Panal uniforme convexo

Mosaico espacial de poliedros uniformes convexos

El panal cúbico alternado es uno de los 28 teselados uniformes que llenan el espacio en el espacio tridimensional euclidiano, compuesto por tetraedros amarillos y octaedros rojos alternados .

En geometría , un panal uniforme convexo es un mosaico uniforme que llena el espacio euclidiano tridimensional con células poliédricas uniformes convexas que no se superponen .

Se conocen veintiocho panales de este tipo:

• el familiar panal cúbico y sus 7 truncamientos;
• el panal cúbico alternado y 4 truncamientos del mismo;
• 10 formas prismáticas basadas en mosaicos planos uniformes (11 si se incluye el panal cúbico);
• 5 modificaciones de algunas de las anteriores mediante elongación y/o giro.

Se pueden considerar el análogo tridimensional de los mosaicos uniformes del avión .

El diagrama de Voronoi de cualquier red forma un panal uniforme convexo en el que las células son zonoedros .

Historia

• 1900 : Thorold Gosset enumeró la lista de politopos convexos semirregulares con células regulares ( sólidos platónicos ) en su publicación Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , incluyendo un panal cúbico regular, y dos formas semirregulares con tetraedros y octaedros.
• 1905 : Alfredo Andreini enumeró 25 de estos teselados.
• 1991 : El manuscrito de Norman Johnson Uniform Polytopes identificó la lista de 28. ^[1]
• 1994 : Branko Grünbaum , en su artículo Mosaicos uniformes de 3 espacios , también enumeró de forma independiente los 28, después de descubrir errores en la publicación de Andreini. Encontró que el artículo de 1905, que enumeraba 25, tenía 1 incorrecto y faltaban 4. Grünbaum afirma en este artículo que Norman Johnson merece prioridad por lograr la misma enumeración en 1991. También menciona que I. Alexeyev de Rusia se había puesto en contacto con él en relación con una supuesta enumeración de estas formas, pero que Grünbaum no pudo verificar esto en ese momento.
• 2006 : George Olshevsky, en su manuscrito Tetracumbas panoploides uniformes , además de repetir la lista derivada de 11 mosaicos uniformes convexos y 28 panales uniformes convexos, amplía una lista derivada adicional de 143 tetracumbas uniformes convexas (panales de 4 politopos uniformes en 4- espacio). ^{[2] [1]}

Sólo 14 de los poliedros uniformes convexos aparecen en estos patrones:

• tres de los cinco sólidos platónicos (el tetraedro , el cubo y el octaedro ),
• seis de los trece sólidos de Arquímedes (los que tienen simetría tetraédrica u octaédrica reflectante), y
• cinco de la infinita familia de prismas (los de 3, 4, 6, 8 y 12 gonales; el prisma de 4 gonales duplica el cubo).

El icosaedro , el cubo chato y el antiprisma cuadrado aparecen en algunas alternancias, pero esos panales no se pueden realizar con todas las aristas de longitud unitaria.

Nombres

A este conjunto se le puede llamar panales regulares y semirregulares . Se les ha llamado panales de Arquímedes por analogía con los poliedros uniformes convexos (no regulares), comúnmente llamados sólidos de Arquímedes . Recientemente , Conway ha sugerido nombrar el conjunto como Teselaciones arquitectónicas y los panales duales como Teselaciones catóptricas .

Los panales individuales están listados con los nombres que les dio Norman Johnson . (Algunos de los términos utilizados a continuación se definen en 4 politopos uniformes # Derivaciones geométricas para 46 4 politopos uniformes wythoffianos no prismáticos )

Para referencias cruzadas, se proporcionan con índices de lista de Andreini (1-22), Williams (1-2,9-19), J ohnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49). , 51–52, 61–65) y Günbaum (1-28). Coxeter utiliza δ ₄ para un panal cúbico , hδ ₄ para un panal cúbico alternado , qδ ₄ para un cuarto de panal cúbico , con subíndices para otras formas basadas en los patrones de anillos del diagrama de Coxeter.

Teselaciones uniformes euclidianas compactas (por sus infinitas familias de grupos Coxeter)

Dominios fundamentales en un elemento cúbico de tres grupos.

Correspondencias familiares

Los grupos infinitos de Coxeter fundamentales para el espacio tridimensional son:

1. El , [4,3,4], cúbico, ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$(8 formas únicas más una alternancia)
2. El , [4,3 ^1,1 ], cúbico alternado, ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$(11 formularios, 3 nuevos)
3. El grupo cíclico, [(3,3,3,3)] o [3 ^[4] ], ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$(5 formularios, uno nuevo)

Existe una correspondencia entre las tres familias. Quitar un espejo de produce y quitar un espejo de produce . Esto permite múltiples construcciones de los mismos panales. Si las celdas se colorean según posiciones únicas dentro de cada construcción de Wythoff, se pueden mostrar estas diferentes simetrías. ${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$

Además, hay cinco panales especiales que no tienen simetría reflexiva pura y están construidos a partir de formas reflexivas con operaciones de alargamiento y giro .

El total de panales únicos anteriores son 18.

Las pilas prismáticas de infinitos grupos de Coxeter para 3 espacios son:

1. El grupo prismático × , [4,4,2,∞], ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(2 nuevas formas)
2. El grupo prismático × , [6,3,2,∞], ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(7 formas únicas)
3. El grupo prismático × , [(3,3,3),2,∞], ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(No hay formularios nuevos)
4. El grupo prismático × × , [∞,2,∞,2,∞], ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$(Todos estos se convierten en un panal cúbico )

Además, existe una forma alargada especial del panal prismático triangular.

El total de panales prismáticos únicos anteriores (excluyendo los cúbicos contados anteriormente) son 10.

Combinando estos recuentos, 18 y 10 obtenemos un total de 28 panales uniformes.

El grupo C̃ 3 , [4,3,4] (cúbico)

El panal cúbico regular, representado por el símbolo de Schläfli {4,3,4}, ofrece siete panales uniformes derivados únicos mediante operaciones de truncamiento. (Se incluye una forma redundante, el panal cúbico runcinado , para completar, aunque es idéntico al panal cúbico). La simetría reflexiva es el grupo afín de Coxeter [4,3,4]. Hay cuatro subgrupos del índice 2 que generan alternancias: [1 ⁺ ,4,3,4], [(4,3,4,2 ⁺ )], [4,3 ⁺ ,4] y [4,3,4 ] ⁺ , con las dos primeras formas repetidas generadas y las dos últimas no son uniformes.

B̃ 3 , [4,3 1,1 ] grupo

El grupo , [4,3] ofrece 11 formas derivadas mediante operaciones de truncamiento, cuatro de las cuales son panales uniformes únicos. Hay 3 subgrupos del índice 2 que generan alternancias: [1 ⁺ ,4,3 ^1,1 ], [4,(3 ^1,1 ) ⁺ ] y [4,3 ^1,1 ] ⁺ . El primero genera un panal repetido y los dos últimos no son uniformes, pero se incluyen para que estén completos. ${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$

Los panales de este grupo se llaman cúbicos alternos porque la primera forma puede verse como un panal cúbico al que se le eliminan los vértices alternos, lo que reduce las celdas cúbicas a tetraedros y crea celdas de octaedro en los espacios.

Los nodos están indexados de izquierda a derecha como 0,1,0',3 con 0' debajo e intercambiable con 0 . Los nombres cúbicos alternativos dados se basan en este orden.

à 3 , [3 [4] ] grupo

Hay 5 formas ^[3] construidas a partir del grupo Coxeter , [3 ^[4] ] , de las cuales solo el cuarto de panal cúbico es único. Hay un subgrupo de índice 2 [3 ^[4] ] ⁺ que genera la forma chata, que no es uniforme, pero se incluye para que esté completo. ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$

Formas no wythoffianas (giradas y alargadas)

Se generan tres panales más uniformes rompiendo uno u otro de los panales anteriores donde sus caras forman un plano continuo, luego rotando capas alternas 60 o 90 grados ( giro ) y/o insertando una capa de prismas ( alargamiento ).

Los mosaicos cúbicos alternos alargados y giroelongados tienen la misma figura de vértice, pero no son iguales. En la forma alargada , cada prisma se encuentra con un tetraedro en un extremo triangular y un octaedro en el otro. En la forma giroelongada , los prismas que se encuentran con tetraedros en ambos extremos se alternan con prismas que se encuentran con octaedros en ambos extremos.

El mosaico prismático triangular giroelongado tiene la misma figura de vértice que uno de los mosaicos prismáticos lisos; los dos pueden derivarse de los mosaicos prismáticos triangulares giratorios y lisos, respectivamente, insertando capas de cubos.

Pilas prismáticas

Se obtienen once mosaicos prismáticos apilando los once mosaicos planos uniformes , que se muestran a continuación, en capas paralelas. (Uno de estos panales es el cúbico, como se muestra arriba). La figura del vértice de cada uno es una bipirámide irregular cuyas caras son triángulos isósceles .

El C̃ ₂ ×Ĩ ₁ (∞), [4,4,2,∞], grupo prismático

Solo hay 3 panales únicos del mosaico cuadrado, pero los 6 truncamientos del mosaico se enumeran a continuación para que estén completos, y las imágenes del mosaico se muestran por colores correspondientes a cada forma.

El grupo prismático G̃ ₂ xĨ ₁ (∞), [6,3,2,∞]

Enumeración de formas Wythoff

Todas las construcciones no prismáticas de Wythoff realizadas por grupos de Coxeter se detallan a continuación, junto con sus alternancias . Las soluciones uniformes están indexadas en la lista de Branko Grünbaum . Los fondos verdes se muestran en panales repetidos, y las relaciones se expresan en diagramas de simetría extendidos.

Ejemplos

Las 28 teselaciones se encuentran en arreglos de cristal . ^{[ cita necesaria ]}

El panal cúbico alternado es de especial importancia ya que sus vértices forman un empaquetado cúbico de esferas. La armadura de octaedros y tetraedros empaquetados que llena el espacio aparentemente fue descubierta por primera vez por Alexander Graham Bell y redescubierta de forma independiente por Buckminster Fuller (quien la llamó armadura de octeto y la patentó en la década de 1940). [3] [4] [5] [6]. Las armaduras de octeto se encuentran ahora entre los tipos más comunes de armaduras utilizadas en la construcción.

Formas de friso

Si se permite que las celdas sean mosaicos uniformes , se pueden definir panales más uniformes:

Familias:

• ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$× : [4,4,2] ${\displaystyle A_{1}}$ Panales de losa cúbica (3 formas)
• ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$× : [6,3,2] ${\displaystyle A_{1}}$ Panales de losa trihexagonales (8 formas)
• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$× : [(3,3,3),2] ${\displaystyle A_{1}}$ Panales de losa triangular (No hay formas nuevas)
• ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$× × : [∞,2,2] ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$= Panales de columna cúbica (1 forma)
• ${\displaystyle I_{2}(p)}$× : [p,2,∞] ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ Panales de columnas poligonales (análogos a los duoprismas : parecen una única torre infinita de prismas p-gonales, con el espacio restante lleno de prismas apeirogonales )
• ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$× × : [∞,2,∞,2] = [4,4,2] - ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$=(Igual que la familia de losa cúbica en forma de panal)

Las dos primeras formas que se muestran arriba son semirregulares (uniformes con solo facetas regulares) y fueron enumeradas por Thorold Gosset en 1900, respectivamente, como semicontrol 3-ic y semicontrol tetraédrico . ^[4]

Panal escaliforme

Un panal escaliforme es transitivo por vértices , como un panal uniforme , con caras poligonales regulares, mientras que a las células y elementos superiores solo se les exige que sean orbiformes , equiláteros, con sus vértices sobre hiperesferas. Para panales 3D, esto permite un subconjunto de sólidos de Johnson junto con los poliedros uniformes. Algunos escaliformes pueden generarse mediante un proceso de alternancia, dejando, por ejemplo, huecos piramidales y cupulares . ^[5]

Formas hiperbólicas

El panal dodecaédrico de orden 4 , {5,3,4} en perspectiva

El panal de mosaico hexagonal paracompacto , {6,3,3}, en perspectiva

Hay 9 familias del grupo Coxeter de panales uniformes compactos en 3 espacios hiperbólicos , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter-Dynkin para cada familia.

De estas 9 familias, se generan un total de 76 panales únicos:

• [3,5,3] :- 9 formularios
• [5,3,4] :- 15 formularios
• [5,3,5] :- 9 formularios
• [5,3 ^1,1 ] :- 11 formularios (7 se superponen con la familia [5,3,4], 4 son únicos)
• [(4,3,3,3)] :- 9 formularios
• [(4,3,4,3)] :- 6 formas
• [(5,3,3,3)] :- 9 formularios
• [(5,3,4,3)] :- 9 formularios
• [(5,3,5,3)] :- 6 formas

Se conocen varias formas no wythoffianas fuera de la lista de 76; no se sabe cuantos son.

Formas hiperbólicas paracompactas

También hay 23 grupos de Coxeter paracompactos de rango 4. Estas familias pueden producir panales uniformes con facetas ilimitadas o figuras de vértices, incluidos vértices ideales en el infinito:

Referencias

1. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A242941 (teselados uniformes convexos en dimensión n)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
2. George Olshevsky, (2006, Tetracombas panoploides uniformes , manuscrito (lista completa de 11 mosaicos uniformes convexos, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracumbas uniformes convexos) [1]
3. [2], A000029 6-1 casos, omitiendo uno con cero marcas
4. Gosset, Thorold (1900). "Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones". Mensajero de las Matemáticas . 29 : 43–48.
5. "Árbol politopo".

• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas , ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 21, Denominación de los poliedros y mosaicos de Arquímedes y Catalanes, teselaciones arquitectónicas y catóptricas, pág. 292–298, incluye todas las formas no prismáticas) 
• Branko Grünbaum , (1994) Mosaicos uniformes de 3 espacios. Geombinatoria 4, 49 - 56.
• Norman Johnson (1991) Politopos uniformes , manuscrito
• Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X.(Capítulo 5: Empaquetamiento de poliedros y llenado de espacios)
• Critchlow, Keith (1970). Orden en el espacio: un libro de referencia sobre diseño . Prensa vikinga. ISBN 0-500-34033-1.
• Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [7]  
  • (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Tiempo. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1,9 Rellenos de espacio uniformes)
• A. Andreini , (1905) Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (Sobre las redes regulares y semirregulares de poliedros y sobre las correspondientes redes correlativas), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 75–129. PDF [8]
• DMY Sommerville , (1930) Introducción a la geometría de n dimensiones. Nueva York, EP Dutton, . 196 págs. (edición de Dover Publications, 1958) Capítulo X: Los politopos regulares
• Antonio Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Prensa de la Universidad de California Berkeley. ISBN 0-520-03056-7.Capítulo 5. Uniendo poliedros.
• Cristalografía de cuasicristales: conceptos, métodos y estructuras por Walter Steurer, Sofia Deloudi (2009), p. 54-55. 12 empaquetamientos de 2 o más poliedros uniformes con simetría cúbica

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Panal". MundoMatemático .
• Panales uniformes en modelos VRML de 3 espacios
• Panales elementales Espacio transitivo de vértice que llena panales con celdas no uniformes.
• Particiones uniformes de 3 espacios, sus parientes e incrustaciones, 1999
• Los poliedros uniformes
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de los poliedros
• animación de armadura de octeto
• Revisión: AF Wells, Redes tridimensionales y poliedros, HSM Coxeter (Fuente: Bull. Amer. Math. Soc. Volumen 84, Número 3 (1978), 466-470.)
• Klitzing, Richard. "Teselados euclidianos 3D".
• (secuencia A242941 en el OEIS )