuadrilátero asimétrico, este mosaico pertenece al grupo de papel tapiz p2 . Como dominio fundamental tenemos el cuadrilátero. De manera equivalente, podemos construir un paralelogramo subtendido por un conjunto mínimo de vectores de traslación, comenzando desde un centro de rotación. Podemos dividir esto por una diagonal y tomar la mitad (un triángulo) como dominio fundamental. Un triángulo de este tipo tiene la misma área que el cuadrilátero y se puede construir a partir de él cortando y pegando. [52]
Si solo se permite una forma de mosaico, existen mosaicos con N -gons convexos para N igual a 3, 4, 5 y 6. Para N = 5 , consulte Mosaico pentagonal , para N = 6 , consulte Mosaico hexagonal , para N = 7 , ver mosaico heptagonal y para N = 8 , ver mosaico octogonal .
Para obtener resultados sobre cómo colocar mosaicos en el plano con poliominós , consulte Poliomino § Usos de poliominós .
Los mosaicos de Voronoi o Dirichlet son teselados donde cada mosaico se define como el conjunto de puntos más cercanos a uno de los puntos en un conjunto discreto de puntos definitorios. (Piense en regiones geográficas donde cada región se define como todos los puntos más cercanos a una ciudad u oficina de correos determinada). [53] [54] La celda de Voronoi para cada punto de definición es un polígono convexo. La triangulación de Delaunay es una teselación que es el gráfico dual de una teselación de Voronoi. Las triangulaciones de Delaunay son útiles en simulación numérica, en parte porque entre todas las triangulaciones posibles de los puntos definidores, las triangulaciones de Delaunay maximizan el mínimo de los ángulos formados por los bordes. [55] Los mosaicos de Voronoi con puntos colocados aleatoriamente se pueden usar para construir mosaicos aleatorios del plano. [56]
La teselación se puede ampliar a tres dimensiones. Ciertos poliedros se pueden apilar en un patrón cristalino regular para llenar (o mosaico) el espacio tridimensional, incluido el cubo (el único poliedro platónico que lo hace), el dodecaedro rómbico , el octaedro truncado y los prismas triangulares, cuadriláteros y hexagonales. , entre otros. [57] Cualquier poliedro que se ajuste a este criterio se conoce como plesioedro y puede poseer entre 4 y 38 caras. [58] Los dodecaedros rómbicos naturales se encuentran como cristales de andradita (una especie de granate ) y fluorita . [59] [60]
Los teselados en tres o más dimensiones se denominan panales . En tres dimensiones hay un solo panal regular, que tiene ocho cubos en cada vértice del poliedro. De manera similar, en tres dimensiones hay solo un panal cuasiregular [c] , que tiene ocho tetraedros y seis octaedros en cada vértice del poliedro. Sin embargo, existen muchos posibles panales semirregulares en tres dimensiones. [61] Se pueden construir panales uniformes utilizando la construcción Wythoff . [62]
El biprisma de Schmitt-Conway es un poliedro convexo con la propiedad de embaldosar el espacio sólo de forma aperiódica. [63]
Un triángulo de Schwarz es un triángulo esférico que se puede utilizar para formar una esfera . [64]
Es posible teselar en geometrías no euclidianas como la geometría hiperbólica . Un mosaico uniforme en el plano hiperbólico (que puede ser regular, cuasiregular o semirregular) es un relleno de borde a borde del plano hiperbólico, con polígonos regulares como caras ; estos son transitivos de vértice ( transitivos en sus vértices ) e isogonales (hay una isometría que asigna cualquier vértice a cualquier otro). [65] [66]
Un panal uniforme en el espacio hiperbólico es un mosaico uniforme de células poliédricas uniformes . En el espacio hiperbólico tridimensional (3-D) hay nueve familias del grupo Coxeter de panales compactos convexos uniformes , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter para cada familia. [67]
En arquitectura, los teselados se han utilizado para crear motivos decorativos desde la antigüedad. Los mosaicos a menudo tenían patrones geométricos. [4] Las civilizaciones posteriores también utilizaron azulejos más grandes, ya sea lisos o decorados individualmente. Algunos de los más decorativos fueron los alicatados árabes de la arquitectura islámica , utilizándose azulejos de Girih y Zellige en edificios como la Alhambra [68] y La Mezquita . [69]
Los teselados aparecieron con frecuencia en el arte gráfico de MC Escher ; se inspiró en el uso árabe de la simetría en lugares como la Alhambra cuando visitó España en 1936. [70] Escher hizo cuatro dibujos " Límite de círculo " de mosaicos que utilizan geometría hiperbólica. [71] [72] Para su grabado en madera "Circle Limit IV" (1960), Escher preparó un estudio a lápiz y tinta que muestra la geometría requerida. [73] Escher explicó que "ningún componente individual de toda la serie, que desde una distancia infinita se eleva como cohetes perpendicularmente desde el límite y finalmente se pierde en él, alcanza jamás la línea límite". [74]
Los diseños teselado aparecen a menudo en textiles, ya sean tejidos, cosidos o impresos. Se han utilizado patrones de teselación para diseñar motivos entrelazados de formas de parches en colchas . [75] [76]
Los teselados también son un género principal en el origami (plegado de papel), donde se utilizan pliegues para conectar moléculas, como pliegues retorcidos, de forma repetitiva. [77]
La teselación se utiliza en la industria manufacturera para reducir el desperdicio de material (pérdidas de rendimiento), como láminas de metal , al cortar formas para objetos como puertas de automóviles o latas de bebidas . [78]
La teselación es evidente en el agrietamiento de películas delgadas , similar a las grietas de barro [79] [80] , observándose cierto grado de autoorganización utilizando micro y nanotecnologías . [81]
El panal es un ejemplo muy conocido de mosaico en la naturaleza con sus celdas hexagonales. [82]
En botánica, el término "teselado" describe un patrón a cuadros, por ejemplo en un pétalo de flor, corteza de árbol o fruta. Las flores, incluidas las fritillary , [83] y algunas especies de Colchicum , son característicamente teseladas. [84]
Muchos patrones en la naturaleza se forman por grietas en láminas de materiales. Estos patrones pueden describirse mediante teselaciones de Gilbert , [85] también conocidas como redes de grietas aleatorias. [86] La teselación de Gilbert es un modelo matemático para la formación de grietas de barro , cristales en forma de agujas y estructuras similares. El modelo, que lleva el nombre de Edgar Gilbert , permite que se formen grietas a partir de su dispersión aleatoria sobre el plano; cada grieta se propaga en dos direcciones opuestas a lo largo de una línea que pasa por el punto de inicio, y su pendiente se elige al azar, creando un mosaico de polígonos convexos irregulares. [87] Los flujos de lava basáltica a menudo muestran juntas columnares como resultado de fuerzas de contracción que causan grietas a medida que la lava se enfría. Las extensas redes de grietas que se desarrollan a menudo producen columnas hexagonales de lava. Un ejemplo de este tipo de columnas es la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte. [88] El pavimento teselado , un ejemplo característico del cual se encuentra en Eaglehawk Neck en la península de Tasmania, Tasmania , es una rara formación rocosa sedimentaria donde la roca se ha fracturado en bloques rectangulares. [89]
Otros patrones naturales ocurren en las espumas ; estos se empaquetan según las leyes de Plateau , que requieren superficies mínimas . Estas espumas plantean el problema de cómo compactar las células lo más estrechamente posible: en 1887, Lord Kelvin propuso un embalaje utilizando sólo un sólido, el panal cúbico bitruncado con caras muy ligeramente curvadas. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan propusieron la estructura Weaire-Phelan , que utiliza menos superficie para separar células de igual volumen que la espuma de Kelvin. [90]
Los teselados han dado lugar a muchos tipos de rompecabezas de mosaicos , desde los tradicionales rompecabezas (con piezas irregulares de madera o cartón) [91] y el tangram , [92] hasta rompecabezas más modernos que suelen tener una base matemática. Por ejemplo, las polidiamantes y los poliominós son figuras de triángulos y cuadrados regulares, que se utilizan a menudo en rompecabezas de mosaico. [93] [94] Autores como Henry Dudeney y Martin Gardner han hecho muchos usos de la teselación en matemáticas recreativas . Por ejemplo, Dudeney inventó la disección con bisagras , [95] mientras que Gardner escribió sobre el " reptile ", una forma que se puede diseccionar en copias más pequeñas de la misma forma. [96] [97] Inspirada por los artículos de Gardner en Scientific American , la matemática aficionada Marjorie Rice encontró cuatro nuevos teselados con pentágonos. [98] [99] Cuadrar el cuadrado es el problema de mosaico de un cuadrado integral (uno cuyos lados tienen longitud entera) utilizando sólo otros cuadrados integrales. [100] [101] Una extensión es cuadrar el plano, mosaico con cuadrados cuyos tamaños son todos números naturales sin repeticiones; James y Frederick Henle demostraron que esto era posible. [102]
La Figura 1 es parte de un mosaico del plano euclidiano, que imaginamos continuado en todas direcciones, y la Figura 2 [Límite del círculo IV] es un hermoso mosaico del modelo de disco unitario de Poincaré del plano hiperbólico mediante mosaicos blancos que representan ángeles y negros. Azulejos que representan demonios.
Una característica importante del segundo es que todas las fichas blancas son mutuamente congruentes como lo son todas las fichas negras;
Por supuesto, esto no es cierto para la métrica euclidiana, pero sí para la métrica de Poincaré.
